notes/kambe_linton_dict.lyx

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  81
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  83
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  86 \newcommand{\vect}[1]{\mathbf{#1}}
  87 \end_inset
  88
  89
  90 \lang finnish
  91
  92 \begin_inset FormulaMacro
  93 \newcommand{\Kambe}[1]{#1^{\mathrm{K}}}
  94 \end_inset
  95
  96
  97 \begin_inset FormulaMacro
  98 \newcommand{\Linton}[1]{#1^{\mathrm{L}}}
  99 \end_inset
 100
 101
 102 \end_layout
 103
 104 \begin_layout Standard
 105 Here and in Kambe's papers,
 106 \begin_inset Formula $\kappa$
 107 \end_inset
 108
 109  is the wavenumber (
 110 \begin_inset Formula $k$
 111 \end_inset
 112
 113  in Linton).
 114  Here
 115 \begin_inset Formula $\vect K_{p}$
 116 \end_inset
 117
 118  is a point of the reciprocal lattice (
 119 \begin_inset Formula $\vect K_{p}=\Kambe{\vect K_{pt}}=\Linton{\vect{\beta}_{\mu}}$
 120 \end_inset
 121
 122 )
 123 \end_layout
 124
 125 \begin_layout Section
 126 \begin_inset Quotes eld
 127 \end_inset
 128
 129 Gammas
 130 \begin_inset Quotes erd
 131 \end_inset
 132
 133
 134 \end_layout
 135
 136 \begin_layout Standard
 137 For
 138 \begin_inset Formula $\kappa$
 139 \end_inset
 140
 141  positive,
 142 \end_layout
 143
 144 \begin_layout Standard
 145 \begin_inset Formula
 146 \[
 147 \Kambe{\Gamma_{p}}\equiv\begin{cases}
 148 \sqrt{\kappa^{2}-\left|\vect K_{p}\right|^{2}} & \kappa^{2}-\left|\vect K_{p}\right|^{2}>0\\
 149 i\sqrt{\left|\vect K_{p}\right|^{2}-\kappa^{2}} & \kappa^{2}-\left|\vect K_{p}\right|^{2}<0
 150 \end{cases}
 151 \]
 152
 153 \end_inset
 154
 155
 156 \begin_inset Formula
 157 \[
 158 \Linton{\gamma_{\mu}}\equiv\begin{cases}
 159 \sqrt{\left(\frac{\vect K_{p}}{\kappa}\right)^{2}-1} & \kappa-\left|\vect K_{p}\right|\le0\\
 160 -i\sqrt{1-\left(\frac{\vect K_{p}}{\kappa}\right)^{2}} & \kappa-\left|\vect K_{p}\right|>0
 161 \end{cases}
 162 \]
 163
 164 \end_inset
 165
 166 hence
 167 \begin_inset Formula
 168 \[
 169 \Kambe{\Gamma_{p}}=-i\kappa\Linton{\gamma_{\mu}},
 170 \]
 171
 172 \end_inset
 173
 174
 175 \end_layout
 176
 177 \begin_layout Standard
 178 \begin_inset Formula
 179 \[
 180 \Linton{\gamma_{\mu}}=i\frac{\Kambe{\Gamma_{p}}}{\kappa}.
 181 \]
 182
 183 \end_inset
 184
 185
 186 \end_layout
 187
 188 \begin_layout Section
 189 D vs sigma
 190 \end_layout
 191
 192 \begin_layout Standard
 193 In-plane sums [Linton 2009, (4.5)], replacing
 194 \begin_inset Formula $n,m\rightarrow L,M$
 195 \end_inset
 196
 197 ,
 198 \begin_inset Formula $k\rightarrow\kappa$
 199 \end_inset
 200
 201
 202 \end_layout
 203
 204 \begin_layout Standard
 205
 206 \lang english
 207 \begin_inset Formula
 208 \begin{eqnarray*}
 209 \sigma_{L}^{M(1)} & = & -\frac{i^{L+1}}{2\kappa^{2}\mathscr{A}}\left(-1\right)^{\left(L+M\right)/2}\sqrt{\left(2L+1\right)\left(L-M\right)!\left(L+M\right)!}\times\\
 210  &  & \times\sum_{\vect K_{pq}\in\Lambda^{*}}^{'}\sum_{j=0}^{\left[\left(L-\left|M\right|/2\right)\right]}\frac{\left(-1\right)^{j}\left(\beta_{pq}/2\kappa\right)^{L-2j}e^{iM\phi_{\vect{\beta}_{pq}}}\Gamma_{j,pq}}{j!\left(\frac{1}{2}\left(L-M\right)-j\right)!\left(\frac{1}{2}\left(L+M\right)-j\right)!}\left(\frac{\gamma_{pq}}{2}\right)^{2j-1}
 211 \end{eqnarray*}
 212
 213 \end_inset
 214
 215 [Kambe II, (3.17)], replacing
 216 \lang finnish
 217
 218 \begin_inset Formula $n\rightarrow j$
 219 \end_inset
 220
 221
 222 \lang english
 223 ,
 224 \lang finnish
 225
 226 \begin_inset Formula $A\rightarrow\mathscr{A}$
 227 \end_inset
 228
 229 ,
 230 \begin_inset Formula $\vect K_{pt}\to\vect K_{p}$
 231 \end_inset
 232
 233 ,
 234 \begin_inset Formula $\Gamma\left(\frac{1}{2}-j,e^{-i\pi}\Gamma_{p}^{2}\omega/2\right)\to\Gamma_{j,p}$
 235 \end_inset
 236
 237  and performing little typographic modifications
 238 \lang english
 239
 240 \begin_inset Formula
 241 \begin{align*}
 242 D_{LM} & =-\frac{1}{\mathscr{A}\kappa}i^{\left|M\right|+1}2^{-L}\sqrt{\left(2L+1\right)\left(L+\left|M\right|\right)!\left(L-\left|M\right|\right)!}\times\\
 243  & \quad\times\sum_{p}e^{i\vect K_{p}\cdot\vect c_{ijt}}e^{-iM\phi_{K_{p}}}\sum_{j=0}^{\left(L-\left|M\right|\right)/2}\frac{\left(\Gamma_{p}/\kappa\right)^{2j-1}\left(K_{p}/\kappa\right)^{L-2j}\Gamma_{j,p}}{j!\left(\frac{1}{2}\left(L-\left|M\right|\right)-j\right)!\left(\frac{1}{2}\left(L+\left|M\right|\right)-j\right)!}
 244 \end{align*}
 245
 246 \end_inset
 247
 248 Using the relations between
 249 \begin_inset Formula $\Kambe{\Gamma_{p}}=-i\kappa\Linton{\gamma_{\mu}}$
 250 \end_inset
 251
 252 , we have (also, we replace the
 253 \begin_inset Formula $\mu$
 254 \end_inset
 255
 256  index with
 257 \begin_inset Formula $p$
 258 \end_inset
 259
 260 )
 261 \begin_inset Formula
 262 \begin{align*}
 263 D_{LM} & =-\frac{1}{\mathscr{A}\kappa}i^{\left|M\right|+1}2^{-L}\sqrt{\left(2L+1\right)\left(L+\left|M\right|\right)!\left(L-\left|M\right|\right)!}\times\\
 264  & \quad\times\sum_{p}e^{i\vect K_{p}\cdot\vect c_{ijt}}e^{-iM\phi_{K_{p}}}\sum_{j=0}^{\left(L-\left|M\right|\right)/2}\frac{\left(-i\gamma_{p}\right)^{2j-1}\left(K_{p}/\kappa\right)^{L-2j}\Gamma_{j,p}}{j!\left(\frac{1}{2}\left(L-\left|M\right|\right)-j\right)!\left(\frac{1}{2}\left(L+\left|M\right|\right)-j\right)!}
 265 \end{align*}
 266
 267 \end_inset
 268
 269 and now, trying to make the exponents look the same as in Linton,
 270 \begin_inset Formula $2^{-1}2^{2j-L}2^{1-2j}=2^{-L}$
 271 \end_inset
 272
 273  (OK),
 274 \begin_inset Formula $K_{p}^{L-2j}=K_{p}^{L-2j}$
 275 \end_inset
 276
 277  (OK),
 278 \begin_inset Formula
 279 \begin{align*}
 280 D_{LM} & =-\frac{1}{2\kappa\mathscr{A}}i^{\left|M\right|+1}\sqrt{\left(2L+1\right)\left(L+\left|M\right|\right)!\left(L-\left|M\right|\right)!}\times\\
 281  & \quad\times\sum_{p}e^{i\vect K_{p}\cdot\vect c_{ij}}e^{-iM\phi_{K_{p}}}\sum_{j=0}^{\left(L-\left|M\right|\right)/2}\frac{\left(-i\right)^{2j-1}\left(K_{p}/2\kappa\right)^{L-2j}\Gamma_{j,p}}{j!\left(\frac{1}{2}\left(L-\left|M\right|\right)-j\right)!\left(\frac{1}{2}\left(L+\left|M\right|\right)-j\right)!}\left(\frac{\gamma_{p}}{2}\right)^{2j-1}
 282 \end{align*}
 283
 284 \end_inset
 285
 286 There are now these differences left:
 287 \end_layout
 288
 289 \begin_layout Itemize
 290
 291 \lang english
 292 Additional
 293 \begin_inset Formula $\kappa$
 294 \end_inset
 295
 296  factor in
 297 \begin_inset Formula $D_{LM}$
 298 \end_inset
 299
 300
 301 \end_layout
 302
 303 \begin_layout Itemize
 304
 305 \lang english
 306 \begin_inset Formula $i^{L+1}\left(-1\right)^{\left(L+M\right)/2}\left(-1\right)^{j}$
 307 \end_inset
 308
 309  vs.
 310
 311 \begin_inset Formula $i^{\left|M\right|+1}\left(-i\right)^{2j-1}$
 312 \end_inset
 313
 314
 315 \end_layout
 316
 317 \begin_layout Itemize
 318
 319 \lang english
 320 Opposite phase in the angular part.
 321 \end_layout
 322
 323 \begin_layout Itemize
 324
 325 \lang english
 326 Plane wave factor in
 327 \begin_inset Formula $D_{LM}$
 328 \end_inset
 329
 330
 331 \end_layout
 332
 333 \begin_layout Standard
 334
 335 \lang english
 336 Let's look at the
 337 \begin_inset Formula $i,-1$
 338 \end_inset
 339
 340  factors (note that
 341 \begin_inset Formula $L+M$
 342 \end_inset
 343
 344  is odd):
 345 \begin_inset Formula $\left(-i\right)^{2j}=\left(-1\right)^{j},$
 346 \end_inset
 347
 348  leaving
 349 \begin_inset Formula $i^{L+1}\left(-1\right)^{\left(L+M\right)/2}$
 350 \end_inset
 351
 352  vs.
 353
 354 \begin_inset Formula $i^{\left|M\right|+1}i$
 355 \end_inset
 356
 357 .
 358  So there is might be a phase difference due to different conventions, but
 359  it does not depend on
 360 \begin_inset Formula $j$
 361 \end_inset
 362
 363 , so one should be able to transplant the
 364 \begin_inset Formula $z\ne0$
 365 \end_inset
 366
 367  sum from Kambe without major problems.
 368 \end_layout
 369
 370 \begin_layout Section
 371 Ewald parameter (integration limits)
 372 \end_layout
 373
 374 \begin_layout Standard
 375 \begin_inset Formula
 376 \[
 377 \Linton{\eta}=\sqrt{\frac{1}{2\Kambe{\omega}}}
 378 \]
 379
 380 \end_inset
 381
 382 (Based on comparison of some function arguments, not checked.)
 383 \end_layout
 384
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