notes/worknotes.lyx

   1 #LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
   2 \lyxformat 413
   3 \begin_document
   4 \begin_header
   5 \textclass revtex4
   6 \options pra,superscriptaddress,twocolumn,notitlepage
   7 \use_default_options false
   8 \maintain_unincluded_children false
   9 \language english
  10 \language_package default
  11 \inputencoding auto
  12 \fontencoding global
  13 \font_roman default
  14 \font_sans default
  15 \font_typewriter default
  16 \font_default_family default
  17 \use_non_tex_fonts true
  18 \font_sc false
  19 \font_osf false
  20 \font_sf_scale 100
  21 \font_tt_scale 100
  22
  23 \graphics default
  24 \default_output_format pdf4
  25 \output_sync 0
  26 \bibtex_command bibtex
  27 \index_command default
  28 \paperfontsize default
  29 \spacing single
  30 \use_hyperref false
  31 \papersize a4paper
  32 \use_geometry false
  33 \use_amsmath 1
  34 \use_esint 1
  35 \use_mhchem 1
  36 \use_mathdots 1
  37 \cite_engine basic
  38 \use_bibtopic false
  39 \use_indices false
  40 \paperorientation portrait
  41 \suppress_date false
  42 \use_refstyle 1
  43 \index Index
  44 \shortcut idx
  45 \color #008000
  46 \end_index
  47 \secnumdepth 3
  48 \tocdepth 3
  49 \paragraph_separation indent
  50 \paragraph_indentation default
  51 \quotes_language english
  52 \papercolumns 1
  53 \papersides 1
  54 \paperpagestyle default
  55 \tracking_changes false
  56 \output_changes false
  57 \html_math_output 0
  58 \html_css_as_file 0
  59 \html_be_strict false
  60 \end_header
  61
  62 \begin_body
  63
  64 \begin_layout Standard
  65
  66 \lang finnish
  67 \begin_inset FormulaMacro
  68 \newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle }
  69 \end_inset
  70
  71
  72 \begin_inset FormulaMacro
  73 \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1\right|}
  74 \end_inset
  75
  76
  77 \lang english
  78
  79 \begin_inset FormulaMacro
  80 \newcommand{\vect}[1]{\mathbf{\boldsymbol{#1}}}
  81 {\boldsymbol{\mathbf{#1}}}
  82 \end_inset
  83
  84
  85 \begin_inset FormulaMacro
  86 \newcommand{\uvec}[1]{\mathbf{\boldsymbol{\hat{#1}}}}
  87 {\boldsymbol{\hat{\mathbf{#1}}}}
  88 \end_inset
  89
  90
  91 \begin_inset FormulaMacro
  92 \newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
  93 \end_inset
  94
  95
  96 \end_layout
  97
  98 \begin_layout Title
  99 Technical notes on quantum electromagnetic multiple scattering
 100 \end_layout
 101
 102 \begin_layout Author
 103 Marek Nečada
 104 \end_layout
 105
 106 \begin_layout Affiliation
 107 COMP Centre of Excellence, Department of Applied Physics, Aalto University,
 108  P.O.
 109  Box 15100, Fi-00076 Aalto, Finland
 110 \end_layout
 111
 112 \begin_layout Date
 113 \begin_inset ERT
 114 status open
 115
 116 \begin_layout Plain Layout
 117
 118
 119 \backslash
 120 today
 121 \end_layout
 122
 123 \end_inset
 124
 125
 126 \end_layout
 127
 128 \begin_layout Abstract
 129 ...
 130
 131 \end_layout
 132
 133 \begin_layout Section
 134 Theory of quantum electromagnetic multiple scattering
 135 \end_layout
 136
 137 \begin_layout Subsection
 138 Incoherent pumping
 139 \end_layout
 140
 141 \begin_layout Standard
 142 Cf.
 143  Wubs
 144 \begin_inset CommandInset citation
 145 LatexCommand cite
 146 key "wubs_multiple-scattering_2004"
 147
 148 \end_inset
 149
 150 , Delga
 151 \begin_inset CommandInset citation
 152 LatexCommand cite
 153 key "delga_quantum_2014,delga_theory_2014"
 154
 155 \end_inset
 156
 157 .
 158 \end_layout
 159
 160 \begin_layout Subsection
 161 General initial states
 162 \end_layout
 163
 164 \begin_layout Standard
 165 Look at
 166 \begin_inset CommandInset citation
 167 LatexCommand cite
 168 key "landau_computational_2015"
 169
 170 \end_inset
 171
 172  for an inspiration for solving the LS equation with an arbitrary initial
 173  state.
 174 \end_layout
 175
 176 \begin_layout Section
 177 Computing classical Green's functions
 178 \end_layout
 179
 180 \begin_layout Standard
 181 The formulae below might differ depending on the conventions used by various
 182  authors.
 183  For instance, Taylor
 184 \begin_inset CommandInset citation
 185 LatexCommand cite
 186 key "taylor_optical_2011"
 187
 188 \end_inset
 189
 190  uses normalized spherical wavefunctions
 191 \begin_inset Formula $\widetilde{\vect M}_{mn}^{(j)},\widetilde{\vect N}_{mn}^{(j)}$
 192 \end_inset
 193
 194  which are designed in a way that avoids float number overflow of some of
 195  the variables during the numerical calculation.
 196 \end_layout
 197
 198 \begin_layout Standard
 199 Beware of various conventions in definitions of Legendre functions etc.
 200  (the implementation in py-gmm differs, for example, by a factor of
 201 \begin_inset Formula $(-1)^{m}$
 202 \end_inset
 203
 204  from scipy.special.lpmn.
 205  I think this is also the reason that lead to the
 206 \begin_inset Quotes eld
 207 \end_inset
 208
 209 wrong
 210 \begin_inset Quotes erd
 211 \end_inset
 212
 213  signs in the addition coefficients in my code compared to
 214 \begin_inset CommandInset citation
 215 LatexCommand cite
 216 key "xu_calculation_1996"
 217
 218 \end_inset
 219
 220 .
 221 \end_layout
 222
 223 \begin_layout Subsection
 224 T-Matrix method
 225 \end_layout
 226
 227 \begin_layout Subsubsection
 228 VSWF decomposition
 229 \end_layout
 230
 231 \begin_layout Standard
 232 Expressions for VSWF in Xu
 233 \begin_inset CommandInset citation
 234 LatexCommand cite
 235 after "(2)"
 236 key "xu_electromagnetic_1995"
 237
 238 \end_inset
 239
 240 :
 241 \end_layout
 242
 243 \begin_layout Standard
 244 \begin_inset Formula
 245 \begin{eqnarray}
 246 \vect M_{mn}^{(J)} & = & \left(i\uvec{\theta}\pi_{mn}(\cos\theta)-\uvec{\phi}\tau_{mn}(\cos\theta)\right)z_{n}^{(J)}(kr)e^{im\phi},\nonumber \\
 247 \vect N_{mn}^{(J)} & = & \uvec rn(n+1)P_{n}^{m}(\cos\theta)\frac{z_{n}^{(J)}(kr)}{kr}e^{im\phi}\label{eq:vswf}\\
 248  &  & +\left(\uvec{\theta}\tau_{mn}(\cos\theta)+i\uvec{\phi}\pi_{mn}(\cos\theta)\right)\nonumber \\
 249  &  & \phantom{+}\times\frac{1}{kr}\frac{\ud\left(rz_{n}^{(J)}(kr)\right)}{\ud r}e^{im\phi},\nonumber \\
 250  & = & ...\nonumber
 251 \end{eqnarray}
 252
 253 \end_inset
 254
 255 where
 256 \begin_inset Formula $z_{n}^{(J)}$
 257 \end_inset
 258
 259  denotes
 260 \begin_inset Formula $j_{n},y_{n},h_{n}^{+},h_{n}^{-}$
 261 \end_inset
 262
 263  for
 264 \begin_inset Formula $J=1,2,3,4$
 265 \end_inset
 266
 267 , respectively, and
 268 \begin_inset Formula
 269 \begin{eqnarray*}
 270 \pi_{mn}(\cos\theta) & = & \frac{m}{\sin\theta}P_{n}^{m}(\cos\theta),\\
 271 \tau_{mn}(\cos\theta) & = & \frac{\ud P_{n}^{m}(\cos\theta)}{\ud\theta}=-\sin\theta\frac{\ud P_{n}^{m}(\cos\theta)}{\ud\cos\theta}.
 272 \end{eqnarray*}
 273
 274 \end_inset
 275
 276 The expressions for
 277 \begin_inset Formula $\vect M_{mn}^{(J)},\vect N_{mn}^{(J)}$
 278 \end_inset
 279
 280  are dimensionless.
 281 \end_layout
 282
 283 \begin_layout Standard
 284
 285 \emph on
 286 Note about the case
 287 \begin_inset Formula $\theta\to0,\pi$
 288 \end_inset
 289
 290 :
 291 \emph default
 292  There is a divergent
 293 \begin_inset Formula $1/\sin\theta$
 294 \end_inset
 295
 296  factor in the
 297 \begin_inset Formula $\pi_{mn}(\cos\theta)$
 298 \end_inset
 299
 300  function.
 301  For
 302 \begin_inset Formula $m=0$
 303 \end_inset
 304
 305 , it is irrelevant because of the
 306 \begin_inset Formula $m$
 307 \end_inset
 308
 309  factor (it would be bad otherwise, because
 310 \begin_inset Formula $P_{n}^{0}(\cos\theta)$
 311 \end_inset
 312
 313  does not go to zero at
 314 \begin_inset Formula $\theta\to0,\pi$
 315 \end_inset
 316
 317 ).
 318  For
 319 \begin_inset Formula $\left|m\right|\ge2$
 320 \end_inset
 321
 322 ,
 323 \begin_inset Formula $P_{n}^{m}(x)$
 324 \end_inset
 325
 326  behaves as
 327 \begin_inset Formula $o(x+1),o(x-1)$
 328 \end_inset
 329
 330  at
 331 \begin_inset Formula $-1,1$
 332 \end_inset
 333
 334 , so
 335 \begin_inset Formula $P_{n}^{m}(\cos\theta)$
 336 \end_inset
 337
 338  goes like
 339 \begin_inset Formula $o(\theta^{2}),o\left((\theta-\pi)^{2}\right)$
 340 \end_inset
 341
 342  at
 343 \begin_inset Formula $0,\pi$
 344 \end_inset
 345
 346 , which safely eliminates the divergent factor.
 347  However, for
 348 \begin_inset Formula $\left|m\right|=1$
 349 \end_inset
 350
 351 , the whole expression
 352 \begin_inset Formula $P_{n}^{m}(\cos\theta)/\sin\theta$
 353 \end_inset
 354
 355  has a finite nonzero limit for
 356 \begin_inset Formula $\theta\to0,\pi$
 357 \end_inset
 358
 359 .
 360  According to Mathematica (for
 361 \begin_inset Formula $\theta\to\pi,$
 362 \end_inset
 363
 364  Mathematica does not work well, but it can be derived from the
 365 \begin_inset Formula $\theta\to0$
 366 \end_inset
 367
 368  case and oddness/evenness).
 369
 370 \begin_inset Formula
 371 \begin{eqnarray*}
 372 \lim_{\theta\to0}\frac{P_{n}^{1}(\cos\theta)}{\sin\theta} & = & -\frac{1}{2}n(1+n),\qquad\lim_{\theta\to0}\frac{P_{n}^{-1}(\cos\theta)}{\sin\theta}=\frac{1}{2},\\
 373 \lim_{\theta\to\pi}\frac{P_{n}^{1}(\cos\theta)}{\sin\theta} & = & \frac{\left(-1\right)^{n}}{2}n(1+n),\qquad\lim_{\theta\to\pi}\frac{P_{n}^{-1}(\cos\theta)}{\sin\theta}=\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}.
 374 \end{eqnarray*}
 375
 376 \end_inset
 377
 378 NOT COMPLETELY SURE ABOUT THE SIGN/NORMALIZATION CONVENTION HERE.
 379  IT HAS TO BE CHECKED.
 380 \end_layout
 381
 382 \begin_layout Standard
 383 Expansions for the scattered fields are
 384 \begin_inset CommandInset citation
 385 LatexCommand cite
 386 after "(4)"
 387 key "xu_electromagnetic_1995"
 388
 389 \end_inset
 390
 391 :
 392 \begin_inset Formula
 393 \begin{eqnarray*}
 394 \vect E_{s}(j) & = & \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}iE_{mn}\left[a_{mn}^{j}\vect N_{mn}^{(3)}+b_{mn}^{j}\vect M_{mn}^{(3)}\right],\\
 395 \vect H_{s}(j) & = & \frac{k}{\omega\mu}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}E_{mn}\left[b_{mn}^{j}\vect N_{mn}^{(3)}+a_{mn}^{j}\vect M_{mn}^{(3)}\right].
 396 \end{eqnarray*}
 397
 398 \end_inset
 399
 400 These expansions should be OK in SI units (take the Fourier transform of
 401
 402 \begin_inset Formula $\nabla\times\vect E=-\partial\vect B/\partial t$
 403 \end_inset
 404
 405  and
 406 \begin_inset Formula $\vect B=\mu\vect H$
 407 \end_inset
 408
 409 ).
 410  For internal field of a sphere, the (regular-wave) expansion reads
 411 \begin_inset Formula
 412 \begin{eqnarray*}
 413 \vect E_{I}(j) & = & -\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}iE_{mn}\left[d_{mn}^{j}\vect N_{mn}^{(1)}+c_{mn}^{j}\vect M_{mn}^{(1)}\right],\\
 414 \vect H_{I}(j) & = & -\frac{k}{\omega\mu}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}E_{mn}\left[c_{mn}^{j}\vect N_{mn}^{(1)}+d_{mn}^{j}\vect M_{mn}^{(1)}\right]
 415 \end{eqnarray*}
 416
 417 \end_inset
 418
 419 (note the minus sign; I am not sure about its role) and the incident field
 420  (incl.
 421  field from the other scatterers) is assumed to have the same regular-wave
 422  form
 423 \begin_inset Formula
 424 \begin{eqnarray*}
 425 \vect E_{i}(j) & = & -\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}iE_{mn}\left[p_{mn}^{j}\vect N_{mn}^{(1)}+q_{mn}^{j}\vect M_{mn}^{(1)}\right],\\
 426 \vect H_{i}(j) & = & -\frac{k}{\omega\mu}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}E_{mn}\left[q_{mn}^{j}\vect N_{mn}^{(1)}+p_{mn}^{j}\vect M_{mn}^{(1)}\right].
 427 \end{eqnarray*}
 428
 429 \end_inset
 430
 431 Note that
 432 \begin_inset Formula $k/\omega\mu=\sqrt{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}/\mu_{r}\mu_{0}}=1/\eta_{r}\eta_{0}.$
 433 \end_inset
 434
 435  The
 436 \begin_inset Quotes eld
 437 \end_inset
 438
 439 factor
 440 \begin_inset Quotes erd
 441 \end_inset
 442
 443
 444 \begin_inset Formula $H/E$
 445 \end_inset
 446
 447  is thus
 448 \begin_inset Formula $-ik/\omega\mu=-i\sqrt{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}/\mu_{r}\mu_{0}}$
 449 \end_inset
 450
 451 , which is important in determining the Mie coefficients.
 452 \end_layout
 453
 454 \begin_layout Standard
 455 The common multipole-dependent factor is given by
 456 \begin_inset Formula
 457 \[
 458 E_{mn}=\left|E_{0}\right|i^{n}(2n+1)\frac{\left(n-m\right)!}{\left(n+m\right)!}
 459 \]
 460
 461 \end_inset
 462
 463 which
 464 \begin_inset Quotes eld
 465 \end_inset
 466
 467 is desired for keeping the formulation of the multisphere scattering theory
 468  consistent with that of the Mie theory.
 469  It ensures that all the expressions in the multisphere theory turn out
 470  to be identical to those in the Mie theory when one is dealing with a cluster
 471  containing only one sphere and illuminated by a single plane wave
 472 \begin_inset Quotes erd
 473 \end_inset
 474
 475 .
 476  (According to Bohren&Huffman
 477 \begin_inset CommandInset citation
 478 LatexCommand cite
 479 after "(4.37)"
 480 key "bohren_absorption_1983"
 481
 482 \end_inset
 483
 484 , the decomposition of a plane wave reads
 485 \begin_inset Formula
 486 \[
 487 \vect E=E_{0}\sum_{n=1}^{\infty}i^{n}\frac{2n+1}{n(n+1)}\left(\vect M_{o1n}^{(1)}-i\vect N_{e1n}^{(1)}\right),
 488 \]
 489
 490 \end_inset
 491
 492 where the even/odd VSWF and
 493 \begin_inset Formula $m\ge0$
 494 \end_inset
 495
 496  convention is used.)
 497 \end_layout
 498
 499 \begin_layout Standard
 500
 501 \emph on
 502 It should be possible to just take it away and the abovementioned expansions
 503  are still consistent, are they not?
 504 \end_layout
 505
 506 \begin_layout Standard
 507 In
 508 \begin_inset CommandInset citation
 509 LatexCommand cite
 510 after "sec. 4A"
 511 key "xu_electromagnetic_1995"
 512
 513 \end_inset
 514
 515 , there are formulae for translation of the plane wave between VSWF with
 516  different origins.
 517 \end_layout
 518
 519 \begin_layout Standard
 520 o
 521 \end_layout
 522
 523 \begin_layout Subsubsection
 524 Mie scattering
 525 \end_layout
 526
 527 \begin_layout Standard
 528 For the exact form of the coefficients following from the boundary conditions
 529  on the spherical surface, cf.
 530
 531 \begin_inset CommandInset citation
 532 LatexCommand cite
 533 after "(12–13)"
 534 key "xu_electromagnetic_1995"
 535
 536 \end_inset
 537
 538 .
 539  For the particular case of spherical nanoparticle, it is important that
 540  they can be written as
 541 \begin_inset CommandInset citation
 542 LatexCommand cite
 543 after "(14–15)"
 544 key "xu_electromagnetic_1995"
 545
 546 \end_inset
 547
 548
 549 \begin_inset Formula
 550 \begin{alignat*}{1}
 551 a_{mn}^{j} & =R_{n}^{V}p_{mn}^{j},\quad b_{mn}^{j}=R_{n}^{H}q_{mn}^{j},\\
 552 c_{mn}^{j} & =T_{n}^{H}q_{mn}^{j},\quad d_{mn}^{j}=T_{n}^{V}p_{mn}^{j},
 553 \end{alignat*}
 554
 555 \end_inset
 556
 557 in other words, the Mie coefficients do not depend on
 558 \begin_inset Formula $m$
 559 \end_inset
 560
 561  but solely on
 562 \begin_inset Formula $n$
 563 \end_inset
 564
 565  (which is not surprising and probably follows from the Wigner-Eckart theorem).
 566 \end_layout
 567
 568 \begin_layout Standard
 569 Respecting the conventions for decomposition in the previous section (i.e.
 570  there is opposite sign in the scattered part), the reflection and
 571 \begin_inset Quotes eld
 572 \end_inset
 573
 574 transmission
 575 \begin_inset Quotes erd
 576 \end_inset
 577
 578  coefficients become (adopted from
 579 \begin_inset CommandInset citation
 580 LatexCommand cite
 581 after "(4.52--53)"
 582 key "bohren_absorption_1983"
 583
 584 \end_inset
 585
 586
 587 \begin_inset Formula
 588 \begin{eqnarray*}
 589 R_{n}^{V} & =\frac{a_{n}}{p_{n}}= & \frac{\mu_{e}m^{2}z^{i}ž^{e}-\mu_{i}z^{e}ž^{i}}{\mu_{e}m^{2}z^{i}ž^{s}-\mu_{i}z^{s}ž^{i}}\\
 590 R_{n}^{H} & =\frac{b_{n}}{q_{n}}= & \frac{\mu_{i}z^{i}ž^{e}-\mu_{e}z^{e}ž^{i}}{\mu_{i}z^{i}ž^{s}-\mu_{e}z^{s}ž^{i}}\\
 591 T_{n}^{V} & =\frac{d_{n}}{p_{n}}= & \frac{\mu_{i}mz^{e}ž^{s}-\mu_{i}mz^{s}ž^{e}}{\mu_{e}m^{2}z^{i}ž^{s}-\mu_{i}z^{s}ž^{i}}\\
 592 T_{n}^{H} & =\frac{c_{n}}{q_{n}}= & \frac{\mu_{i}z^{e}ž^{s}-\mu_{i}z^{s}ž^{e}}{\mu_{i}z^{i}ž^{s}-\mu_{e}z^{s}ž^{i}}
 593 \end{eqnarray*}
 594
 595 \end_inset
 596
 597 where
 598 \begin_inset Formula $\mu_{i}|\mu_{e}$
 599 \end_inset
 600
 601  is (absolute) permeability of the sphere|envinronment,
 602 \begin_inset Formula $m=k_{i}/k_{e}=\sqrt{\mu_{i}\varepsilon_{i}/\mu_{e}\varepsilon_{e}}$
 603 \end_inset
 604
 605 , and
 606 \begin_inset Formula
 607 \begin{eqnarray*}
 608 z^{i} & = & z_{n}^{(J_{i}=1)}(k_{i}R)=j_{n}(k_{i}R),\\
 609 z^{e} & = & z_{n}^{(J_{e})}(k_{e}R),\\
 610 z^{s} & = & z_{n}^{(J_{s})}(k_{e}R),\\
 611 ž^{i/e/s} & = & \frac{\ud(k_{i/e/e}R\cdot z_{n}^{(J_{i/e/e})}(k_{i/e/e}R)}{\ud(k_{i/e/e}R)}.
 612 \end{eqnarray*}
 613
 614 \end_inset
 615
 616
 617 \end_layout
 618
 619 \begin_layout Subsubsection
 620 Translation coefficients
 621 \end_layout
 622
 623 \begin_layout Standard
 624 A quite detailed study can be found in
 625 \begin_inset CommandInset citation
 626 LatexCommand cite
 627 key "xu_calculation_1996"
 628
 629 \end_inset
 630
 631 , I have not read the recenter one
 632 \begin_inset CommandInset citation
 633 LatexCommand cite
 634 key "xu_efficient_1998"
 635
 636 \end_inset
 637
 638  which deals with efficient evaluation of Wigner 3jm symbols and Gaunt coefficie
 639 nts.
 640
 641 \end_layout
 642
 643 \begin_layout Standard
 644 With the VSWF as in
 645 \begin_inset CommandInset ref
 646 LatexCommand eqref
 647 reference "eq:vswf"
 648
 649 \end_inset
 650
 651  and translation relations in the form
 652 \begin_inset CommandInset citation
 653 LatexCommand cite
 654 after "(38,39)"
 655 key "xu_calculation_1996"
 656
 657 \end_inset
 658
 659
 660 \begin_inset Formula
 661 \begin{eqnarray*}
 662 \vect M_{\mu\nu}^{(J)l} & = & \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}\left[A_{mn}^{\mu\nu}\vect M_{mn}^{(1)j}+B_{mn}^{\mu\nu}\vect N_{mn}^{(1)j}\right],\quad r\le d_{lj},\\
 663 \vect N_{\mu\nu}^{(J)l} & = & \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}\left[B_{mn}^{\mu\nu}\vect M_{mn}^{(1)j}+A_{mn}^{\mu\nu}\vect N_{mn}^{(1)j}\right],\quad r\le d_{lj},\\
 664 \vect M_{\mu\nu}^{(J)l} & = & \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}\left[A_{mn}^{\mu\nu}\vect M_{mn}^{(J)j}+B_{mn}^{\mu\nu}\vect N_{mn}^{(J)j}\right],\quad r\ge d_{lj},\\
 665 \vect N_{\mu\nu}^{(J)l} & = & \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n}\left[B_{mn}^{\mu\nu}\vect M_{mn}^{(J)j}+A_{mn}^{\mu\nu}\vect N_{mn}^{(J)j}\right],\quad r\ge d_{lj},
 666 \end{eqnarray*}
 667
 668 \end_inset
 669
 670 the translation coefficients (which should in fact be also labeled with
 671  their origin indices
 672 \begin_inset Formula $l,j$
 673 \end_inset
 674
 675 ) are
 676 \begin_inset CommandInset citation
 677 LatexCommand cite
 678 after "(82,83)"
 679 key "xu_calculation_1996"
 680
 681 \end_inset
 682
 683
 684 \end_layout
 685
 686 \begin_layout Standard
 687 \begin_inset Formula
 688 \begin{multline*}
 689 A_{mn}^{\mu\nu}=\\
 690 \frac{(-1)^{m}i^{\nu+n}(n+2)_{n-1}\left(\nu+2\right)_{\nu+1}(n+\nu+m-\mu)!}{4n(n+\nu+1)_{n+\nu}(n-m)!(\nu+m)!}\\
 691 \times e^{i(\mu-m)\phi_{lj}}\sum_{q=0}^{q_{\mathrm{max}}}(-1)^{q}\left[n(n+1)+\nu(\nu+1)-p(p+1)\right]\\
 692 \times\tilde{a}_{1q}\begin{pmatrix}z_{p}^{(J)}(kd_{lj})\\
 693 j_{p}(kd_{lj})
 694 \end{pmatrix}P_{p}^{\mu-m}(\cos\theta_{lj}),\qquad\begin{pmatrix}r\le d_{lj}\\
 695 r\ge d_{lj}
 696 \end{pmatrix};
 697 \end{multline*}
 698
 699 \end_inset
 700
 701
 702 \begin_inset Formula
 703 \begin{multline*}
 704 B_{mn}^{\mu\nu}=\\
 705 \frac{(-1)^{m}i^{\nu+n+1}(n+2)_{n+1}\left(\nu+2\right)_{\nu+1}(n+\nu+m-\mu+1)!}{4n(n+1)(n+m+1)(n+\nu+2)_{n+\nu+1}(n-m)!(\nu+m)!}\\
 706 \times e^{i(\mu-m)\phi_{lj}}\sum_{q=0}^{Q_{\mathrm{max}}}(-1)^{q}\Big\{2(n+1)(\nu-\mu)\tilde{a}_{2q}-\\
 707 -\left[p(p+3)-\nu(\nu+1)-n(n+3)-2\mu(n+1)\right]\tilde{a}_{3q}\Big\}\\
 708 \times\begin{pmatrix}z_{p+1}^{(J)}(kd_{lj})\\
 709 j_{p+1}(kd_{lj})
 710 \end{pmatrix}P_{p+1}^{\mu-m}(\cos\theta_{lj}),\qquad\begin{pmatrix}r\le d_{lj}\\
 711 r\ge d_{lj}
 712 \end{pmatrix};
 713 \end{multline*}
 714
 715 \end_inset
 716
 717 where
 718 \begin_inset CommandInset citation
 719 LatexCommand cite
 720 after "(79,80)"
 721 key "xu_calculation_1996"
 722
 723 \end_inset
 724
 725
 726 \begin_inset Formula
 727 \begin{eqnarray*}
 728 \tilde{a}_{1q} & = & a(-m,n,\mu,\nu,n+\nu-2q)/a(-m,n,\mu,\nu,n+\nu),\\
 729 \tilde{a}_{2q} & = & a(-m-1,n+1,\mu+1,\nu,n+\nu+1-2q)/\\
 730  &  & /a(-m-1,n+1,\mu+1,\nu,n+\nu+1),\\
 731 \tilde{a}_{3q} & = & a(-m,n+1,\mu,\nu,n+\nu+1-2q)/\\
 732  &  & /a(-m,n+1,\mu,\nu,\mu+\nu+1),
 733 \end{eqnarray*}
 734
 735 \end_inset
 736
 737
 738 \begin_inset Formula
 739 \begin{eqnarray*}
 740 p & = & n+\nu-2q\\
 741 q_{\max} & = & \min\left(n,\nu,\frac{n+\nu-\left|m-\mu\right|}{2}\right),\\
 742 Q_{\max} & = & \min\left(n+1,\nu,\frac{n+\nu+1-\left|m-\mu\right|}{2}\right),
 743 \end{eqnarray*}
 744
 745 \end_inset
 746
 747 where the parentheses with lower index mean most likely the Pochhammer symbol
 748  /
 749 \emph on
 750 rising
 751 \emph default
 752  factorial
 753 \begin_inset Formula
 754 \[
 755 \left(x\right)_{n}=x(x+1)(x+2)\dots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)},
 756 \]
 757
 758 \end_inset
 759
 760 which is damn confusing (because this can also mean the falling factorial,
 761  cf.
 762  Wikipedia); and Xu does not bother explaining the notation
 763 \emph on
 764 anywhere
 765 \emph default
 766 .
 767  The fact that it is the rising factorial has been checked by comparing
 768
 769 \begin_inset Formula $a_{0}$
 770 \end_inset
 771
 772
 773 \begin_inset CommandInset citation
 774 LatexCommand cite
 775 after "(78)"
 776 key "xu_calculation_1996"
 777
 778 \end_inset
 779
 780  to some implementation from the internets
 781 \begin_inset Foot
 782 status open
 783
 784 \begin_layout Plain Layout
 785
 786 \family typewriter
 787 \begin_inset CommandInset href
 788 LatexCommand href
 789 name "https://raw.githubusercontent.com/michael-hartmann/gaunt/master/gaunt.py"
 790 target "https://raw.githubusercontent.com/michael-hartmann/gaunt/master/gaunt.py"
 791
 792 \end_inset
 793
 794
 795 \end_layout
 796
 797 \end_inset
 798
 799 .
 800 \end_layout
 801
 802 \begin_layout Standard
 803 The implementation should be checked with
 804 \begin_inset CommandInset citation
 805 LatexCommand cite
 806 after "Table II"
 807 key "xu_calculation_1996"
 808
 809 \end_inset
 810
 811
 812 \end_layout
 813
 814 \begin_layout Subsubsection
 815 Equations for the scattering problem
 816 \end_layout
 817
 818 \begin_layout Standard
 819 The linear system for the scattering problem reads
 820 \begin_inset CommandInset citation
 821 LatexCommand cite
 822 after "(30)"
 823 key "xu_electromagnetic_1995"
 824
 825 \end_inset
 826
 827
 828 \begin_inset Formula
 829 \begin{eqnarray*}
 830 a_{mn}^{j} & = & a_{n}^{j}\left\{ p_{mn}^{j,j}-\sum_{l\neq j}^{(1,L)}\sum_{\nu=1}^{\infty}\sum_{\mu=-\nu}^{\nu}\left[a_{\mu\nu}^{l}A_{mn}^{\mu\nu;lj}+b_{\mu\nu}^{l}B_{mn}^{\mu\nu;lj}\right]\right\} \\
 831 b_{mn}^{j} & = & b_{n}^{j}\left\{ q_{mn}^{j,j}-\sum_{l\neq j}^{(1,L)}\sum_{\nu=1}^{\infty}\sum_{\mu=-\nu}^{\nu}\left[a_{\mu\nu}^{l}B_{mn}^{\mu\nu;lj}+b_{\mu\nu}^{l}A_{mn}^{\mu\nu;lj}\right]\right\}
 832 \end{eqnarray*}
 833
 834 \end_inset
 835
 836 where
 837 \begin_inset Formula $p_{mn}^{j,j},q_{mn}^{j,j}$
 838 \end_inset
 839
 840  are the expansion coefficients of the initial incident waves in the
 841 \begin_inset Formula $j$
 842 \end_inset
 843
 844 -th particle's coordinate system
 845 \begin_inset CommandInset citation
 846 LatexCommand cite
 847 after "sec. 4A"
 848 key "xu_electromagnetic_1995"
 849
 850 \end_inset
 851
 852 .
 853
 854 \emph on
 855 TODO expressions for
 856 \begin_inset Formula $p_{mn}^{j,j},q_{mn}^{j,j}$
 857 \end_inset
 858
 859  in the case of dipole initial wave.
 860 \end_layout
 861
 862 \begin_layout Subsubsection
 863 Solving the linear system
 864 \end_layout
 865
 866 \begin_layout Standard
 867 \begin_inset CommandInset citation
 868 LatexCommand cite
 869 after "sec. 5"
 870 key "xu_electromagnetic_1995"
 871
 872 \end_inset
 873
 874
 875 \end_layout
 876
 877 \begin_layout Subsection
 878 T-Matrix resummation (multiple scatterers)
 879 \end_layout
 880
 881 \begin_layout Subsection
 882 Boundary element method
 883 \end_layout
 884
 885 \begin_layout Subsection
 886 BEM→TM
 887 \end_layout
 888
 889 \begin_layout Standard
 890 Cf.
 891  SCUFF-TMATRIX (
 892 \begin_inset CommandInset ref
 893 LatexCommand ref
 894 reference "sub:SCUFF-TMATRIX"
 895
 896 \end_inset
 897
 898 )
 899 \end_layout
 900
 901 \begin_layout Section
 902 Available software
 903 \end_layout
 904
 905 \begin_layout Itemize
 906 TODO which of them can calculate the VSWF translation coefficients?
 907 \end_layout
 908
 909 \begin_layout Subsection
 910 SCUFF-EM
 911 \begin_inset CommandInset citation
 912 LatexCommand cite
 913 key "reid_scuff-em_2015"
 914
 915 \end_inset
 916
 917
 918 \end_layout
 919
 920 \begin_layout Subsubsection
 921
 922 \family typewriter
 923 SCUFF-TMATRIX
 924 \family default
 925
 926 \begin_inset CommandInset label
 927 LatexCommand label
 928 name "sub:SCUFF-TMATRIX"
 929
 930 \end_inset
 931
 932
 933 \end_layout
 934
 935 \begin_layout Subsubsection
 936
 937 \family typewriter
 938 SCUFF-SCATTER
 939 \family default
 940
 941 \begin_inset CommandInset label
 942 LatexCommand label
 943 name "sub:SCUFF-SCATTER"
 944
 945 \end_inset
 946
 947
 948 \end_layout
 949
 950 \begin_layout Subsubsection
 951 Caveats
 952 \end_layout
 953
 954 \begin_layout Description
 955 Units.
 956
 957 \family typewriter
 958 SCUFF-SCATTER
 959 \family default
 960 's Angular frequencies specified using the
 961 \family typewriter
 962 --Omega
 963 \family default
 964  or
 965 \family typewriter
 966 --OmegaFile
 967 \family default
 968  arguments are interpreted in units of
 969 \begin_inset Formula $c/1\,\mathrm{μm}=3\cdot10^{14}\,\mathrm{rad/s}$
 970 \end_inset
 971
 972
 973 \begin_inset Foot
 974 status open
 975
 976 \begin_layout Plain Layout
 977
 978 \family typewriter
 979 \begin_inset CommandInset href
 980 LatexCommand href
 981 name "http://homerreid.dyndns.org/scuff-EM/scuff-scatter/scuffScatterExamples.shtml"
 982 target "http://homerreid.dyndns.org/scuff-EM/scuff-scatter/scuffScatterExamples.shtml"
 983
 984 \end_inset
 985
 986
 987 \end_layout
 988
 989 \end_inset
 990
 991 .
 992
 993 \emph on
 994 TODO what are the output units?
 995 \end_layout
 996
 997 \begin_layout Subsection
 998 MSTM
 999 \begin_inset CommandInset citation
1000 LatexCommand cite
1001 key "mackowski_mstm_2013"
1002
1003 \end_inset
1004
1005
1006 \end_layout
1007
1008 \begin_layout Itemize
1009 The incident field is a gaussian beam or a plane wave in the vanilla code
1010  (no multipole radiation as input!).
1011 \end_layout
1012
1013 \begin_layout Itemize
1014 The bulk of the useful code is in the
1015 \family typewriter
1016 mstm-modules-v3.0.f90
1017 \family default
1018  file.
1019 \end_layout
1020
1021 \begin_layout Itemize
1022 For solving the interaction equations
1023 \begin_inset CommandInset citation
1024 LatexCommand cite
1025 after "(14)"
1026 key "mackowski_mstm_2013"
1027
1028 \end_inset
1029
1030 , the BCGM (biconjugate gradient method) is used.
1031  (According to Wikipedia, this method is numerically unstable but has a
1032  stabilized version (stabilized BCGM).)
1033 \end_layout
1034
1035 \begin_layout Itemize
1036 According to the manual
1037 \begin_inset CommandInset citation
1038 LatexCommand cite
1039 after "2.3"
1040 key "mackowski_mstm_2013"
1041
1042 \end_inset
1043
1044 , they use some method (rotational-axial translation decomposition of the
1045  translation operation), which
1046 \begin_inset Quotes eld
1047 \end_inset
1048
1049 reduces the operation from an
1050 \begin_inset Formula $L_{S}^{4}$
1051 \end_inset
1052
1053  process to
1054 \begin_inset Formula $L_{S}^{3}$
1055 \end_inset
1056
1057  process where
1058 \begin_inset Formula $L_{S}$
1059 \end_inset
1060
1061  is the truncation order of the expansion
1062 \begin_inset Quotes erd
1063 \end_inset
1064
1065  (more details can probably be found at
1066 \begin_inset CommandInset citation
1067 LatexCommand cite
1068 after "around (68)"
1069 key "mackowski_calculation_1996"
1070
1071 \end_inset
1072
1073 .
1074
1075 \end_layout
1076
1077 \begin_deeper
1078 \begin_layout Itemize
1079
1080 \emph on
1081 Not sure if this holds also for nonspherical particles, I should either
1082  read carefully
1083 \emph default
1084
1085 \begin_inset CommandInset citation
1086 LatexCommand cite
1087 key "mackowski_calculation_1996"
1088
1089 \end_inset
1090
1091
1092 \emph on
1093  or look into
1094 \begin_inset CommandInset citation
1095 LatexCommand cite
1096 key "mishchenko_electromagnetic_2003"
1097
1098 \end_inset
1099
1100  which is also cited in the manual.
1101 \end_layout
1102
1103 \end_deeper
1104 \begin_layout Itemize
1105 By default spheres, it is possible to add own T-Matrix coefficients instead.
1106
1107 \end_layout
1108
1109 \begin_deeper
1110 \begin_layout Itemize
1111
1112 \emph on
1113 Is it then possible to insert a T-Matrix of an arbitrary shape, or is it
1114  somehow limited to
1115 \begin_inset Quotes eld
1116 \end_inset
1117
1118 spherical-like
1119 \begin_inset Quotes erd
1120 \end_inset
1121
1122  particles?
1123 \end_layout
1124
1125 \end_deeper
1126 \begin_layout Itemize
1127 Why the heck are the T-matrix options listed in the
1128 \begin_inset Quotes eld
1129 \end_inset
1130
1131 Options for random orientation calculations
1132 \begin_inset Quotes erd
1133 \end_inset
1134
1135 ? Well, it seems that for fixed orientation, it is not possible to specify
1136  the T-matrix, cf.
1137  the description of
1138 \family typewriter
1139 fixed_or_random_orientation
1140 \family default
1141  option in
1142 \begin_inset CommandInset citation
1143 LatexCommand cite
1144 after "3.2.3"
1145 key "mackowski_mstm_2013"
1146
1147 \end_inset
1148
1149 .
1150 \end_layout
1151
1152 \begin_layout Subsubsection
1153 Interesting subroutines
1154 \end_layout
1155
1156 \begin_layout Itemize
1157
1158 \family typewriter
1159 rottranfarfield
1160 \family default
1161 : it states
1162 \begin_inset Quotes eld
1163 \end_inset
1164
1165 far field formula for outgoing vswf translation
1166 \begin_inset Quotes erd
1167 \end_inset
1168
1169 .
1170  What is that and how does it differ from whatever else (near field?) formula?
1171 \end_layout
1172
1173 \begin_layout Subsection
1174 py_gmm
1175 \begin_inset CommandInset citation
1176 LatexCommand cite
1177 key "pellegrini_py_gmm_2015"
1178
1179 \end_inset
1180
1181
1182 \end_layout
1183
1184 \begin_layout Itemize
1185 Fortran code, already (partially) pythonized using
1186 \family typewriter
1187 f2py
1188 \family default
1189  by the authors(?); under GNU GPLv3.
1190  This could save my day.
1191 \end_layout
1192
1193 \begin_layout Itemize
1194 Lots of unnecessary code duplication (see e.g.
1195
1196 \family typewriter
1197 coeff_sp2
1198 \family default
1199  and
1200 \family typewriter
1201 coeff_sp2_dip
1202 \family default
1203  subroutines).
1204 \end_layout
1205
1206 \begin_layout Itemize
1207 Has comments!!! (Sometimes they are slightly inaccurate due to the copy-pasting,
1208  but it is still one of the most readable FORTRAN codes I have seen.)
1209 \end_layout
1210
1211 \begin_layout Itemize
1212 The subroutines seem not to be bloated with dependencies on static/global
1213  variables, so they should be quite easily reusable.
1214 \end_layout
1215
1216 \begin_layout Itemize
1217 The FORTRAN code was apparently used in
1218 \begin_inset CommandInset citation
1219 LatexCommand cite
1220 key "pellegrini_interacting_2007"
1221
1222 \end_inset
1223
1224 .
1225  Uses the multiple-scattering formalism described in
1226 \begin_inset CommandInset citation
1227 LatexCommand cite
1228 key "xu_efficient_1998"
1229
1230 \end_inset
1231
1232 .
1233 \end_layout
1234
1235 \begin_layout Subsubsection
1236 Interesting subroutines
1237 \end_layout
1238
1239 \begin_layout Standard
1240 Mie scattering:
1241 \end_layout
1242
1243 \begin_layout Itemize
1244
1245 \family typewriter
1246 coeff_sp2
1247 \family default
1248 : calculation of the Mie scattering coefficients (
1249 \begin_inset Formula $\overline{a}_{n}^{l},\overline{b}_{n}^{l}$
1250 \end_inset
1251
1252  as in
1253 \begin_inset CommandInset citation
1254 LatexCommand cite
1255 after "(1), (2), \\ldots"
1256 key "pellegrini_py_gmm_2015"
1257
1258 \end_inset
1259
1260 ), for a set of spheres (therefore all the parameters have +1 dimension).
1261 \end_layout
1262
1263 \begin_deeper
1264 \begin_layout Itemize
1265 What does the input parameter
1266 \family typewriter
1267 v_req
1268 \family default
1269  (
1270 \emph on
1271 vettore raggi equivalenti
1272 \emph default
1273 ) mean?
1274 \end_layout
1275
1276 \begin_layout Itemize
1277 How do I put in the environment permittivity?
1278 \end_layout
1279
1280 \begin_layout Itemize
1281
1282 \family typewriter
1283 m_epseq
1284 \family default
1285  are real and imaginary parts of the permittivity (which are then transformed
1286  into complex
1287 \family typewriter
1288 v_epsc
1289 \family default
1290 )
1291 \end_layout
1292
1293 \begin_layout Itemize
1294
1295 \family typewriter
1296 ref_index
1297 \family default
1298  is the environment refractive index (called
1299 \family typewriter
1300 n_matrix
1301 \family default
1302 in the example ipython notebook)
1303 \end_layout
1304
1305 \begin_layout Itemize
1306
1307 \family typewriter
1308 v_req
1309 \family default
1310  are the sphere radii?
1311 \end_layout
1312
1313 \begin_layout Itemize
1314
1315 \family typewriter
1316 nstop
1317 \family default
1318  is the maximum order of the
1319 \begin_inset Formula $n$
1320 \end_inset
1321
1322 -expansion
1323 \end_layout
1324
1325 \begin_layout Itemize
1326
1327 \family typewriter
1328 neq
1329 \family default
1330  is ns, number of spheres for which the calculation is performed apparently,
1331  it is connected to some
1332 \begin_inset Quotes eld
1333 \end_inset
1334
1335 dirty hack to interface fortran and python properly
1336 \begin_inset Quotes erd
1337 \end_inset
1338
1339  (cf.
1340
1341 \family typewriter
1342 gmm_f2py_module.f90
1343 \family default
1344 )
1345 \end_layout
1346
1347 \end_deeper
1348 \begin_layout Section
1349 Implementation / code integration
1350 \end_layout
1351
1352 \begin_layout Standard
1353 There are several scipy functions to compute the Legendre polynomials.
1354  lpmv is ufunc, whereas lpmn is not; lpmn can, however, compute also the
1355  derivatives.
1356  This is a bit annoying, because I have to iterate the positions with a
1357  for loop.
1358 \end_layout
1359
1360 \begin_layout Standard
1361 The default gsl legendre function (gsl_sf_legendre_array) without additional
1362  parameters has opposite sign than the scipy.special.lpmn, and it should contain
1363  the Condon-Shortley phase; thus scipy.special.lpmn probably does NOT include
1364  the CS phase.
1365  But again, this should hopefully play no role.
1366  The overall normalisation, on the other hand, plays huge role.
1367 \end_layout
1368
1369 \begin_layout Subsection
1370 Scattering-Taylor.ipynb
1371 \end_layout
1372
1373 \begin_layout Standard
1374 In the conventions used in the code and the corresponding libraries, the
1375  following symmetries hold for
1376 \begin_inset Formula $J=1$
1377 \end_inset
1378
1379  (regular wavefunctions):
1380 \begin_inset Formula
1381 \begin{eqnarray*}
1382 \widetilde{\vect M}_{m,n}^{(1)} & = & (-1)^{m}\widetilde{\vect M}_{-m,n}^{(1)},\\
1383 \widetilde{\vect N}_{m,n}^{(1)} & = & (-1)^{m}\widetilde{\vect N}_{-m,n}^{(1)}.
1384 \end{eqnarray*}
1385
1386 \end_inset
1387
1388
1389 \end_layout
1390
1391 \begin_layout Section
1392 Testing and reproduction of foreign results
1393 \end_layout
1394
1395 \begin_layout Subsection
1396 Delga PRL
1397 \begin_inset CommandInset citation
1398 LatexCommand cite
1399 key "delga_quantum_2014"
1400
1401 \end_inset
1402
1403
1404 \end_layout
1405
1406 \begin_layout Subsubsection
1407 Parameters
1408 \end_layout
1409
1410 \begin_layout Itemize
1411 Surrounding lossless dielectric
1412 \series bold
1413 medium
1414 \series default
1415  with permittivity
1416 \begin_inset Formula $\epsilon_{d}=2.13$
1417 \end_inset
1418
1419 .
1420 \end_layout
1421
1422 \begin_layout Itemize
1423
1424 \series bold
1425 QEs:
1426 \series default
1427  dipole moment
1428 \begin_inset Formula $\mu=0.19\, e\cdot\mathrm{nm}=9.12\,\mathrm{D}$
1429 \end_inset
1430
1431 , count
1432 \begin_inset Formula $N\in\left\{ 1,50,100,200\right\} $
1433 \end_inset
1434
1435 , radial orientation,
1436 \begin_inset Formula $h=1\,\mathrm{nm}$
1437 \end_inset
1438
1439  above the sphere (except for Fig.
1440  5 where variable), natural frequency
1441 \begin_inset Formula $\Omega_{n}=\omega_{0}-i\gamma_{\mathrm{QE}}/2,$
1442 \end_inset
1443
1444
1445 \begin_inset Formula $\omega_{0}=$
1446 \end_inset
1447
1448  varies,
1449 \begin_inset Formula $\gamma_{\mathrm{QE}}=15\,\mathrm{meV}$
1450 \end_inset
1451
1452 .
1453 \end_layout
1454
1455 \begin_layout Itemize
1456
1457 \series bold
1458 Sphere:
1459 \end_layout
1460
1461 \begin_deeper
1462 \begin_layout Itemize
1463 radius
1464 \begin_inset Formula $a=7\,\mathrm{nm}$
1465 \end_inset
1466
1467 ,
1468 \end_layout
1469
1470 \begin_layout Itemize
1471 Drude model
1472 \begin_inset Formula $\epsilon_{m}(\omega)=\epsilon_{\infty}-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega\left(\omega+i\gamma_{p}\right)}$
1473 \end_inset
1474
1475
1476 \end_layout
1477
1478 \begin_deeper
1479 \begin_layout Itemize
1480 Drude parameters
1481 \begin_inset Formula $\omega_{p}=9\,\mathrm{eV}$
1482 \end_inset
1483
1484 ,
1485 \begin_inset Formula $\epsilon_{\infty}=4.6$
1486 \end_inset
1487
1488 ,
1489 \begin_inset Formula $\gamma_{p}=0.1\,\mathrm{eV}$
1490 \end_inset
1491
1492
1493 \end_layout
1494
1495 \end_deeper
1496 \begin_layout Itemize
1497 background permittivity
1498 \begin_inset Formula $\epsilon_{d}(\omega)=2.13$
1499 \end_inset
1500
1501
1502 \end_layout
1503
1504 \begin_layout Itemize
1505 (approximate?; not really a parameter) LSP resonances
1506 \begin_inset Formula $\omega_{l}=\omega_{p}/\sqrt{\epsilon_{\infty}+\left(1+1/l\right)\epsilon_{d}}$
1507 \end_inset
1508
1509 ; particularly,
1510 \begin_inset Formula $\omega_{1}\approx3.0236\,\mathrm{eV}$
1511 \end_inset
1512
1513 ,
1514 \begin_inset Formula $\omega_{2}\approx3.2236\,\mathrm{eV}$
1515 \end_inset
1516
1517 ,
1518 \begin_inset Formula $\omega_{3}\approx3.30\,\mathrm{eV}$
1519 \end_inset
1520
1521 ,
1522 \begin_inset Formula $\omega_{4}\approx3.34\,\mathrm{eV}$
1523 \end_inset
1524
1525 ,
1526 \begin_inset Formula $\omega_{5}\approx3.364\,\mathrm{eV}$
1527 \end_inset
1528
1529
1530 \begin_inset Formula $\omega_{\infty}\approx3.4692\,\mathrm{eV}$
1531 \end_inset
1532
1533
1534 \end_layout
1535
1536 \end_deeper
1537 \begin_layout Itemize
1538
1539 \series bold
1540 Detector:
1541 \series default
1542
1543 \end_layout
1544
1545 \begin_deeper
1546 \begin_layout Itemize
1547 Far field:
1548 \begin_inset Formula $1\,\mathrm{\mu m}$
1549 \end_inset
1550
1551  away from the center of the nanoparticle along the
1552 \begin_inset Formula $y$
1553 \end_inset
1554
1555  axis (Fig.
1556  3).
1557 \end_layout
1558
1559 \begin_layout Itemize
1560 Near field: position not specified in the paper; but in Fig.
1561  4(b) there are
1562 \begin_inset Quotes eld
1563 \end_inset
1564
1565 polarization spectra
1566 \begin_inset Quotes erd
1567 \end_inset
1568
1569  instead of
1570 \begin_inset Quotes eld
1571 \end_inset
1572
1573 light spectra
1574 \begin_inset Quotes erd
1575 \end_inset
1576
1577  (eq.
1578  4) in Fig.
1579  4(a).
1580  Does this mean that they are evaluated somewhere in/on the sphere? Or in
1581  the particle? The latter is likely, as it is given by
1582 \begin_inset Formula $P_{n}\left(\omega\right)=\left\langle \sigma_{n}^{+}\left(-\omega\right)\sigma_{n}^{-}(\omega)\right\rangle $
1583 \end_inset
1584
1585  (cf.
1586  the column below Fig.
1587  3).
1588 \end_layout
1589
1590 \end_deeper
1591 \begin_layout Subsubsection
1592 Testing
1593 \end_layout
1594
1595 \begin_layout Standard
1596 In my
1597 \begin_inset Quotes eld
1598 \end_inset
1599
1600 old
1601 \begin_inset Quotes erd
1602 \end_inset
1603
1604  code, there no splitting observable around
1605 \begin_inset Formula $\omega\approx\omega_{0}\approx\omega_{\infty}\approx3.46\,\mathrm{eV}$
1606 \end_inset
1607
1608 .
1609  This is perhaps because the couplings to the higher multipoles is miscalculated
1610  (too small).
1611  No splitting around the NP dipole (
1612 \begin_inset Formula $\approx3,02\,\mathrm{eV}$
1613 \end_inset
1614
1615 ) should be OK for single QE in far field (cf.
1616  Fig.
1617  3).
1618  And there are yet the
1619 \begin_inset Quotes eld
1620 \end_inset
1621
1622 switched axes
1623 \begin_inset Quotes erd
1624 \end_inset
1625
1626 ...
1627 \end_layout
1628
1629 \begin_layout Standard
1630 If I set the dipole reflection coefficients RH[1], RV[1] to zero, and multiply
1631  the the quadrupole reflection coefficients RH[2], RV[2] by
1632 \begin_inset Formula $10^{6}$
1633 \end_inset
1634
1635 , the peak at
1636 \begin_inset Formula $3.0\,\mathrm{eV}$
1637 \end_inset
1638
1639  dissapears and a tiny(!) peak appears around the (expected) position of
1640
1641 \begin_inset Formula $3.0\,\mathrm{eV}$
1642 \end_inset
1643
1644 .
1645  Have I fucked up the Mie reflection coefficients? Sounds like if I forgot
1646  a factor of
1647 \begin_inset Formula $c$
1648 \end_inset
1649
1650  somewhere.
1651 \end_layout
1652
1653 \begin_layout Subsection
1654 Delga JoO
1655 \begin_inset CommandInset citation
1656 LatexCommand cite
1657 key "delga_theory_2014"
1658
1659 \end_inset
1660
1661
1662 \end_layout
1663
1664 \begin_layout Subsubsection
1665 Parameters
1666 \end_layout
1667
1668 \begin_layout Itemize
1669
1670 \series bold
1671 QEs:
1672 \series default
1673  dipole moment
1674 \begin_inset Formula $\mu=0.38\, e\cdot\mathrm{nm}=18.24\,\mathrm{D}$
1675 \end_inset
1676
1677  (double), otherwise the same parameters as in
1678 \begin_inset CommandInset citation
1679 LatexCommand cite
1680 key "delga_quantum_2014"
1681
1682 \end_inset
1683
1684 .
1685 \end_layout
1686
1687 \begin_layout Itemize
1688
1689 \series bold
1690 Sphere:
1691 \series default
1692 as in
1693 \begin_inset CommandInset citation
1694 LatexCommand cite
1695 key "delga_quantum_2014"
1696
1697 \end_inset
1698
1699
1700 \end_layout
1701
1702 \begin_layout Itemize
1703
1704 \series bold
1705 Detector:
1706 \series default
1707  not stated in the paper
1708 \end_layout
1709
1710 \begin_layout Itemize
1711
1712 \series bold
1713 Numerics:
1714 \series default
1715  looking at the leftmost ball in Fig.
1716  3, it seems that their SVW cutoff is around 12.
1717 \end_layout
1718
1719 \begin_layout Section
1720 Misc
1721 \end_layout
1722
1723 \begin_layout Itemize
1724 The
1725 \begin_inset Quotes eld
1726 \end_inset
1727
1728 zero limits
1729 \begin_inset Quotes erd
1730 \end_inset
1731
1732  of
1733 \begin_inset Formula $\tilde{\pi},\tilde{\tau}$
1734 \end_inset
1735
1736  functions in Taylor's normalisation can be expressed as
1737 \lang finnish
1738
1739 \begin_inset Formula
1740 \begin{eqnarray*}
1741 \lim_{\theta\to0}\tilde{\pi}_{mn}\left(\cos\theta\right) & = & -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}n\left(n+1\right)}(\delta_{m,1}+\delta_{m,-1})\\
1742 \lim_{\theta\to0}\tilde{\tau}_{mn}\left(\cos\theta\right) & = & -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}n\left(n+1\right)}(\delta_{m,1}-\delta_{m,-1})
1743 \end{eqnarray*}
1744
1745 \end_inset
1746
1747
1748 \end_layout
1749
1750 \begin_layout Standard
1751 \begin_inset CommandInset bibtex
1752 LatexCommand bibtex
1753 bibfiles "dipdip"
1754 options "apsrev"
1755
1756 \end_inset
1757
1758
1759 \end_layout
1760
1761 \end_body
1762 \end_document