lepaper/finite.lyx

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  95
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  97 Finite systems
  98 \end_layout
  99
 100 \begin_layout Subsection
 101 Motivation/intro
 102 \end_layout
 103
 104 \begin_layout Standard
 105 The basic idea of MSTMM is quite simple: the driving electromagnetic field
 106  incident onto a scatterer is expanded into a vector spherical wavefunction
 107  (VSWF) basis in which the single scattering problem is solved, and the
 108  scattered field is then re-expanded into VSWFs centered at the other scatterers.
 109  Repeating the same procedure with all (pairs of) scatterers yields a set
 110  of linear equations, solution of which gives the coefficients of the scattered
 111  field in the VSWF bases.
 112  Once these coefficients have been found, one can evaluate various quantities
 113  related to the scattering (such as cross sections or the scattered fields)
 114  quite easily.
 115
 116 \end_layout
 117
 118 \begin_layout Standard
 119 The expressions appearing in the re-expansions are fairly complicated, and
 120  the implementation of MSTMM is extremely error-prone also due to the various
 121  conventions used in the literature.
 122  Therefore although we do not re-derive from scratch the expressions that
 123  can be found elsewhere in literature, we always state them explicitly in
 124  our convention.
 125 \end_layout
 126
 127 \begin_layout Subsection
 128 Single-particle scattering
 129 \end_layout
 130
 131 \begin_layout Standard
 132 In order to define the basic concepts, let us first consider the case of
 133  EM radiation scattered by a single particle.
 134  We assume that the scatterer lies inside a closed sphere
 135 \begin_inset Formula $\particle$
 136 \end_inset
 137
 138 , the space outside this volume
 139 \begin_inset Formula $\medium$
 140 \end_inset
 141
 142  is filled with an homogeneous isotropic medium with relative electric permittiv
 143 ity
 144 \begin_inset Formula $\epsilon(\vect r,\omega)=\epsbg(\omega)$
 145 \end_inset
 146
 147  and magnetic permeability
 148 \begin_inset Formula $\mu(\vect r,\omega)=\mubg(\omega)$
 149 \end_inset
 150
 151 , and that the whole system is linear, i.e.
 152  the material properties of neither the medium nor the scatterer depend
 153  on field intensities.
 154  Under these assumptions, the EM fields
 155 \begin_inset Formula $\vect{\Psi}=\vect E,\vect H$
 156 \end_inset
 157
 158  in
 159 \begin_inset Formula $\medium$
 160 \end_inset
 161
 162  must satisfy the homogeneous vector Helmholtz equation together with the
 163  transversality condition
 164 \begin_inset Formula
 165 \begin{equation}
 166 \left(\nabla^{2}+k^{2}\right)\Psi\left(\vect r,\vect{\omega}\right)=0,\quad\nabla\cdot\vect{\Psi}\left(\vect r,\vect{\omega}\right)=0\label{eq:Helmholtz eq}
 167 \end{equation}
 168
 169 \end_inset
 170
 171
 172 \begin_inset Note Note
 173 status open
 174
 175 \begin_layout Plain Layout
 176 frequency-space Maxwell's equations
 177 \begin_inset Formula
 178 \begin{align*}
 179 \nabla\times\vect E\left(\vect r,\omega\right)-ik\eta_{0}\eta\vect H\left(\vect r,\omega\right) & =0,\\
 180 \eta_{0}\eta\nabla\times\vect H\left(\vect r,\omega\right)+ik\vect E\left(\vect r,\omega\right) & =0.
 181 \end{align*}
 182
 183 \end_inset
 184
 185
 186 \end_layout
 187
 188 \end_inset
 189
 190
 191 \begin_inset Note Note
 192 status open
 193
 194 \begin_layout Plain Layout
 195 todo define
 196 \begin_inset Formula $\Psi$
 197 \end_inset
 198
 199 , mention transversality
 200 \end_layout
 201
 202 \end_inset
 203
 204  with
 205 \begin_inset Formula $k=k\left(\omega\right)=\omega\sqrt{\mubg(\omega)\epsbg(\omega)}/c_{0}$
 206 \end_inset
 207
 208 , as can be derived from the Maxwell's equations
 209 \begin_inset CommandInset citation
 210 LatexCommand cite
 211 after "???"
 212 key "jackson_classical_1998"
 213 literal "false"
 214
 215 \end_inset
 216
 217 .
 218
 219 \end_layout
 220
 221 \begin_layout Subsubsection
 222 Spherical waves
 223 \end_layout
 224
 225 \begin_layout Standard
 226 Equation
 227 \begin_inset CommandInset ref
 228 LatexCommand ref
 229 reference "eq:Helmholtz eq"
 230 plural "false"
 231 caps "false"
 232 noprefix "false"
 233
 234 \end_inset
 235
 236  can be solved by separation of variables in spherical coordinates to give
 237  the solutions – the
 238 \emph on
 239 regular
 240 \emph default
 241  and
 242 \emph on
 243 outgoing
 244 \emph default
 245  vector spherical wavefunctions (VSWFs)
 246 \begin_inset Formula $\vswfrtlm{\tau}lm\left(k\vect r\right)$
 247 \end_inset
 248
 249  and
 250 \begin_inset Formula $\vswfouttlm{\tau}lm\left(k\vect r\right)$
 251 \end_inset
 252
 253 , respectively, defined as follows:
 254 \begin_inset Formula
 255 \begin{align}
 256 \vswfrtlm 1lm\left(k\vect r\right) & =j_{l}\left(kr\right)\vsh 1lm\left(\uvec r\right),\nonumber \\
 257 \vswfrtlm 2lm\left(k\vect r\right) & =\frac{1}{kr}\frac{\ud\left(krj_{l}\left(kr\right)\right)}{\ud\left(kr\right)}\vsh 2lm\left(\uvec r\right)+\sqrt{l\left(l+1\right)}\frac{j_{l}\left(kr\right)}{kr}\vsh 3lm\left(\uvec r\right),\label{eq:VSWF regular}
 258 \end{align}
 259
 260 \end_inset
 261
 262
 263 \begin_inset Formula
 264 \begin{align}
 265 \vswfouttlm 1lm\left(k\vect r\right) & =h_{l}^{\left(1\right)}\left(kr\right)\vsh 1lm\left(\uvec r\right),\nonumber \\
 266 \vswfouttlm 2lm\left(k\vect r\right) & =\frac{1}{kr}\frac{\ud\left(krh_{l}^{\left(1\right)}\left(kr\right)\right)}{\ud\left(kr\right)}\vsh 2lm\left(\uvec r\right)+\sqrt{l\left(l+1\right)}\frac{h_{l}^{\left(1\right)}\left(kr\right)}{kr}\vsh 3lm\left(\uvec r\right),\label{eq:VSWF outgoing}\\
 267  & \tau=1,2;\quad l=1,2,3,\dots;\quad m=-l,-l+1,\dots,+l,\nonumber
 268 \end{align}
 269
 270 \end_inset
 271
 272 where
 273 \begin_inset Formula $\vect r=r\uvec r$
 274 \end_inset
 275
 276 ,
 277 \begin_inset Formula $j_{l}\left(x\right),h_{l}^{\left(1\right)}\left(x\right)=j_{l}\left(x\right)+iy_{l}\left(x\right)$
 278 \end_inset
 279
 280  are the regular spherical Bessel function and spherical Hankel function
 281  of the first kind, respectively, as in [DLMF §10.47], and
 282 \begin_inset Formula $\vsh{\tau}lm$
 283 \end_inset
 284
 285  are the
 286 \emph on
 287 vector spherical harmonics
 288 \emph default
 289
 290 \begin_inset Formula
 291 \begin{align}
 292 \vsh 1lm\left(\uvec r\right) & =\frac{1}{\sqrt{l\left(l+1\right)}}\nabla\times\left(\vect r\ush lm\left(\uvec r\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{l\left(l+1\right)}}\nabla\ush lm\left(\uvec r\right)\times\vect r,\nonumber \\
 293 \vsh 2lm\left(\uvec r\right) & =\frac{1}{\sqrt{l\left(l+1\right)}}r\nabla\ush lm\left(\uvec r\right),\nonumber \\
 294 \vsh 3lm\left(\uvec r\right) & =\uvec r\ush lm\left(\uvec r\right).\label{eq:vector spherical harmonics definition}
 295 \end{align}
 296
 297 \end_inset
 298
 299 In our convention, the (scalar) spherical harmonics
 300 \begin_inset Formula $\ush lm$
 301 \end_inset
 302
 303  are identical to those in [DLMF 14.30.1], i.e.
 304 \begin_inset Formula
 305 \[
 306 \ush lm=\left(\frac{\left(l-m\right)!\left(2l+1\right)}{4\pi\left(l+m\right)!}\right)^{\frac{1}{2}}e^{im\phi}\dlmfFer lm\left(\cos\theta\right)
 307 \]
 308
 309 \end_inset
 310
 311 where importantly, the Ferrers functions
 312 \begin_inset Formula $\dlmfFer lm$
 313 \end_inset
 314
 315  defined as in [DLMF §14.3(i)] do already contain the Condon-Shortley phase
 316
 317 \begin_inset Formula $\left(-1\right)^{m}$
 318 \end_inset
 319
 320 .
 321 \begin_inset Note Note
 322 status open
 323
 324 \begin_layout Plain Layout
 325 TODO názornější definice.
 326 \end_layout
 327
 328 \end_inset
 329
 330
 331 \end_layout
 332
 333 \begin_layout Standard
 334 The convention for VSWFs used here is the same as in
 335 \begin_inset CommandInset citation
 336 LatexCommand cite
 337 key "kristensson_spherical_2014"
 338 literal "false"
 339
 340 \end_inset
 341
 342 ; over other conventions used elsewhere in literature, it has several fundamenta
 343 l advantages – most importantly, the translation operators introduced later
 344  in eq.
 345
 346 \begin_inset CommandInset ref
 347 LatexCommand ref
 348 reference "eq:translation op def"
 349 plural "false"
 350 caps "false"
 351 noprefix "false"
 352
 353 \end_inset
 354
 355  are unitary, and it gives the simplest possible expressions for power transport
 356  and cross sections without additional
 357 \begin_inset Formula $l,m$
 358 \end_inset
 359
 360 -dependent factors (for that reason, we also call our VSWFs as
 361 \emph on
 362 power-normalised
 363 \emph default
 364 ).
 365  Power-normalisation and unitary translation operators are possible to achieve
 366  also with real spherical harmonics – such a convention is used in
 367 \begin_inset CommandInset citation
 368 LatexCommand cite
 369 key "kristensson_scattering_2016"
 370 literal "false"
 371
 372 \end_inset
 373
 374 .
 375 \end_layout
 376
 377 \begin_layout Standard
 378 \begin_inset Note Note
 379 status open
 380
 381 \begin_layout Plain Layout
 382 Its solutions (TODO under which conditions? What vector space do the SVWFs
 383  actually span? Check Comment 9.2 and Appendix f.9.1 in Kristensson)
 384 \end_layout
 385
 386 \end_inset
 387
 388
 389 \end_layout
 390
 391 \begin_layout Standard
 392 \begin_inset Note Note
 393 status open
 394
 395 \begin_layout Plain Layout
 396 TODO small note about cartesian multipoles, anapoles etc.
 397  (There should be some comparing paper that the Russians at META 2018 mentioned.)
 398 \end_layout
 399
 400 \end_inset
 401
 402
 403 \end_layout
 404
 405 \begin_layout Subsubsection
 406 T-matrix definition
 407 \end_layout
 408
 409 \begin_layout Standard
 410 The regular VSWFs
 411 \begin_inset Formula $\vswfrtlm{\tau}lm\left(k\vect r\right)$
 412 \end_inset
 413
 414  constitute a basis for solutions of the Helmholtz equation
 415 \begin_inset CommandInset ref
 416 LatexCommand eqref
 417 reference "eq:Helmholtz eq"
 418 plural "false"
 419 caps "false"
 420 noprefix "false"
 421
 422 \end_inset
 423
 424  inside a ball
 425 \begin_inset Formula $\openball 0{R^{>}}$
 426 \end_inset
 427
 428  with radius
 429 \begin_inset Formula $R^{>}$
 430 \end_inset
 431
 432  and center in the origin; however, if the equation is not guaranteed to
 433  hold inside a smaller ball
 434 \begin_inset Formula $B_{0}\left(R\right)$
 435 \end_inset
 436
 437  around the origin (typically due to presence of a scatterer), one has to
 438  add the outgoing VSWFs
 439 \begin_inset Formula $\vswfrtlm{\tau}lm\left(k\vect r\right)$
 440 \end_inset
 441
 442  to have a complete basis of the solutions in the volume
 443 \begin_inset Formula $\openball 0{R^{>}}\backslash B_{0}\left(R\right)$
 444 \end_inset
 445
 446 .
 447 \begin_inset Note Note
 448 status open
 449
 450 \begin_layout Plain Layout
 451 Vnitřní koule uzavřená? Jak se řekne mezikulí anglicky?
 452 \end_layout
 453
 454 \end_inset
 455
 456
 457 \end_layout
 458
 459 \begin_layout Standard
 460 The single-particle scattering problem at frequency
 461 \begin_inset Formula $\omega$
 462 \end_inset
 463
 464  can be posed as follows: Let a scatterer be enclosed inside the ball
 465 \begin_inset Formula $B_{0}\left(R\right)$
 466 \end_inset
 467
 468  and let the whole volume
 469 \begin_inset Formula $\openball 0{R^{>}}\backslash B_{0}\left(R\right)$
 470 \end_inset
 471
 472  be filled with a homogeneous isotropic medium with wave number
 473 \begin_inset Formula $k\left(\omega\right)$
 474 \end_inset
 475
 476 .
 477  Inside this volume, the electric field can be expanded as
 478 \begin_inset Note Note
 479 status open
 480
 481 \begin_layout Plain Layout
 482 doplnit frekvence a polohy
 483 \end_layout
 484
 485 \end_inset
 486
 487
 488 \begin_inset Formula
 489 \begin{equation}
 490 \vect E\left(\omega,\vect r\right)=\sum_{\tau=1,2}\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=-l}^{+l}\left(\rcoefftlm{\tau}lm\vswfrtlm{\tau}lm\left(k\vect r\right)+\outcoefftlm{\tau}lm\vswfouttlm{\tau}lm\left(k\vect r\right)\right).\label{eq:E field expansion}
 491 \end{equation}
 492
 493 \end_inset
 494
 495 If there was no scatterer and
 496 \begin_inset Formula $B_{0}\left(R_{<}\right)$
 497 \end_inset
 498
 499  was filled with the same homogeneous medium, the part with the outgoing
 500  VSWFs would vanish and only the part
 501 \begin_inset Formula $\vect E_{\mathrm{inc}}=\sum_{\tau lm}\rcoefftlm{\tau}lm\vswfrtlm{\tau}lm$
 502 \end_inset
 503
 504  due to sources outside
 505 \begin_inset Formula $\openball 0R$
 506 \end_inset
 507
 508  would remain.
 509  Let us assume that the
 510 \begin_inset Quotes eld
 511 \end_inset
 512
 513 driving field
 514 \begin_inset Quotes erd
 515 \end_inset
 516
 517  is given, so that presence of the scatterer does not affect
 518 \begin_inset Formula $\vect E_{\mathrm{inc}}$
 519 \end_inset
 520
 521  and is fully manifested in the latter part,
 522 \begin_inset Formula $\vect E_{\mathrm{scat}}=\sum_{\tau lm}\outcoefftlm{\tau}lm\vswfouttlm{\tau}lm$
 523 \end_inset
 524
 525 .
 526  We also assume that the scatterer is made of optically linear materials,
 527  and hence reacts on the incident field in a linear manner.
 528  This gives a linearity constraint between the expansion coefficients
 529 \begin_inset Formula
 530 \begin{equation}
 531 \outcoefftlm{\tau}lm=\sum_{\tau'l'm'}T_{\tau lm}^{\tau'l'm'}\rcoefftlm{\tau'}{l'}{m'}\label{eq:T-matrix definition}
 532 \end{equation}
 533
 534 \end_inset
 535
 536 where the
 537 \begin_inset Formula $T_{\tau lm}^{\tau'l'm'}=T_{\tau lm}^{\tau'l'm'}\left(\omega\right)$
 538 \end_inset
 539
 540  are the elements of the
 541 \emph on
 542 transition matrix,
 543 \emph default
 544  a.k.a.
 545
 546 \begin_inset Formula $T$
 547 \end_inset
 548
 549 -matrix.
 550  It completely describes the scattering properties of a linear scatterer,
 551  so with the knowledge of the
 552 \begin_inset Formula $T$
 553 \end_inset
 554
 555 -matrix, we can solve the single-patricle scatering prroblem simply by substitut
 556 ing appropriate expansion coefficients
 557 \begin_inset Formula $\rcoefftlm{\tau'}{l'}{m'}$
 558 \end_inset
 559
 560  of the driving field into
 561 \begin_inset CommandInset ref
 562 LatexCommand eqref
 563 reference "eq:T-matrix definition"
 564 plural "false"
 565 caps "false"
 566 noprefix "false"
 567
 568 \end_inset
 569
 570 .
 571  The outgoing VSWF expansion coefficients
 572 \begin_inset Formula $\outcoefftlm{\tau}lm$
 573 \end_inset
 574
 575  are the effective induced electric (
 576 \begin_inset Formula $\tau=2$
 577 \end_inset
 578
 579 ) and magnetic (
 580 \begin_inset Formula $\tau=1$
 581 \end_inset
 582
 583 ) multipole polarisation amplitudes of the scatterer, and this is why we
 584  sometimes refer to the corresponding VSWFs as the electric and magnetic
 585  VSWFs.
 586
 587 \begin_inset Note Note
 588 status open
 589
 590 \begin_layout Plain Layout
 591 TODO mention the pseudovector character of magnetic VSWFs.
 592 \end_layout
 593
 594 \end_inset
 595
 596
 597 \end_layout
 598
 599 \begin_layout Standard
 600 \begin_inset Note Note
 601 status open
 602
 603 \begin_layout Plain Layout
 604 TOOD H-field expansion here?
 605 \end_layout
 606
 607 \end_inset
 608
 609
 610 \end_layout
 611
 612 \begin_layout Standard
 613 \begin_inset Formula $T$
 614 \end_inset
 615
 616 -matrices of particles with certain simple geometries (most famously spherical)
 617  can be obtained analytically
 618 \begin_inset CommandInset citation
 619 LatexCommand cite
 620 key "kristensson_scattering_2016,mie_beitrage_1908"
 621 literal "false"
 622
 623 \end_inset
 624
 625 , but in general one can find them numerically by simulating scattering
 626  of a regular spherical wave
 627 \begin_inset Formula $\vswfouttlm{\tau}lm$
 628 \end_inset
 629
 630  and projecting the scattered fields (or induced currents, depending on
 631  the method) onto the outgoing VSWFs
 632 \begin_inset Formula $\vswfrtlm{\tau}{'l'}{m'}$
 633 \end_inset
 634
 635 .
 636  In practice, one can compute only a finite number of elements with a cut-off
 637  value
 638 \begin_inset Formula $L$
 639 \end_inset
 640
 641  on the multipole degree,
 642 \begin_inset Formula $l,l'\le L$
 643 \end_inset
 644
 645 , see below.
 646  We typically use the scuff-tmatrix tool from the free software SCUFF-EM
 647  suite
 648 \begin_inset CommandInset citation
 649 LatexCommand cite
 650 key "reid_efficient_2015,SCUFF2"
 651 literal "false"
 652
 653 \end_inset
 654
 655 .
 656  Note that older versions of SCUFF-EM contained a bug that rendered almost
 657  all
 658 \begin_inset Formula $T$
 659 \end_inset
 660
 661 -matrix results wrong; we found and fixed the bug and from upstream version
 662  xxx onwards, it should behave correctly.
 663
 664 \end_layout
 665
 666 \begin_layout Subsubsection
 667 T-matrix compactness, cutoff validity
 668 \end_layout
 669
 670 \begin_layout Standard
 671 The magnitude of the
 672 \begin_inset Formula $T$
 673 \end_inset
 674
 675 -matrix elements depends heavily on the scatterer's size compared to the
 676  wavelength.
 677  Fortunately, the
 678 \begin_inset Formula $T$
 679 \end_inset
 680
 681 -matrix of a bounded scatterer is a compact operator [REF???], so from certain
 682  multipole degree onwards,
 683 \begin_inset Formula $l,l'>L$
 684 \end_inset
 685
 686 , the elements of the
 687 \begin_inset Formula $T$
 688 \end_inset
 689
 690 -matrix are negligible, so truncating the
 691 \begin_inset Formula $T$
 692 \end_inset
 693
 694 -matrix at finite multipole degree
 695 \begin_inset Formula $L$
 696 \end_inset
 697
 698  gives a good approximation of the actual infinite-dimensional itself.
 699  If the incident field is well-behaved, i.e.
 700  the expansion coefficients
 701 \begin_inset Formula $\rcoefftlm{\tau'}{l'}{m'}$
 702 \end_inset
 703
 704  do not take excessive values for
 705 \begin_inset Formula $l'>L$
 706 \end_inset
 707
 708 , the scattered field expansion coefficients
 709 \begin_inset Formula $\outcoefftlm{\tau}lm$
 710 \end_inset
 711
 712  with
 713 \begin_inset Formula $l>L$
 714 \end_inset
 715
 716  will also be negligible.
 717 \begin_inset Note Note
 718 status open
 719
 720 \begin_layout Plain Layout
 721 TODO when it will not be negligible
 722 \end_layout
 723
 724 \end_inset
 725
 726
 727 \end_layout
 728
 729 \begin_layout Standard
 730 A rule of thumb to choose the
 731 \begin_inset Formula $L$
 732 \end_inset
 733
 734  with desired
 735 \begin_inset Formula $T$
 736 \end_inset
 737
 738 -matrix element accuracy
 739 \begin_inset Formula $\delta$
 740 \end_inset
 741
 742  can be obtained from the spherical Bessel function expansion around zero,
 743  TODO.
 744
 745 \end_layout
 746
 747 \begin_layout Subsubsection
 748 Power transport
 749 \end_layout
 750
 751 \begin_layout Standard
 752 For convenience, let us introduce a short-hand matrix notation for the expansion
 753  coefficients and related quantities, so that we do not need to write the
 754  indices explicitly; so for example, eq.
 755
 756 \begin_inset CommandInset ref
 757 LatexCommand eqref
 758 reference "eq:T-matrix definition"
 759 plural "false"
 760 caps "false"
 761 noprefix "false"
 762
 763 \end_inset
 764
 765  would be written as
 766 \begin_inset Formula $\outcoeffp{}=T\rcoeffp{}$
 767 \end_inset
 768
 769 , where
 770 \begin_inset Formula $\rcoeffp{},\outcoeffp{}$
 771 \end_inset
 772
 773  are column vectors with the expansion coefficients.
 774  Transposed and complex-conjugated matrices are labeled with the
 775 \begin_inset Formula $\dagger$
 776 \end_inset
 777
 778  superscript.
 779 \end_layout
 780
 781 \begin_layout Standard
 782 With this notation, we state an important result about power transport,
 783  derivation of which can be found in
 784 \begin_inset CommandInset citation
 785 LatexCommand cite
 786 after "sect. 7.3"
 787 key "kristensson_scattering_2016"
 788 literal "true"
 789
 790 \end_inset
 791
 792 .
 793  Let the field in
 794 \begin_inset Formula $\openball 0{R^{>}}\backslash B_{0}\left(R\right)$
 795 \end_inset
 796
 797  have expansion as in
 798 \begin_inset CommandInset ref
 799 LatexCommand eqref
 800 reference "eq:E field expansion"
 801 plural "false"
 802 caps "false"
 803 noprefix "false"
 804
 805 \end_inset
 806
 807 .
 808  Then the net power transported from
 809 \begin_inset Formula $B_{0}\left(R\right)$
 810 \end_inset
 811
 812  to
 813 \begin_inset Formula $\openball 0{R^{>}}\backslash B_{0}\left(R\right)$
 814 \end_inset
 815
 816  via by electromagnetic radiation is
 817 \begin_inset Formula
 818 \begin{equation}
 819 P=\frac{1}{2k^{2}\eta_{0}\eta}\left(\Re\left(\rcoeffp{}^{\dagger}\outcoeffp{}\right)+\left\Vert \outcoeffp{}\right\Vert ^{2}\right)=\frac{1}{2k^{2}\eta_{0}\eta}\rcoeffp{}^{\dagger}\left(\Tp{}^{\dagger}\Tp{}+\frac{\Tp{}^{\dagger}+\Tp{}}{2}\right)\rcoeffp{}.\label{eq:Power transport}
 820 \end{equation}
 821
 822 \end_inset
 823
 824 In realistic scattering setups, power is transferred by radiation into
 825 \begin_inset Formula $B_{0}\left(R\right)$
 826 \end_inset
 827
 828  and absorbed by the enclosed scatterer, so
 829 \begin_inset Formula $P$
 830 \end_inset
 831
 832  is negative and its magnitude equals to power absorbed by the scatterer.
 833 \end_layout
 834
 835 \begin_layout Subsubsection
 836 Plane wave expansion
 837 \end_layout
 838
 839 \begin_layout Standard
 840 In many scattering problems considered in practice, the driving field is
 841  a plane wave.
 842  A transversal (
 843 \begin_inset Formula $\vect k\cdot\vect E_{0}=0$
 844 \end_inset
 845
 846 ) plane wave propagating in direction
 847 \begin_inset Formula $\uvec k$
 848 \end_inset
 849
 850  with (complex) amplitude
 851 \begin_inset Formula $\vect E_{0}$
 852 \end_inset
 853
 854  can be expanded into regular VSWFs
 855 \begin_inset CommandInset citation
 856 LatexCommand cite
 857 after "7.???"
 858 key "kristensson_scattering_2016"
 859 literal "false"
 860
 861 \end_inset
 862
 863  as
 864 \begin_inset Formula
 865 \[
 866 \vect E_{\mathrm{PW}}\left(\vect r,\omega\right)=\vect E_{0}e^{ik\uvec k\cdot\vect r}=\sum_{\tau,l,m}\rcoeffptlm{}{\tau}lm\left(\vect k,\vect E_{0}\right)\vswfrtlm{\tau}lm\left(k\vect r\right),
 867 \]
 868
 869 \end_inset
 870
 871 with expansion coefficients
 872 \begin_inset Formula
 873 \begin{eqnarray}
 874 \rcoeffptlm{}1lm\left(\vect k,\vect E_{0}\right) & = & 4\pi i^{l}\vshD 1lm\left(\uvec k\right),\nonumber \\
 875 \rcoeffptlm{}2lm\left(\vect k,\vect E_{0}\right) & = & -4\pi i^{l+1}\vshD 2lm\left(\uvec k\right).\label{eq:plane wave expansion}
 876 \end{eqnarray}
 877
 878 \end_inset
 879
 880 where
 881 \begin_inset Formula $\vshD{\tau}lm$
 882 \end_inset
 883
 884  are the
 885 \begin_inset Quotes eld
 886 \end_inset
 887
 888 dual
 889 \begin_inset Quotes erd
 890 \end_inset
 891
 892  vector spherical harmonics defined by duality relation with the
 893 \begin_inset Quotes eld
 894 \end_inset
 895
 896 usual
 897 \begin_inset Quotes erd
 898 \end_inset
 899
 900  vector spherical harmonics
 901 \begin_inset Formula
 902 \begin{equation}
 903 \iint\vshD{\tau'}{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\cdot\vsh{\tau}lm\left(\uvec r\right)\,\ud\Omega=\delta_{\tau'\tau}\delta_{l'l}\delta_{m'm}\label{eq:dual vsh}
 904 \end{equation}
 905
 906 \end_inset
 907
 908 (complex conjugation not implied in the dot product here).
 909  In our convention, we have
 910 \begin_inset Formula
 911 \[
 912 \vshD{\tau}lm\left(\uvec r\right)=\left(\vsh{\tau}lm\left(\uvec r\right)\right)^{*}=\left(-1\right)^{m}\vsh{\tau}{l-}m\left(\uvec r\right).
 913 \]
 914
 915 \end_inset
 916
 917
 918 \end_layout
 919
 920 \begin_layout Subsubsection
 921 Cross-sections (single-particle)
 922 \end_layout
 923
 924 \begin_layout Standard
 925 With the
 926 \begin_inset Formula $T$
 927 \end_inset
 928
 929 -matrix and expansion coefficients of plane waves in hand, we can state
 930  the expressions for cross-sections of a single scatterer.
 931  Assuming a non-lossy background medium, extinction, scattering and absorption
 932  cross sections of a single scatterer irradiated by a plane wave propagating
 933  in direction
 934 \begin_inset Formula $\uvec k$
 935 \end_inset
 936
 937  and (complex) amplitude
 938 \begin_inset Formula $\vect E_{0}$
 939 \end_inset
 940
 941  are
 942 \begin_inset CommandInset citation
 943 LatexCommand cite
 944 after "sect. 7.8.2"
 945 key "kristensson_scattering_2016"
 946 literal "true"
 947
 948 \end_inset
 949
 950
 951 \begin_inset Formula
 952 \begin{eqnarray}
 953 \sigma_{\mathrm{ext}}\left(\uvec k\right) & = & -\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\Re\left(\rcoeffp{}^{\dagger}\outcoeffp{}\right)=-\frac{1}{2k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\rcoeffp{}^{\dagger}\left(\Tp{}+\Tp{}^{\dagger}\right)\rcoeffp{},\label{eq:extincion CS single}\\
 954 \sigma_{\mathrm{scat}}\left(\uvec k\right) & = & \frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\left\Vert \outcoeffp{}\right\Vert ^{2}=\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\rcoeffp{}^{\dagger}\left(\Tp{}^{\dagger}\Tp{}\right)\rcoeffp{},\label{eq:scattering CS single}\\
 955 \sigma_{\mathrm{abs}}\left(\uvec k\right) & = & \sigma_{\mathrm{ext}}\left(\uvec k\right)-\sigma_{\mathrm{scat}}\left(\uvec k\right)=-\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\left(\Re\left(\rcoeffp{}^{\dagger}\outcoeffp{}\right)+\left\Vert \outcoeffp{}\right\Vert ^{2}\right)\nonumber \\
 956  &  & =\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\rcoeffp{}^{\dagger}\left(\Tp{}^{\dagger}\Tp{}+\frac{\Tp{}^{\dagger}+\Tp{}}{2}\right)\rcoeffp{},\label{eq:absorption CS single}
 957 \end{eqnarray}
 958
 959 \end_inset
 960
 961 where
 962 \begin_inset Formula $\rcoeffp{}=\rcoeffp{}\left(\vect k,\vect E_{0}\right)$
 963 \end_inset
 964
 965  is the vector of plane wave expansion coefficients as in
 966 \begin_inset CommandInset ref
 967 LatexCommand eqref
 968 reference "eq:plane wave expansion"
 969
 970 \end_inset
 971
 972 .
 973
 974 \end_layout
 975
 976 \begin_layout Subsection
 977 Multiple scattering
 978 \begin_inset CommandInset label
 979 LatexCommand label
 980 name "subsec:Multiple-scattering"
 981
 982 \end_inset
 983
 984
 985 \end_layout
 986
 987 \begin_layout Standard
 988 If the system consists of multiple scatterers, the EM fields around each
 989  one can be expanded in analogous way.
 990  Let
 991 \begin_inset Formula $\mathcal{P}$
 992 \end_inset
 993
 994  be an index set labeling the scatterers.
 995  We enclose each scatterer in a ball
 996 \begin_inset Formula $B_{\vect r_{p}}\left(R_{p}\right)$
 997 \end_inset
 998
 999  such that the balls do not touch,
1000 \begin_inset Formula $B_{\vect r_{p}}\left(R_{p}\right)\cap B_{\vect r_{q}}\left(R_{q}\right)=\emptyset;p,q\in\mathcal{P}$
1001 \end_inset
1002
1003 ,
1004 \begin_inset Note Note
1005 status open
1006
1007 \begin_layout Plain Layout
1008 TODO bacha, musejí být uzavřené!
1009 \end_layout
1010
1011 \end_inset
1012
1013 so there is a non-empty volume
1014 \begin_inset Note Note
1015 status open
1016
1017 \begin_layout Plain Layout
1018 jaksetometuje?
1019 \end_layout
1020
1021 \end_inset
1022
1023
1024 \begin_inset Formula $\openball{\vect r_{p}}{R_{p}^{>}}\backslash B_{\vect r_{p}}\left(R_{p}\right)$
1025 \end_inset
1026
1027  around each one that contains only the background medium without any scatterers.
1028  Then the EM field inside each such volume can be expanded in a way similar
1029  to
1030 \begin_inset CommandInset ref
1031 LatexCommand eqref
1032 reference "eq:E field expansion"
1033 plural "false"
1034 caps "false"
1035 noprefix "false"
1036
1037 \end_inset
1038
1039 , using VSWFs with origins shifted to the centre of the volume:
1040 \begin_inset Formula
1041 \begin{align}
1042 \vect E\left(\omega,\vect r\right) & =\sum_{\tau=1,2}\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=-l}^{+l}\left(\rcoeffptlm p{\tau}lm\vswfrtlm{\tau}lm\left(k\left(\vect r-\vect r_{p}\right)\right)+\outcoeffptlm p{\tau}lm\vswfouttlm{\tau}lm\left(k\left(\vect r-\vect r_{p}\right)\right)\right),\label{eq:E field expansion multiparticle}\\
1043  & \vect r\in\openball{\vect r_{p}}{R_{p}^{>}}\backslash B_{\vect r_{p}}\left(R_{p}\right).\nonumber
1044 \end{align}
1045
1046 \end_inset
1047
1048 Unlike the single scatterer case, the incident field coefficients
1049 \begin_inset Formula $\rcoeffptlm p{\tau}lm$
1050 \end_inset
1051
1052  here are not only due to some external driving field that the particle
1053  does not influence but they also contain the contributions of fields scattered
1054  from
1055 \emph on
1056 all other scatterers
1057 \emph default
1058 :
1059 \begin_inset Formula
1060 \begin{equation}
1061 \rcoeffp p=\rcoeffincp p+\sum_{q\in\mathcal{P}\backslash\left\{ p\right\} }\tropsp pq\outcoeffp q\label{eq:particle total incident field coefficient a}
1062 \end{equation}
1063
1064 \end_inset
1065
1066 where
1067 \begin_inset Formula $\rcoeffincp p$
1068 \end_inset
1069
1070  represents the part due to the external driving that the scatterers can
1071  not influence, and
1072 \begin_inset Formula $\tropsp pq$
1073 \end_inset
1074
1075  is a
1076 \emph on
1077 translation operator
1078 \emph default
1079  defined below in Sec.
1080
1081 \begin_inset CommandInset ref
1082 LatexCommand ref
1083 reference "subsec:Translation-operator"
1084 plural "false"
1085 caps "false"
1086 noprefix "false"
1087
1088 \end_inset
1089
1090 , that contains the re-expansion coefficients of the outgoing waves in origin
1091
1092 \begin_inset Formula $\vect r_{q}$
1093 \end_inset
1094
1095  into regular waves in origin
1096 \begin_inset Formula $\vect r_{p}$
1097 \end_inset
1098
1099 .
1100  For each scatterer, we also have its
1101 \begin_inset Formula $T$
1102 \end_inset
1103
1104 -matrix relation as in
1105 \begin_inset CommandInset ref
1106 LatexCommand eqref
1107 reference "eq:T-matrix definition"
1108 plural "false"
1109 caps "false"
1110 noprefix "false"
1111
1112 \end_inset
1113
1114 ,
1115 \begin_inset Formula
1116 \[
1117 \outcoeffp q=T_{q}\rcoeffp q.
1118 \]
1119
1120 \end_inset
1121
1122 Together with
1123 \begin_inset CommandInset ref
1124 LatexCommand eqref
1125 reference "eq:particle total incident field coefficient a"
1126 plural "false"
1127 caps "false"
1128 noprefix "false"
1129
1130 \end_inset
1131
1132 , this gives rise to a set of linear equations
1133 \begin_inset Formula
1134 \begin{equation}
1135 \outcoeffp p-T_{p}\sum_{q\in\mathcal{P}\backslash\left\{ p\right\} }\tropsp pq\outcoeffp q=T_{p}\rcoeffincp p,\quad p\in\mathcal{P}\label{eq:Multiple-scattering problem}
1136 \end{equation}
1137
1138 \end_inset
1139
1140 which defines the multiple-scattering problem.
1141  If all the
1142 \begin_inset Formula $p,q$
1143 \end_inset
1144
1145 -indexed vectors and matrices (note that without truncation, they are infinite-d
1146 imensional) are arranged into blocks of even larger vectors and matrices,
1147  this can be written in a short-hand form
1148 \begin_inset Formula
1149 \begin{equation}
1150 \left(I-T\trops\right)\outcoeff=T\rcoeffinc\label{eq:Multiple-scattering problem block form}
1151 \end{equation}
1152
1153 \end_inset
1154
1155 where
1156 \begin_inset Formula $I$
1157 \end_inset
1158
1159  is the identity matrix,
1160 \begin_inset Formula $T$
1161 \end_inset
1162
1163 is a block-diagonal matrix containing all the individual
1164 \begin_inset Formula $T$
1165 \end_inset
1166
1167 -matrices, and
1168 \begin_inset Formula $\trops$
1169 \end_inset
1170
1171  contains the individual
1172 \begin_inset Formula $\tropsp pq$
1173 \end_inset
1174
1175 matrices as the off-diagonal blocks, whereas the diagonal blocks are set
1176  to zeros.
1177 \end_layout
1178
1179 \begin_layout Standard
1180 In practice, the multiple-scattering problem is solved in its truncated
1181  form, in which all the
1182 \begin_inset Formula $l$
1183 \end_inset
1184
1185 -indices related to a given scatterer
1186 \begin_inset Formula $p$
1187 \end_inset
1188
1189  are truncated as
1190 \begin_inset Formula $l\le L_{p}$
1191 \end_inset
1192
1193 , laeving only
1194 \begin_inset Formula $N_{p}=2L_{p}\left(L_{p}+2\right)$
1195 \end_inset
1196
1197  different
1198 \begin_inset Formula $\tau lm$
1199 \end_inset
1200
1201 -multiindices left.
1202  The truncation degree can vary for different scatterers (e.g.
1203  due to different physical sizes), so the truncated block
1204 \begin_inset Formula $\tropsp pq$
1205 \end_inset
1206
1207  has shape
1208 \begin_inset Formula $N_{p}\times N_{q}$
1209 \end_inset
1210
1211 , not necessarily square.
1212
1213 \begin_inset Note Note
1214 status open
1215
1216 \begin_layout Plain Layout
1217 Such truncation of the translation operator
1218 \begin_inset Formula $\tropsp pq$
1219 \end_inset
1220
1221  is justified by the fact on the left, TODO
1222 \end_layout
1223
1224 \end_inset
1225
1226
1227 \end_layout
1228
1229 \begin_layout Standard
1230 If no other type of truncation is done, there remain
1231 \begin_inset Formula $2L_{p}\left(L_{p}+2\right)$
1232 \end_inset
1233
1234  different
1235 \begin_inset Formula $\tau lm$
1236 \end_inset
1237
1238 -multiindices for
1239 \begin_inset Formula $p$
1240 \end_inset
1241
1242 -th scatterer, so that the truncated version of the matrix
1243 \begin_inset Formula $\left(I-T\trops\right)$
1244 \end_inset
1245
1246  is a square matrix with
1247 \begin_inset Formula $\left(\sum_{p\in\mathcal{P}}N_{p}\right)^{2}$
1248 \end_inset
1249
1250  elements in total.
1251  The truncated problem
1252 \begin_inset CommandInset ref
1253 LatexCommand eqref
1254 reference "eq:Multiple-scattering problem block form"
1255 plural "false"
1256 caps "false"
1257 noprefix "false"
1258
1259 \end_inset
1260
1261  can then be solved using standard numerical linear algebra methods (typically,
1262  by LU factorisation of the
1263 \begin_inset Formula $\left(I-T\trops\right)$
1264 \end_inset
1265
1266  matrix at a given frequency, and then solving with Gauss elimination for
1267  as many different incident
1268 \begin_inset Formula $\rcoeffinc$
1269 \end_inset
1270
1271  vectors as needed).
1272 \end_layout
1273
1274 \begin_layout Standard
1275 Alternatively, the multiple scattering problem can be formulated in terms
1276  of the regular field expansion coefficients,
1277 \begin_inset Formula
1278 \begin{align*}
1279 \rcoeffp p-\sum_{q\in\mathcal{P}\backslash\left\{ p\right\} }\tropsp pqT_{q}\rcoeffp q & =\rcoeffincp p,\quad p\in\mathcal{P},\\
1280 \left(I-\trops T\right)\rcoeff & =\rcoeffinc,
1281 \end{align*}
1282
1283 \end_inset
1284
1285 but this form is less suitable for numerical calculations due to the fact
1286  that the regular VSWF expansion coefficients on both sides of the equation
1287  are typically non-negligible even for large multipole degree
1288 \begin_inset Formula $l$
1289 \end_inset
1290
1291 , hence the truncation is not justified in this case.
1292
1293 \begin_inset Note Note
1294 status open
1295
1296 \begin_layout Plain Layout
1297 TODO less bulshit.
1298 \end_layout
1299
1300 \end_inset
1301
1302
1303 \end_layout
1304
1305 \begin_layout Subsubsection
1306 Translation operator
1307 \begin_inset CommandInset label
1308 LatexCommand label
1309 name "subsec:Translation-operator"
1310
1311 \end_inset
1312
1313
1314 \end_layout
1315
1316 \begin_layout Standard
1317 Let
1318 \begin_inset Formula $\vect r_{1},\vect r_{2}$
1319 \end_inset
1320
1321  be two different origins; a regular VSWF with origin
1322 \begin_inset Formula $\vect r_{1}$
1323 \end_inset
1324
1325  can be always expanded in terms of regular VSWFs with origin
1326 \begin_inset Formula $\vect r_{2}$
1327 \end_inset
1328
1329  as follows:
1330 \end_layout
1331
1332 \begin_layout Standard
1333 \begin_inset Formula
1334 \begin{equation}
1335 \vswfrtlm{\tau}lm\left(k\left(\vect r-\vect r_{1}\right)\right)=\sum_{\tau'l'm'}\tropr_{\tau lm;\tau'l'm'}\left(k\left(\vect r_{2}-\vect r_{1}\right)\right)\vswfrtlm{\tau'}{l'}{m'}\left(\vect r-\vect r_{2}\right),\label{eq:regular vswf translation}
1336 \end{equation}
1337
1338 \end_inset
1339
1340 where an explicit formula for the (regular)
1341 \emph on
1342 translation operator
1343 \emph default
1344
1345 \begin_inset Formula $\tropr$
1346 \end_inset
1347
1348  reads in eq.
1349
1350 \begin_inset CommandInset ref
1351 LatexCommand eqref
1352 reference "eq:translation operator"
1353
1354 \end_inset
1355
1356  below.
1357  For singular (outgoing) waves, the form of the expansion differs inside
1358  and outside the ball
1359 \begin_inset Formula $\openball{\left\Vert \vect r_{2}-\vect r_{1}\right\Vert }{\vect r_{1}}:$
1360 \end_inset
1361
1362
1363 \begin_inset Formula
1364 \begin{eqnarray}
1365 \vswfouttlm{\tau}lm\left(k\left(\vect r-\vect r_{1}\right)\right) & = & \begin{cases}
1366 \sum_{\tau'l'm'}\trops_{\tau lm;\tau'l'm'}\left(k\left(\vect r_{2}-\vect r_{1}\right)\right)\vswfouttlm{\tau'}{l'}{m'}\left(\vect r-\vect r_{2}\right), & \vect r\in\openball{\left\Vert \vect r_{2}-\vect r_{1}\right\Vert }{\vect r_{1}}\\
1367 \sum_{\tau'l'm'}\tropr_{\tau lm;\tau'l'm'}\left(k\left(\vect r_{2}-\vect r_{1}\right)\right)\vswfrtlm{\tau'}{l'}{m'}\left(\vect r-\vect r_{2}\right), & \vect r\notin\closedball{\left\Vert \vect r_{2}-\vect r_{1}\right\Vert }{\left|\vect r_{1}\right|}
1368 \end{cases},\label{eq:singular vswf translation}
1369 \end{eqnarray}
1370
1371 \end_inset
1372
1373 where the singular translation operator
1374 \begin_inset Formula $\trops$
1375 \end_inset
1376
1377  has the same form as
1378 \begin_inset Formula $\tropr$
1379 \end_inset
1380
1381  in
1382 \begin_inset CommandInset ref
1383 LatexCommand eqref
1384 reference "eq:translation operator"
1385
1386 \end_inset
1387
1388  except the regular spherical Bessel functions
1389 \begin_inset Formula $j_{l}$
1390 \end_inset
1391
1392  are replaced with spherical Hankel functions
1393 \begin_inset Formula $h_{l}^{(1)}$
1394 \end_inset
1395
1396 .
1397
1398 \begin_inset Note Note
1399 status open
1400
1401 \begin_layout Plain Layout
1402 TODO note about expansion exactly on the sphere.
1403 \end_layout
1404
1405 \end_inset
1406
1407
1408 \end_layout
1409
1410 \begin_layout Standard
1411 As MSTMM deals most of the time with the
1412 \emph on
1413 expansion coefficients
1414 \emph default
1415  of fields
1416 \begin_inset Formula $\rcoeffptlm p{\tau}lm,\outcoeffptlm p{\tau}lm$
1417 \end_inset
1418
1419  in different origins
1420 \begin_inset Formula $\vect r_{p}$
1421 \end_inset
1422
1423  rather than with the VSWFs directly, let us write down how
1424 \emph on
1425 they
1426 \emph default
1427  transform under translation.
1428  Let us assume the field can be in terms of regular waves everywhere, and
1429  expand it in two different origins
1430 \begin_inset Formula $\vect r_{p},\vect r_{q}$
1431 \end_inset
1432
1433 ,
1434 \begin_inset Formula
1435 \[
1436 \vect E\left(\vect r,\omega\right)=\sum_{\tau,l,m}\rcoeffptlm p{\tau}lm\vswfrtlm{\tau}lm\left(k\left(\vect r-\vect r_{p}\right)\right)=\sum_{\tau',l',m'}\rcoeffptlm q{\tau'}{l'}{m'}\vswfrtlm{\tau}{'l'}{m'}\left(k\left(\vect r-\vect r_{q}\right)\right).
1437 \]
1438
1439 \end_inset
1440
1441 Re-expanding the waves around
1442 \begin_inset Formula $\vect r_{p}$
1443 \end_inset
1444
1445  in terms of waves around
1446 \begin_inset Formula $\vect r_{q}$
1447 \end_inset
1448
1449  using
1450 \begin_inset CommandInset ref
1451 LatexCommand eqref
1452 reference "eq:regular vswf translation"
1453
1454 \end_inset
1455
1456 ,
1457 \begin_inset Formula
1458 \[
1459 \vect E\left(\vect r,\omega\right)=\sum_{\tau,l,m}\rcoeffptlm p{\tau}lm\sum_{\tau'l'm'}\tropr_{\tau lm;\tau'l'm'}\left(k\left(\vect r_{q}-\vect r_{p}\right)\right)\vswfrtlm{\tau'}{l'}{m'}\left(\vect r-\vect r_{q}\right)
1460 \]
1461
1462 \end_inset
1463
1464 and comparing to the original expansion around
1465 \begin_inset Formula $\vect r_{q}$
1466 \end_inset
1467
1468 , we obtain
1469 \begin_inset Formula
1470 \begin{equation}
1471 \rcoeffptlm q{\tau'}{l'}{m'}=\sum_{\tau,l,m}\tropr_{\tau lm;\tau'l'm'}\left(k\left(\vect r_{q}-\vect r_{p}\right)\right)\rcoeffptlm p{\tau}lm.\label{eq:regular vswf coefficient translation}
1472 \end{equation}
1473
1474 \end_inset
1475
1476 For the sake of readability, we introduce a shorthand matrix form for
1477 \begin_inset CommandInset ref
1478 LatexCommand eqref
1479 reference "eq:regular vswf coefficient translation"
1480
1481 \end_inset
1482
1483
1484 \begin_inset Formula
1485 \begin{equation}
1486 \rcoeffp q=\troprp qp\rcoeffp p\label{eq:reqular vswf coefficient vector translation}
1487 \end{equation}
1488
1489 \end_inset
1490
1491 (note the reversed indices; TODO redefine them in
1492 \begin_inset CommandInset ref
1493 LatexCommand eqref
1494 reference "eq:regular vswf translation"
1495
1496 \end_inset
1497
1498 ,
1499 \begin_inset CommandInset ref
1500 LatexCommand eqref
1501 reference "eq:singular vswf translation"
1502
1503 \end_inset
1504
1505 ? Similarly, if we had only outgoing waves in the original expansion around
1506
1507 \begin_inset Formula $\vect r_{p}$
1508 \end_inset
1509
1510 , we would get
1511 \begin_inset Formula
1512 \begin{equation}
1513 \rcoeffp q=\tropsp qp\outcoeffp p\label{eq:singular to regular vswf coefficient vector translation}
1514 \end{equation}
1515
1516 \end_inset
1517
1518 for the expansion inside the ball
1519 \begin_inset Formula $\openball{\left\Vert \vect r_{q}-\vect r_{p}\right\Vert }{\vect r_{p}}$
1520 \end_inset
1521
1522
1523 \begin_inset Note Note
1524 status open
1525
1526 \begin_layout Plain Layout
1527 CHECKME
1528 \end_layout
1529
1530 \end_inset
1531
1532  and
1533 \begin_inset Formula
1534 \begin{equation}
1535 \outcoeffp q=\troprp qp\outcoeffp p\label{eq:singular to singular vswf coefficient vector translation-1}
1536 \end{equation}
1537
1538 \end_inset
1539
1540 outside.
1541 \end_layout
1542
1543 \begin_layout Standard
1544 In our convention, the regular translation operator can be expressed explicitly
1545  as (TODO CHECK CAREFULLY FOR POSSIBLE
1546 \begin_inset Formula $(-1)^{m'}$
1547 \end_inset
1548
1549  AND SIMILAR FACTORS AND REWRITE IN TERMS OF SPHERICAL HARMONICS)
1550 \begin_inset Note Note
1551 status open
1552
1553 \begin_layout Plain Layout
1554 Teďka jsou tam zkopírovány výrazy pro C a D z Kristenssona, chybějí fase
1555 \end_layout
1556
1557 \end_inset
1558
1559
1560 \begin_inset Formula
1561 \begin{multline}
1562 \tropr_{\tau lm;\tau l'm'}\left(\vect d\right)=\frac{\left(-1\right)^{m+m'}}{2}\sum_{\lambda=\left|l-l'\right|}^{l+l'}\left(-1\right)^{\frac{l'-l+\lambda}{2}}\left(2\lambda+1\right)\sqrt{\frac{\left(2l+1\right)\left(2l'+1\right)\left(\lambda-\left(m-m'\right)\right)!}{l\left(l+1\right)l'\left(l'+1\right)\left(\lambda+\left(m-m'\right)\right)!}}\times\\
1563 \times\begin{pmatrix}l & l' & \lambda\\
1564 0 & 0 & 0
1565 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}l & l' & \lambda\\
1566 m & -m' & m'-m
1567 \end{pmatrix}\left(l\left(l+1\right)+l'\left(l'+1\right)-\lambda\left(\lambda+1\right)\right)\times\\
1568 \times j_{\lambda}\left(d\right)P_{\lambda}^{m-m'}\left(\cos\theta_{\uvec d}\right)e^{i\left(m-m'\right)\phi_{\uvec d}},\\
1569 \tropr_{\tau lm;\tau'l'm'}\left(\vect d\right)=-i\frac{\left(-1\right)^{m+m'}}{2}\sum_{\lambda=\left|l-l'\right|+1}^{l+l'}\left(-1\right)^{\frac{l'-l+\lambda+1}{2}}\left(2\lambda+1\right)\sqrt{\frac{\left(2l+1\right)\left(2l'+1\right)\left(\lambda-\left(m-m'\right)\right)!}{l\left(l+1\right)l'\left(l'+1\right)\left(\lambda+\left(m-m'\right)\right)!}}\times\\
1570 \times\begin{pmatrix}l & l' & \lambda-1\\
1571 0 & 0 & 0
1572 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}l & l' & \lambda\\
1573 m & -m' & m'-m
1574 \end{pmatrix}\sqrt{\lambda^{2}-\left(l-l'\right)^{2}}\sqrt{\left(l+l'+1\right)^{2}-\lambda^{2}}\times\\
1575 \times j_{\lambda}\left(d\right)P_{\lambda}^{m-m'}\left(\cos\theta_{\uvec d}\right)e^{i\left(m-m'\right)\phi_{\uvec d}},\qquad\tau\ne\tau'.\label{eq:translation operator}
1576 \end{multline}
1577
1578 \end_inset
1579
1580 The singular operator
1581 \begin_inset Formula $\trops$
1582 \end_inset
1583
1584  for re-expanding outgoing waves into regular ones has the same form except
1585  the regular spherical Bessel functions
1586 \begin_inset Formula $j_{l}$
1587 \end_inset
1588
1589  in are replaced with spherical Hankel functions
1590 \begin_inset Formula $h_{l}^{(1)}=j_{l}+iy_{l}$
1591 \end_inset
1592
1593 .
1594 \end_layout
1595
1596 \begin_layout Standard
1597 In our convention, the regular translation operator is unitary,
1598 \begin_inset Formula $\left(\tropr_{\tau lm;\tau'l'm'}\left(\vect d\right)\right)^{-1}=\tropr_{\tau lm;\tau'l'm'}\left(-\vect d\right)=\tropr_{\tau'l'm';\tau lm}^{*}\left(\vect d\right)$
1599 \end_inset
1600
1601 ,
1602 \begin_inset Note Note
1603 status open
1604
1605 \begin_layout Plain Layout
1606 todo different notation for the complex conjugation without transposition???
1607 \end_layout
1608
1609 \end_inset
1610
1611  or in the per-particle matrix notation,
1612 \begin_inset Formula
1613 \begin{equation}
1614 \troprp qp^{-1}=\troprp pq=\troprp qp^{\dagger}\label{eq:regular translation unitarity}
1615 \end{equation}
1616
1617 \end_inset
1618
1619 .
1620  Note that truncation at finite multipole degree breaks the unitarity,
1621 \begin_inset Formula $\truncated{\troprp qp}L^{-1}\ne\truncated{\troprp pq}L=\truncated{\troprp qp^{\dagger}}L$
1622 \end_inset
1623
1624 , which has to be taken into consideration when evaluating quantities such
1625  as absorption or scattering cross sections.
1626  Similarly, the full regular operators can be composed
1627 \begin_inset Note Note
1628 status open
1629
1630 \begin_layout Plain Layout
1631 better wording
1632 \end_layout
1633
1634 \end_inset
1635
1636 ,
1637 \begin_inset Formula
1638 \begin{equation}
1639 \troprp ac=\troprp ab\troprp bc\label{eq:regular translation composition}
1640 \end{equation}
1641
1642 \end_inset
1643
1644  but truncation breaks this,
1645 \begin_inset Formula $\truncated{\troprp ac}L\ne\truncated{\troprp ab}L\truncated{\troprp bc}L.$
1646 \end_inset
1647
1648
1649 \end_layout
1650
1651 \begin_layout Subsubsection
1652 Cross-sections (many scatterers)
1653 \end_layout
1654
1655 \begin_layout Standard
1656 For a system of many scatterers, Kristensson
1657 \begin_inset CommandInset citation
1658 LatexCommand cite
1659 after "sect. 9.2.2"
1660 key "kristensson_scattering_2016"
1661 literal "false"
1662
1663 \end_inset
1664
1665  derives only the extinction cross section formula.
1666  Let us re-derive it together with the many-particle scattering and absorption
1667  cross sections.
1668  First, let us take a ball circumscribing all the scatterers at once,
1669 \begin_inset Formula $\openball R{\vect r_{\square}}\supset\particle$
1670 \end_inset
1671
1672 .
1673  Outside
1674 \begin_inset Formula $\openball R{\vect r_{\square}}$
1675 \end_inset
1676
1677 , we can describe the EM fields as if there was only a single scatterer,
1678 \begin_inset Formula
1679 \[
1680 \vect E\left(\vect r\right)=\sum_{\tau,l,m}\left(\rcoeffptlm{\square}{\tau}lm\vswfrtlm{\tau}lm\left(\vect r-\vect r_{\square}\right)+\outcoeffptlm{\square}{\tau}lm\vswfouttlm{\tau}lm\left(\vect r-\vect r_{\square}\right)\right),
1681 \]
1682
1683 \end_inset
1684
1685 where
1686 \begin_inset Formula $\rcoeffp{\square},\outcoeffp{\square}$
1687 \end_inset
1688
1689  are the vectors of VSWF expansion coefficients of the incident and total
1690  scattered fields, respectively, at origin
1691 \begin_inset Formula $\vect r_{\square}$
1692 \end_inset
1693
1694 .
1695  In principle, one could evaluate
1696 \begin_inset Formula $\outcoeffp{\square}$
1697 \end_inset
1698
1699  using the translation operators (REF!!!) and use the single-scatterer formulae
1700
1701 \begin_inset CommandInset ref
1702 LatexCommand eqref
1703 reference "eq:extincion CS single"
1704
1705 \end_inset
1706
1707 –
1708 \begin_inset CommandInset ref
1709 LatexCommand eqref
1710 reference "eq:absorption CS single"
1711
1712 \end_inset
1713
1714  with
1715 \begin_inset Formula $\rcoeffp{}=\rcoeffp{\square},\outcoeffp{}=\outcoeffp{\square}$
1716 \end_inset
1717
1718  to obtain the cross sections.
1719  However, this is not suitable for numerical evaluation with truncation
1720  in multipole degree; hence we need to express them in terms of particle-wise
1721  expansions
1722 \begin_inset Formula $\rcoeffp p,\outcoeffp p$
1723 \end_inset
1724
1725 .
1726  The original incident field re-expanded around
1727 \begin_inset Formula $p$
1728 \end_inset
1729
1730 -th particle reads according to
1731 \begin_inset CommandInset ref
1732 LatexCommand eqref
1733 reference "eq:regular vswf translation"
1734 plural "false"
1735 caps "false"
1736 noprefix "false"
1737
1738 \end_inset
1739
1740
1741 \begin_inset Formula
1742 \begin{equation}
1743 \rcoeffincp p=\troprp p{\square}\rcoeffp{\square}\label{eq:a_inc local from global}
1744 \end{equation}
1745
1746 \end_inset
1747
1748 whereas the contributions of fields scattered from each particle expanded
1749  around the global origin
1750 \begin_inset Formula $\vect r_{\square}$
1751 \end_inset
1752
1753  is, according to
1754 \begin_inset CommandInset ref
1755 LatexCommand eqref
1756 reference "eq:singular vswf translation"
1757 plural "false"
1758 caps "false"
1759 noprefix "false"
1760
1761 \end_inset
1762
1763 ,
1764 \begin_inset Formula
1765 \begin{equation}
1766 \outcoeffp{\square}=\sum_{q\in\mathcal{P}}\troprp{\square}q\outcoeffp q.\label{eq:f global from local}
1767 \end{equation}
1768
1769 \end_inset
1770
1771 Using the unitarity
1772 \begin_inset CommandInset ref
1773 LatexCommand eqref
1774 reference "eq:regular translation unitarity"
1775 plural "false"
1776 caps "false"
1777 noprefix "false"
1778
1779 \end_inset
1780
1781  and composition
1782 \begin_inset CommandInset ref
1783 LatexCommand eqref
1784 reference "eq:regular translation composition"
1785 plural "false"
1786 caps "false"
1787 noprefix "false"
1788
1789 \end_inset
1790
1791  properties, one has
1792 \begin_inset Formula
1793 \begin{align}
1794 \rcoeffp{\square}^{\dagger}\outcoeffp{\square} & =\rcoeffincp p^{\dagger}\troprp p{\square}\troprp{\square}q\outcoeffp q=\rcoeffincp p^{\dagger}\sum_{q\in\mathcal{P}}\troprp pqf_{q}\nonumber \\
1795  & =\sum_{q\in\mathcal{P}}\left(\troprp qp\rcoeffincp p\right)^{\dagger}f_{q}=\sum_{q\in\mathcal{P}}\rcoeffincp q^{\dagger}f_{q},\label{eq:atf form multiparticle}
1796 \end{align}
1797
1798 \end_inset
1799
1800 where only the last expression is suitable for numerical evaluation with
1801  truncated matrices, because the previous ones contain a translation operator
1802  right next to an incident field coefficient vector (see Sec.
1803  TODO).
1804  Similarly,
1805 \begin_inset Formula
1806 \begin{align}
1807 \left\Vert \outcoeffp{\square}\right\Vert ^{2} & =\outcoeffp{\square}^{\dagger}\outcoeffp{\square}=\sum_{p\in\mathcal{P}}\left(\troprp{\square}p\outcoeffp p\right)^{\dagger}\sum_{q\in\mathcal{P}}\troprp{\square}q\outcoeffp q\nonumber \\
1808  & =\sum_{p\in\mathcal{P}}\sum_{q\in\mathcal{P}}\outcoeffp p^{\dagger}\troprp pq\outcoeffp q.\label{eq:f squared form multiparticle}
1809 \end{align}
1810
1811 \end_inset
1812
1813 Substituting
1814 \begin_inset CommandInset ref
1815 LatexCommand eqref
1816 reference "eq:atf form multiparticle"
1817 plural "false"
1818 caps "false"
1819 noprefix "false"
1820
1821 \end_inset
1822
1823 ,
1824 \begin_inset CommandInset ref
1825 LatexCommand eqref
1826 reference "eq:f squared form multiparticle"
1827 plural "false"
1828 caps "false"
1829 noprefix "false"
1830
1831 \end_inset
1832
1833  into
1834 \begin_inset CommandInset ref
1835 LatexCommand eqref
1836 reference "eq:scattering CS single"
1837 plural "false"
1838 caps "false"
1839 noprefix "false"
1840
1841 \end_inset
1842
1843  and
1844 \begin_inset CommandInset ref
1845 LatexCommand eqref
1846 reference "eq:absorption CS single"
1847 plural "false"
1848 caps "false"
1849 noprefix "false"
1850
1851 \end_inset
1852
1853 , we get the many-particle expressions for extinction, scattering and absorption
1854  cross sections suitable for numerical evaluation:
1855 \begin_inset Formula
1856 \begin{eqnarray}
1857 \sigma_{\mathrm{ext}}\left(\uvec k\right) & = & -\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\Re\sum_{p\in\mathcal{P}}\rcoeffincp p^{\dagger}\outcoeffp p=-\frac{1}{2k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\Re\sum_{p\in\mathcal{P}}\rcoeffincp p^{\dagger}\left(\Tp p+\Tp p^{\dagger}\right)\rcoeffp p,\label{eq:extincion CS multi}\\
1858 \sigma_{\mathrm{scat}}\left(\uvec k\right) & = & \frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\sum_{p\in\mathcal{P}}\sum_{q\in\mathcal{P}}\outcoeffp p^{\dagger}\troprp pq\outcoeffp q\nonumber \\
1859  &  & =\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\sum_{p\in\mathcal{P}}\sum_{q\in\mathcal{P}}\rcoeffp p^{\dagger}\Tp p^{\dagger}\troprp pq\Tp q\rcoeffp q,\label{eq:scattering CS multi}\\
1860 \sigma_{\mathrm{abs}}\left(\uvec k\right) & = & -\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\sum_{p\in\mathcal{P}}\Re\left(\outcoeffp p^{\dagger}\left(\rcoeffincp p+\sum_{q\in\mathcal{P}}\troprp pq\outcoeffp q\right)\right).\nonumber \\
1861 \label{eq:absorption CS multi}
1862 \end{eqnarray}
1863
1864 \end_inset
1865
1866
1867 \begin_inset Note Note
1868 status open
1869
1870 \begin_layout Plain Layout
1871 \begin_inset Formula $=\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\sum_{p\in\mathcal{P}}\mbox{TODO}.$
1872 \end_inset
1873
1874
1875 \end_layout
1876
1877 \end_inset
1878
1879 An alternative approach to derive the absorption cross section is via a
1880  power transport argument.
1881  Note the direct proportionality between absorption cross section
1882 \begin_inset CommandInset ref
1883 LatexCommand eqref
1884 reference "eq:absorption CS single"
1885 plural "false"
1886 caps "false"
1887 noprefix "false"
1888
1889 \end_inset
1890
1891  and net radiated power for single scatterer
1892 \begin_inset CommandInset ref
1893 LatexCommand eqref
1894 reference "eq:Power transport"
1895 plural "false"
1896 caps "false"
1897 noprefix "false"
1898
1899 \end_inset
1900
1901 ,
1902 \begin_inset Formula $\sigma_{\mathrm{abs}}=-\eta_{0}\eta P/2\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}$
1903 \end_inset
1904
1905 .
1906  In the many-particle setup (with non-lossy background medium, so that only
1907  the particles absorb), the total absorbed power is equal to the sum of
1908  absorbed powers on each particle,
1909 \begin_inset Formula $-P=\sum_{p\in\mathcal{P}}-P_{p}$
1910 \end_inset
1911
1912 .
1913  Using the power transport formula
1914 \begin_inset CommandInset ref
1915 LatexCommand eqref
1916 reference "eq:Power transport"
1917 plural "false"
1918 caps "false"
1919 noprefix "false"
1920
1921 \end_inset
1922
1923  particle-wise gives
1924 \begin_inset Formula
1925 \begin{equation}
1926 \sigma_{\mathrm{abs}}\left(\uvec k\right)=-\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\sum_{p\in\mathcal{P}}\left(\Re\left(\rcoeffp p^{\dagger}\outcoeffp p\right)+\left\Vert \outcoeffp p\right\Vert ^{2}\right)\label{eq:absorption CS multi alternative}
1927 \end{equation}
1928
1929 \end_inset
1930
1931 which seems different from
1932 \begin_inset CommandInset ref
1933 LatexCommand eqref
1934 reference "eq:absorption CS multi"
1935 plural "false"
1936 caps "false"
1937 noprefix "false"
1938
1939 \end_inset
1940
1941 , but using
1942 \begin_inset CommandInset ref
1943 LatexCommand eqref
1944 reference "eq:particle total incident field coefficient a"
1945 plural "false"
1946 caps "false"
1947 noprefix "false"
1948
1949 \end_inset
1950
1951 , we can rewrite it as
1952 \begin_inset Formula
1953 \begin{align*}
1954 \sigma_{\mathrm{abs}}\left(\uvec k\right) & =-\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\sum_{p\in\mathcal{P}}\Re\left(\outcoeffp p^{\dagger}\left(\rcoeffp p+\outcoeffp p\right)\right)\\
1955  & =-\frac{1}{k^{2}\left\Vert \vect E_{0}\right\Vert ^{2}}\sum_{p\in\mathcal{P}}\Re\left(\outcoeffp p^{\dagger}\left(\rcoeffincp p+\sum_{q\in\mathcal{P}\backslash\left\{ p\right\} }\tropsp pq\outcoeffp q+\outcoeffp p\right)\right).
1956 \end{align*}
1957
1958 \end_inset
1959
1960 It is easy to show that all the terms of
1961 \begin_inset Formula $\sum_{p\in\mathcal{P}}\sum_{q\in\mathcal{P}\backslash\left\{ p\right\} }\outcoeffp p^{\dagger}\tropsp pq\outcoeffp q$
1962 \end_inset
1963
1964  containing the singular spherical Bessel functions
1965 \begin_inset Formula $y_{l}$
1966 \end_inset
1967
1968  are imaginary,
1969 \begin_inset Note Note
1970 status open
1971
1972 \begin_layout Plain Layout
1973 TODO better formulation
1974 \end_layout
1975
1976 \end_inset
1977
1978  so that actually
1979 \begin_inset Formula $\sum_{p\in\mathcal{P}}\Re\left(\sum_{q\in\mathcal{P}\backslash\left\{ p\right\} }\outcoeffp p^{\dagger}\tropsp pq\outcoeffp q+\outcoeffp p^{\dagger}\outcoeffp p\right)=\sum_{p\in\mathcal{P}}\Re\left(\sum_{q\in\mathcal{P}\backslash\left\{ p\right\} }\outcoeffp p^{\dagger}\troprp pq\outcoeffp q+\outcoeffp p^{\dagger}\outcoeffp p\right)=\sum_{p\in\mathcal{P}}\Re\left(\sum_{q\in\mathcal{P}\backslash\left\{ p\right\} }\outcoeffp p^{\dagger}\troprp pq\outcoeffp q+\outcoeffp p^{\dagger}\troprp pp\outcoeffp p\right)=\sum_{p\in\mathcal{P}}\sum_{q\in\mathcal{P}}\outcoeffp p^{\dagger}\troprp pq\outcoeffp q,$
1980 \end_inset
1981
1982  proving that the expressions in
1983 \begin_inset CommandInset ref
1984 LatexCommand eqref
1985 reference "eq:absorption CS multi"
1986 plural "false"
1987 caps "false"
1988 noprefix "false"
1989
1990 \end_inset
1991
1992  and
1993 \begin_inset CommandInset ref
1994 LatexCommand eqref
1995 reference "eq:absorption CS multi alternative"
1996 plural "false"
1997 caps "false"
1998 noprefix "false"
1999
2000 \end_inset
2001
2002  are equal.
2003 \end_layout
2004
2005 \end_body
2006 \end_document