notes/tftests.lyx

   1 #LyX 2.1 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
   2 \lyxformat 474
   3 \begin_document
   4 \begin_header
   5 \textclass article
   6 \begin_preamble
   7 \usepackage{unicode-math}
   8
   9 % Toto je trik, jimž se z fontspec získá familyname pro následující
  10 \ExplSyntaxOn
  11 \DeclareExpandableDocumentCommand{\getfamilyname}{m}
  12  {
  13   \use:c { g__fontspec_ \cs_to_str:N #1 _family }
  14  }
  15 \ExplSyntaxOff
  16
  17 % definujeme novou rodinu, jež se volá pomocí \MyCyr pro běžné použití, avšak pro účely \DeclareSymbolFont je nutno získat název pomocí getfamilyname definovaného výše
  18 \newfontfamily\MyCyr{CMU Serif}
  19
  20 \DeclareSymbolFont{cyritletters}{EU1}{\getfamilyname\MyCyr}{m}{it}
  21 \newcommand{\makecyrmathletter}[1]{%
  22   \begingroup\lccode`a=#1\lowercase{\endgroup
  23   \Umathcode`a}="0 \csname symcyritletters\endcsname\space #1
  24 }
  25 \count255="409
  26 \loop\ifnum\count255<"44F
  27   \advance\count255 by 1
  28   \makecyrmathletter{\count255}
  29 \repeat
  30
  31 \renewcommand{\lyxmathsym}[1]{#1}
  32 \end_preamble
  33 \use_default_options true
  34 \maintain_unincluded_children false
  35 \language czech
  36 \language_package default
  37 \inputencoding auto
  38 \fontencoding global
  39 \font_roman TeX Gyre Pagella
  40 \font_sans default
  41 \font_typewriter default
  42 \font_math default
  43 \font_default_family default
  44 \use_non_tex_fonts true
  45 \font_sc false
  46 \font_osf true
  47 \font_sf_scale 100
  48 \font_tt_scale 100
  49 \graphics default
  50 \default_output_format pdf4
  51 \output_sync 0
  52 \bibtex_command default
  53 \index_command default
  54 \paperfontsize 10
  55 \spacing single
  56 \use_hyperref true
  57 \pdf_title "Accelerating lattice mode calculations with T-matrix method"
  58 \pdf_author "Marek Nečada"
  59 \pdf_bookmarks true
  60 \pdf_bookmarksnumbered false
  61 \pdf_bookmarksopen false
  62 \pdf_bookmarksopenlevel 1
  63 \pdf_breaklinks false
  64 \pdf_pdfborder false
  65 \pdf_colorlinks false
  66 \pdf_backref false
  67 \pdf_pdfusetitle true
  68 \papersize a5paper
  69 \use_geometry true
  70 \use_package amsmath 1
  71 \use_package amssymb 1
  72 \use_package cancel 1
  73 \use_package esint 1
  74 \use_package mathdots 1
  75 \use_package mathtools 1
  76 \use_package mhchem 1
  77 \use_package stackrel 1
  78 \use_package stmaryrd 1
  79 \use_package undertilde 1
  80 \cite_engine basic
  81 \cite_engine_type default
  82 \biblio_style plain
  83 \use_bibtopic false
  84 \use_indices false
  85 \paperorientation portrait
  86 \suppress_date false
  87 \justification true
  88 \use_refstyle 1
  89 \index Index
  90 \shortcut idx
  91 \color #008000
  92 \end_index
  93 \leftmargin 2cm
  94 \topmargin 2cm
  95 \rightmargin 2cm
  96 \bottommargin 2cm
  97 \secnumdepth 3
  98 \tocdepth 3
  99 \paragraph_separation indent
 100 \paragraph_indentation default
 101 \quotes_language german
 102 \papercolumns 1
 103 \papersides 1
 104 \paperpagestyle default
 105 \tracking_changes false
 106 \output_changes false
 107 \html_math_output 0
 108 \html_css_as_file 0
 109 \html_be_strict false
 110 \end_header
 111
 112 \begin_body
 113
 114 \begin_layout Standard
 115 \begin_inset FormulaMacro
 116 \newcommand{\svecp}[1]{#1}
 117 \end_inset
 118
 119
 120 \begin_inset FormulaMacro
 121 \newcommand{\svect}[1]{#1}
 122 \end_inset
 123
 124
 125 \begin_inset FormulaMacro
 126 \newcommand{\vect}[1]{\mathbf{#1}}
 127 \end_inset
 128
 129
 130 \begin_inset FormulaMacro
 131 \newcommand{\FoR}[1]{\mathfrak{#1}}
 132 \end_inset
 133
 134
 135 \begin_inset FormulaMacro
 136 \newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
 137 \end_inset
 138
 139
 140 \begin_inset FormulaMacro
 141 \newcommand{\WignerD}{\mathcal{D}}
 142 \end_inset
 143
 144
 145 \end_layout
 146
 147 \begin_layout Title
 148 Testování numerické správnosti QPMS
 149 \end_layout
 150
 151 \begin_layout Author
 152 Marek Nečada
 153 \end_layout
 154
 155 \begin_layout Abstract
 156 Všeliké poznámky vztahující se k psaní testů knihovny QPMS.
 157 \end_layout
 158
 159 \begin_layout Section
 160 Operátor přesunu
 161 \end_layout
 162
 163 \begin_layout Standard
 164 Rozmohl se mi takový nešvar, že souměrné soustavy (například vůči zrcadlení
 165
 166 \begin_inset Formula $y\leftrightarrow-y$
 167 \end_inset
 168
 169 ) dávají nesouměrné výsledky např.
 170  pro účinný průřez.
 171  Zdá se, že k chybě dochází v některém z kroků výpočtu operátoru přesunu
 172
 173 \begin_inset Formula $S(b\leftarrow a)$
 174 \end_inset
 175
 176 .
 177  Ověřme jeho výpočtem v různě otočených či převrácených soustavách souřadnic.
 178  Buďtež tedy
 179 \begin_inset Formula $\FoR F$
 180 \end_inset
 181
 182 ,
 183 \begin_inset Formula $\FoR G$
 184 \end_inset
 185
 186  dvě různé soustavy souřadnic v euklidovském navzájem otočené či převrácené,
 187  a pakliže vyjádření vektoru
 188 \begin_inset Formula $\vect v$
 189 \end_inset
 190
 191  v soustavě
 192 \begin_inset Formula $\FoR F$
 193 \end_inset
 194
 195  je
 196 \begin_inset Formula $\vect v_{j}^{\FoR F}$
 197 \end_inset
 198
 199 , pak jeho vyjádření v soustavě
 200 \begin_inset Formula $\FoR G$
 201 \end_inset
 202
 203  budiž
 204 \begin_inset Formula $\vect v_{j}^{\FoR G}=\Psi_{ji}\vect v_{i}^{\FoR F}$
 205 \end_inset
 206
 207 , kde
 208 \begin_inset Formula $\Psi\in O(3)$
 209 \end_inset
 210
 211 .
 212  Odpovídající transformace kulového vektoru (např.
 213  vyzařovaných kulových el.
 214  vln) jest
 215 \begin_inset Formula
 216 \[
 217 \svect A_{l'm'}^{\FoR G}=\WignerD_{l'm'\leftarrow lm}^{(\Psi)}\svect A_{lm}^{\FoR F}.
 218 \]
 219
 220 \end_inset
 221
 222 Pakliže se jedná o kombinovaný kulový vektor-pseudovektor (jako třeba vyzařovaný
 223 ch kulových elektrických a magnetických vln), dostáváme (OVĚŘ)
 224 \begin_inset Formula
 225 \[
 226 \svecp A_{t'l'm'}^{\FoR G}=\WignerD_{t'l'm'\leftarrow tlm}^{(\Psi)}\svecp A_{tlm}^{\FoR F}=\left(\det\Psi\right)^{\left(t'-t\right)}\WignerD_{l'm'\leftarrow lm}^{(\Psi)}\svecp A_{tlm}^{\FoR F}.
 227 \]
 228
 229 \end_inset
 230
 231
 232 \end_layout
 233
 234 \begin_layout Standard
 235 Vezměmež elementární případ dílčího rozptylu částice v bodě
 236 \begin_inset Formula $b$
 237 \end_inset
 238
 239  záření vyzařovaného částicí v bodě
 240 \begin_inset Formula $a$
 241 \end_inset
 242
 243 .
 244  Nezávisle na soustavě:
 245 \begin_inset Formula
 246 \[
 247 P^{(b)}=S_{b\leftarrow a}T^{(a)}P^{(a)}
 248 \]
 249
 250 \end_inset
 251
 252
 253 \end_layout
 254
 255 \begin_layout Standard
 256 V soustavě
 257 \begin_inset Formula $\FoR F$
 258 \end_inset
 259
 260 :
 261 \begin_inset Formula
 262 \[
 263 P^{(b)\FoR F}=S_{(b\leftarrow a)^{\FoR F}}^{\FoR F}T^{(a)\FoR F}P^{(a)\FoR F}.
 264 \]
 265
 266 \end_inset
 267
 268 V soustavě
 269 \begin_inset Formula $\FoR G$
 270 \end_inset
 271
 272  (pro jednoduchost píši
 273 \begin_inset Formula $\WignerD\equiv\WignerD^{(\Psi)}$
 274 \end_inset
 275
 276  atd.):
 277 \begin_inset Formula
 278 \begin{eqnarray*}
 279 P^{(b)\FoR G} & = & \WignerD P^{(b)\FoR F}=\WignerD S_{(b\leftarrow a)^{\FoR F}}^{\FoR F}T^{(a)\FoR F}P^{(a)\FoR F}\\
 280  & = & \underbrace{\WignerD S_{(b-a)^{\FoR F}}^{\FoR F}\WignerD^{-1}}_{S_{(b-a)^{\FoR F}}^{\FoR G}=S_{\Psi^{-1}(b-a)^{\FoR G}}^{\FoR G}???}\underbrace{\WignerD T^{(a)\FoR F}\WignerD^{-1}}_{T^{(a)\FoR G}}\underbrace{\WignerD P^{(a)\FoR F}}_{P^{(a)\FoR G}}.
 281 \end{eqnarray*}
 282
 283 \end_inset
 284
 285
 286 \end_layout
 287
 288 \begin_layout Standard
 289 Nemá první svorka býti
 290 \begin_inset Formula $S_{\left(b-a\right)^{\FoR G}}^{\FoR G}$
 291 \end_inset
 292
 293 ?!
 294 \end_layout
 295
 296 \begin_layout Standard
 297 Test správnosti tedy může vypadat následovně:
 298 \end_layout
 299
 300 \begin_layout Enumerate
 301 Vytvoř náhodně vektor přesunu
 302 \begin_inset Formula $\vect v$
 303 \end_inset
 304
 305  (což bude naše
 306 \begin_inset Formula $(b-a)^{\FoR G}$
 307 \end_inset
 308
 309 ) a transformaci
 310 \begin_inset Formula $\Psi\in O(3)$
 311 \end_inset
 312
 313 .
 314
 315 \end_layout
 316
 317 \begin_layout Enumerate
 318 TODO
 319 \end_layout
 320
 321 \begin_layout Subsection
 322 Nalezené nesrovnalosti
 323 \end_layout
 324
 325 \begin_layout Standard
 326 Xuovy vzorce ve starší práci
 327 \begin_inset CommandInset citation
 328 LatexCommand cite
 329 after "(77–80)"
 330 key "xu_calculation_1996"
 331
 332 \end_inset
 333
 334  a v novější práci
 335 \begin_inset CommandInset citation
 336 LatexCommand cite
 337 after "(63–65, ...)"
 338 key "xu_efficient_1998"
 339
 340 \end_inset
 341
 342  pro koefficienty
 343 \begin_inset Formula $B_{mn\mu\nu}$
 344 \end_inset
 345
 346  se lišejí v několika ohledech:
 347 \end_layout
 348
 349 \begin_layout Enumerate
 350 Ve starší práci suma začíná na
 351 \begin_inset Formula $q=0$
 352 \end_inset
 353
 354 , kdežto v novější práci až na
 355 \begin_inset Formula $q=1$
 356 \end_inset
 357
 358 .
 359  Ovšem členy s
 360 \begin_inset Formula $q=0$
 361 \end_inset
 362
 363  jsou identicky nulové, takže je zbytečné začínat na nule.
 364  (Ověřeno numericky – i tam jsou to přesně nuly.)
 365 \end_layout
 366
 367 \begin_layout Enumerate
 368 Ve starší práci je poslední člen sumy
 369 \begin_inset Formula $q=\min\left(n+1,\nu,\frac{n+\nu+1-\left|\mu-m\right|}{2}\right)$
 370 \end_inset
 371
 372 , zatímco v novější je to
 373 \begin_inset Formula $q=\min\left(n,\nu,\frac{n+\nu+1-\left|\mu-m\right|}{2}\right)$
 374 \end_inset
 375
 376 .
 377  Tyto hodnoty se pochopitelně mohou lišit, například pro
 378 \begin_inset Formula $\left(m,n,\mu,\nu\right)=\left(-1,1,-1,3\right)$
 379 \end_inset
 380
 381 .
 382  Numericky ověřeno, že „přebytečné“ členy ze starší práce jsou nulové (avšak
 383  vypočtené hodnoty nejsou přesně nuly, něco zbude kvůli zaokrouhlovacích
 384  chyb).
 385 \end_layout
 386
 387 \begin_layout Enumerate
 388 !!! Některé hodnoty nesedějí, například pro
 389 \begin_inset Formula $\left(m,n,\mu,\nu\right)=\left(0,1,-1,1\right)$
 390 \end_inset
 391
 392 !!! (Při numerickém srovnání Xuových vzorců
 393 \begin_inset CommandInset citation
 394 LatexCommand cite
 395 after "(77–80)"
 396 key "xu_calculation_1996"
 397
 398 \end_inset
 399
 400  ve staré práci a cruzanovských vzorců
 401 \begin_inset CommandInset citation
 402 LatexCommand cite
 403 after "(59–61, ...)"
 404 key "xu_efficient_1998"
 405
 406 \end_inset
 407
 408 .)
 409 \end_layout
 410
 411 \begin_layout Enumerate
 412 A nakonec samotné vzorce pro sčítance mají poněkud jiný tvar.
 413 \end_layout
 414
 415 \begin_layout Subsection
 416 Možné zdroje nepřesností
 417 \end_layout
 418
 419 \begin_layout Standard
 420 I po opravě na Cruzanovy/Xuovy vzorce dochází k tomu, že posunuté vlny mají
 421  chybu řádově v procentech a více.
 422  Přitom hodnota se nezlepšuje se zvýšením lMax.
 423  Možné zdroje nepřesností, jež je třeba vyloučit:
 424 \end_layout
 425
 426 \begin_layout Itemize
 427 Odčítání podobných hodnot.
 428  Řešení: nahradit všechny podezřelé součty Kahanovým sčítáním.
 429 \end_layout
 430
 431 \begin_layout Itemize
 432 Nepřesnosti v implementaci GSL.
 433  Otestovat a porovnat s
 434 \end_layout
 435
 436 \begin_deeper
 437 \begin_layout Itemize
 438 Legendreovy polynomy,
 439 \end_layout
 440
 441 \begin_layout Itemize
 442 Besselovy funkce – nepřesné jak sviňa zejména u derivací besselových funkcí
 443  prvního druhu.
 444  Nutno zvolit jinou implementaci.
 445 \end_layout
 446
 447 \end_deeper
 448 \begin_layout Itemize
 449 Vzorce v Xu blbě? To by bylo blbé, ale byl ještě jeden článek v jakémsi
 450  obskurním plátku.
 451 \end_layout
 452
 453 \begin_layout Standard
 454
 455 \end_layout
 456
 457 \begin_layout Standard
 458 \begin_inset CommandInset bibtex
 459 LatexCommand bibtex
 460 bibfiles "/l/necadam1/repo/qpms/Electrodynamics"
 461 options "plain"
 462
 463 \end_inset
 464
 465
 466 \end_layout
 467
 468 \end_body
 469 \end_document