lepaper/finite-old.lyx

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  94
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  96
  97 \begin_layout Subsection
  98 The multiple-scattering problem
  99 \begin_inset CommandInset label
 100 LatexCommand label
 101 name "subsec:The-multiple-scattering-problem"
 102
 103 \end_inset
 104
 105
 106 \end_layout
 107
 108 \begin_layout Standard
 109 In the
 110 \begin_inset Formula $T$
 111 \end_inset
 112
 113 -matrix approach, scattering properties of single nanoparticles in a homogeneous
 114  medium are first computed in terms of vector sperical wavefunctions (VSWFs)—the
 115  field incident onto the
 116 \begin_inset Formula $n$
 117 \end_inset
 118
 119 -th nanoparticle from external sources can be expanded as
 120 \begin_inset Formula
 121 \begin{equation}
 122 \vect E_{n}^{\mathrm{inc}}(\vect r)=\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{m=-l}^{+l}\sum_{t=\mathrm{E},\mathrm{M}}\coeffrip nlmt\vswfr lmt\left(\vect r_{n}\right)\label{eq:E_inc}
 123 \end{equation}
 124
 125 \end_inset
 126
 127 where
 128 \begin_inset Formula $\vect r_{n}=\vect r-\vect R_{n}$
 129 \end_inset
 130
 131 ,
 132 \begin_inset Formula $\vect R_{n}$
 133 \end_inset
 134
 135  being the position of the centre of
 136 \begin_inset Formula $n$
 137 \end_inset
 138
 139 -th nanoparticle and
 140 \begin_inset Formula $\vswfr lmt$
 141 \end_inset
 142
 143  are the regular VSWFs which can be expressed in terms of regular spherical
 144  Bessel functions of
 145 \begin_inset Formula $j_{k}\left(\left|\vect r_{n}\right|\right)$
 146 \end_inset
 147
 148  and spherical harmonics
 149 \begin_inset Formula $\ush km\left(\hat{\vect r}_{n}\right)$
 150 \end_inset
 151
 152 ; the expressions, together with a proof that the VSWFs span all the solutions
 153  of vector Helmholtz equation around the particle, justifying the expansion,
 154  can be found e.g.
 155  in
 156 \begin_inset CommandInset citation
 157 LatexCommand cite
 158 after "chapter 7"
 159 key "kristensson_scattering_2016"
 160 literal "true"
 161
 162 \end_inset
 163
 164  (care must be taken because of varying normalisation and phase conventions).
 165  On the other hand, the field scattered by the particle can be (outside
 166  the particle's circumscribing sphere) expanded in terms of singular VSWFs
 167
 168 \begin_inset Formula $\vswfs lmt$
 169 \end_inset
 170
 171  which differ from the regular ones by regular spherical Bessel functions
 172  being replaced with spherical Hankel functions
 173 \begin_inset Formula $h_{k}^{(1)}\left(\left|\vect r_{n}\right|\right)$
 174 \end_inset
 175
 176 ,
 177 \begin_inset Formula
 178 \begin{equation}
 179 \vect E_{n}^{\mathrm{scat}}\left(\vect r\right)=\sum_{l,m,t}\coeffsip nlmt\vswfs lmt\left(\vect r_{n}\right).\label{eq:E_scat}
 180 \end{equation}
 181
 182 \end_inset
 183
 184 The expansion coefficients
 185 \begin_inset Formula $\coeffsip nlmt$
 186 \end_inset
 187
 188 ,
 189 \begin_inset Formula $t=\mathrm{E},\mathrm{M}$
 190 \end_inset
 191
 192  are related to the electric and magnetic multipole polarization amplitudes
 193  of the nanoparticle.
 194 \end_layout
 195
 196 \begin_layout Standard
 197 At a given frequency, assuming the system is linear, the relation between
 198  the expansion coefficients in the VSWF bases is given by the so-called
 199
 200 \begin_inset Formula $T$
 201 \end_inset
 202
 203 -matrix,
 204 \begin_inset Formula
 205 \begin{equation}
 206 \coeffsip nlmt=\sum_{l',m',t'}T_{n}^{lmt;l'm't'}\coeffrip n{l'}{m'}{t'}.\label{eq:Tmatrix definition}
 207 \end{equation}
 208
 209 \end_inset
 210
 211 The
 212 \begin_inset Formula $T$
 213 \end_inset
 214
 215 -matrix is given by the shape and composition of the particle and fully
 216  describes its scattering properties.
 217  In theory it is infinite-dimensional, but in practice (at least for subwaveleng
 218 th nanoparticles) its elements drop very quickly to negligible values with
 219  growing degree indices
 220 \begin_inset Formula $l,l'$
 221 \end_inset
 222
 223 , enabling to take into account only the elements up to some finite degree,
 224
 225 \begin_inset Formula $l,l'\le l_{\mathrm{max}}$
 226 \end_inset
 227
 228 .
 229  The
 230 \begin_inset Formula $T$
 231 \end_inset
 232
 233 -matrix can be calculated numerically using various methods; here we used
 234  the scuff-tmatrix tool from the SCUFF-EM suite
 235 \begin_inset CommandInset citation
 236 LatexCommand cite
 237 key "SCUFF2,reid_efficient_2015"
 238 literal "true"
 239
 240 \end_inset
 241
 242 , which implements the boundary element method (BEM).
 243 \end_layout
 244
 245 \begin_layout Standard
 246 The singular VSWFs originating at
 247 \begin_inset Formula $\vect R_{n}$
 248 \end_inset
 249
 250  can be then re-expanded around another origin (nanoparticle location)
 251 \begin_inset Formula $\vect R_{n'}$
 252 \end_inset
 253
 254  in terms of regular VSWFs,
 255 \begin_inset Formula
 256 \begin{equation}
 257 \begin{split}\svwfs lmt\left(\vect r_{n}\right)=\sum_{l',m',t'}\transop^{l'm't';lmt}\left(\vect R_{n'}-\vect R_{n}\right)\vswfr{l'}{m'}{t'}\left(\vect r_{n'}\right),\\
 258 \left|\vect r_{n'}\right|<\left|\vect R_{n'}-\vect R_{n}\right|.
 259 \end{split}
 260 \label{eq:translation op def}
 261 \end{equation}
 262
 263 \end_inset
 264
 265 Analytical expressions for the translation operator
 266 \begin_inset Formula $\transop^{lmt;l'm't'}\left(\vect R_{n'}-\vect R_{n}\right)$
 267 \end_inset
 268
 269  can be found in
 270 \begin_inset CommandInset citation
 271 LatexCommand cite
 272 key "xu_efficient_1998"
 273 literal "true"
 274
 275 \end_inset
 276
 277 .
 278 \end_layout
 279
 280 \begin_layout Standard
 281 If we write the field incident onto the
 282 \begin_inset Formula $n$
 283 \end_inset
 284
 285 -th nanoparticle as the sum of fields scattered from all the other nanoparticles
 286  and an external field
 287 \begin_inset Formula $\vect E_{0}$
 288 \end_inset
 289
 290  (which we also expand around each nanoparticle,
 291 \begin_inset Formula $\vect E_{0}\left(\vect r\right)=\sum_{l,m,t}\coeffripext nlmt\vswfr lmt\left(\vect r_{n}\right)$
 292 \end_inset
 293
 294 ),
 295 \begin_inset Formula
 296 \[
 297 \vect E_{n}^{\mathrm{inc}}\left(\vect r\right)=\vect E_{0}\left(\vect r\right)+\sum_{n'\ne n}\vect E_{n'}^{\mathrm{scat}}\left(\vect r\right)
 298 \]
 299
 300 \end_inset
 301
 302 and use eqs.
 303  (
 304 \begin_inset CommandInset ref
 305 LatexCommand ref
 306 reference "eq:E_inc"
 307
 308 \end_inset
 309
 310 )–(
 311 \begin_inset CommandInset ref
 312 LatexCommand ref
 313 reference "eq:translation op def"
 314
 315 \end_inset
 316
 317 ), we obtain a set of linear equations for the electromagnetic response
 318  (multiple scattering) of the whole set of nanoparticles,
 319 \begin_inset Formula
 320 \begin{equation}
 321 \begin{split}\coeffrip nlmt=\coeffripext nlmt+\sum_{n'\ne n}\sum_{l',m',t'}\transop^{lmt;l'm't'}\left(\vect R_{n}-\vect R_{n'}\right)\\
 322 \times\sum_{l'',m'',t''}T_{n'}^{l'm't';l''m''t''}\coeffrip{n'}{l''}{m''}{t''}.
 323 \end{split}
 324 \label{eq:multiplescattering element-wise}
 325 \end{equation}
 326
 327 \end_inset
 328
 329 It is practical to get rid of the VSWF indices, rewriting (
 330 \begin_inset CommandInset ref
 331 LatexCommand ref
 332 reference "eq:multiplescattering element-wise"
 333
 334 \end_inset
 335
 336 ) in a per-particle matrix form
 337 \begin_inset Formula
 338 \begin{equation}
 339 \coeffr_{n}=\coeffr_{\mathrm{ext}(n)}+\sum_{n'\ne n}S_{n,n'}T_{n'}p_{n'}\label{eq:multiple scattering per particle p}
 340 \end{equation}
 341
 342 \end_inset
 343
 344 and to reformulate the problem using (
 345 \begin_inset CommandInset ref
 346 LatexCommand ref
 347 reference "eq:Tmatrix definition"
 348
 349 \end_inset
 350
 351 ) in terms of the
 352 \begin_inset Formula $\coeffs$
 353 \end_inset
 354
 355 -coefficients which describe the multipole excitations of the particles
 356
 357 \begin_inset Formula
 358 \begin{equation}
 359 \coeffs_{n}-T_{n}\sum_{n'\ne n}S_{n,n'}\coeffs_{n'}=T_{n}\coeffr_{\mathrm{ext}(n)}.\label{eq:multiple scattering per particle a}
 360 \end{equation}
 361
 362 \end_inset
 363
 364 Knowing
 365 \begin_inset Formula $T_{n},S_{n,n'},\coeffr_{\mathrm{ext}(n)}$
 366 \end_inset
 367
 368 , the nanoparticle excitations
 369 \begin_inset Formula $a_{n}$
 370 \end_inset
 371
 372  can be solved by standard linear algebra methods.
 373  The total scattered field anywhere outside the particles' circumscribing
 374  spheres is then obtained by summing the contributions (
 375 \begin_inset CommandInset ref
 376 LatexCommand ref
 377 reference "eq:E_scat"
 378
 379 \end_inset
 380
 381 ) from all particles.
 382 \end_layout
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