Fix saving lists of arrays with recent versions of numpy
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1 #LyX 2.4 created this file. For more info see https://www.lyx.org/
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91 1D and 2D in 3D Ewald sum
92 \end_layout
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95 \begin_inset FormulaMacro
96 \newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
97 \end_inset
100 \begin_inset FormulaMacro
101 \newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
102 \end_inset
105 \begin_inset FormulaMacro
106 \newcommand{\vect}[1]{\mathbf{#1}}
107 \end_inset
110 \begin_inset FormulaMacro
111 \newcommand{\uvec}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}
112 \end_inset
115 \lang english
117 \begin_inset FormulaMacro
118 \newcommand{\ush}[2]{Y_{#1}^{#2}}
119 \end_inset
122 \begin_inset FormulaMacro
123 \newcommand{\ushD}[2]{Y'_{#1}^{#2}}
124 \end_inset
127 \end_layout
129 \begin_layout Standard
130 \begin_inset FormulaMacro
131 \newcommand{\vsh}{\vect A}
132 \end_inset
135 \begin_inset FormulaMacro
136 \newcommand{\vshD}{\vect{A'}}
137 \end_inset
140 \begin_inset FormulaMacro
141 \newcommand{\wfkc}{\vect y}
142 \end_inset
145 \begin_inset FormulaMacro
146 \newcommand{\wfkcout}{\vect u}
147 \end_inset
150 \begin_inset FormulaMacro
151 \newcommand{\wfkcreg}{\vect v}
152 \end_inset
155 \begin_inset FormulaMacro
156 \newcommand{\wckcreg}{a}
157 \end_inset
160 \begin_inset FormulaMacro
161 \newcommand{\wckcout}{f}
162 \end_inset
165 \end_layout
167 \begin_layout Section
168 General formula
169 \end_layout
171 \begin_layout Standard
172 We need to find the long-range part of the expansion coefficient
173 \end_layout
175 \begin_layout Standard
176 \begin_inset Formula 
177 \begin{equation}
178 \tau_{l'}^{m'}\left(\vect s,\vect k\right)=\frac{i}{\kappa j_{l'}\left(\kappa\left|\vect r\right|\right)}\int\ud\Omega_{\vect r}\,G_{\Lambda}^{(\kappa)}\left(\vect s+\vect r,\vect k\right)\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right).\label{eq:tau extraction formula}
179 \end{equation}
181 \end_inset
184 \end_layout
186 \begin_layout Standard
187 We take [Linton, (2.24)] with slightly modified notation 
188 \begin_inset Formula $\left(\vect k_{\vect K}\equiv\vect K+\vect k\right)$
189 \end_inset
192 \begin_inset Formula 
194 G_{\Lambda}^{(1;\kappa)}\left(\vect r\right)=-\frac{1}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect r}\int_{1/\eta}^{\infty e^{i\pi/4}}e^{-\kappa^{2}\gamma^{2}t^{2}/4}e^{-\left|\vect r^{\bot}\right|^{2}/t^{2}}t^{1-d_{c}}\ud t
197 \end_inset
199 or, evaluated at point 
200 \begin_inset Formula $\vect s+\vect r$
201 \end_inset
203  instead
204 \begin_inset Formula 
206 G_{\Lambda}^{(1;\kappa)}\left(\vect s+\vect r\right)=-\frac{1}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\left(\vect s+\vect r\right)}\int_{1/\eta}^{\infty e^{i\pi/4}}e^{-\kappa^{2}\gamma^{2}t^{2}/4}e^{-\left|\vect s^{\bot}+\vect r^{\bot}\right|^{2}/t^{2}}t^{1-d_{c}}\ud t
209 \end_inset
211 The integral can be by substitutions taken into the form 
212 \begin_inset Note Note
213 status open
215 \begin_layout Plain Layout
217 \lang english
218 \begin_inset Formula 
220 G_{\Lambda}^{\left(1\right)}\left(\vect r\right)=\frac{\pi^{-d_{c}/2}}{2\mathcal{A}}\sum_{\vect K_{m}\in\Lambda^{*}}e^{i\vect K_{m}\cdot\vect r}\int_{1/\eta}^{\infty\exp\left(i\pi/4\right)}e^{-\kappa^{2}\gamma_{m}^{2}\zeta^{2}/4}e^{-\left|\vect r_{\bot}\right|^{2}/\zeta^{2}}\zeta^{1-d_{c}}\ud\zeta
223 \end_inset
225 Try substitution 
226 \begin_inset Formula $t=\zeta^{2}$
227 \end_inset
229 : then 
230 \begin_inset Formula $\ud t=2\zeta\,\ud\zeta$
231 \end_inset
234 \begin_inset Formula $\ud\zeta=\ud t/2t^{1/2}$
235 \end_inset
237 ) and
238 \begin_inset Formula 
240 G_{\Lambda}^{\left(1\right)}\left(\vect r\right)=\frac{\pi^{-d_{c}/2}}{4\mathcal{A}}\sum_{\vect K_{m}\in\Lambda^{*}}e^{i\vect K_{m}\cdot\vect r}\int_{1/\eta^{2}}^{\infty\exp\left(i\pi/2\right)}e^{-\kappa^{2}\gamma_{m}^{2}t/4}e^{-\left|\vect r_{\bot}\right|^{2}/t}t^{\frac{-d_{c}}{2}}\ud t
243 \end_inset
245 Try subst.
247 \begin_inset Formula $\tau=k^{2}\gamma_{m}^{2}/4$
248 \end_inset
251 \end_layout
253 \begin_layout Plain Layout
255 \lang english
256 \begin_inset Formula 
258 G_{\Lambda}^{\left(1\right)}\left(\vect r\right)=\frac{\pi^{-d_{c}/2}}{4\mathcal{A}}\sum_{\vect K_{m}\in\Lambda^{*}}e^{i\vect K_{m}\cdot\vect r}\left(\frac{\kappa\gamma_{m}}{2}\right)^{d_{c}}\int_{\kappa^{2}\gamma_{m}^{2}/4\eta^{2}}^{\infty\exp\left(i\pi/2\right)}e^{-\tau}e^{-\left|\vect r_{\bot}\right|^{2}\kappa^{2}\gamma_{m}^{2}/4\tau}\tau^{\frac{-d_{c}}{2}}\ud\tau
261 \end_inset
264 \end_layout
266 \end_inset
269 \begin_inset Formula 
271 G_{\Lambda}^{(1;\kappa)}\left(\vect s+\vect r\right)=-\frac{1}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\left(\vect s+\vect r\right)}\int_{\kappa^{2}\gamma_{m}^{2}/4\eta^{2}}^{\infty\exp\left(i\pi/2\right)}e^{-\tau}e^{-\left|\vect s_{\bot}+\vect r_{\bot}\right|^{2}\kappa^{2}\gamma_{m}^{2}/4\tau}\tau^{-\frac{d_{c}}{2}}\ud\tau
274 \end_inset
277 \end_layout
279 \begin_layout Standard
280 \begin_inset Foot
281 status open
283 \begin_layout Plain Layout
284 [Linton, (2.25)] with slightly modified notation:
285 \begin_inset Formula 
287 G_{\Lambda}^{(1;\kappa)}\left(\vect r\right)=-\frac{1}{\sqrt{4\pi}\mathcal{A}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect r}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{j}\left|\vect r^{\bot}\right|^{2j}}{j!}\left(\frac{\kappa\gamma_{\vect{\vect k_{\vect K}}}}{2}\right)^{2j-1}\Gamma_{j\vect k_{\vect K}}
290 \end_inset
292 We want to express an expansion in a shifted point, so let's substitute
294 \begin_inset Formula $\vect r\to\vect s+\vect r$
295 \end_inset
298 \begin_inset Formula 
300 G_{\Lambda}^{(1;\kappa)}\left(\vect s+\vect r\right)=-\frac{1}{\sqrt{4\pi}\mathcal{A}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\left(\vect s+\vect r\right)}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{j}\left|\vect s^{\bot}+\vect r^{\bot}\right|^{2j}}{j!}\left(\frac{\kappa\gamma_{\vect k_{\vect K}}}{2}\right)^{2j-1}\Gamma_{j\vect k_{\vect K}}
303 \end_inset
306 \end_layout
308 \end_inset
310 Let's do the integration to get 
311 \begin_inset Formula $\tau_{l}^{m}\left(\vect s,\vect k\right)$
312 \end_inset
315 \begin_inset Formula 
317 \int\ud\Omega_{\vect r}\,G_{\Lambda}^{(1;\kappa)}\left(\vect s+\vect r\right)\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)=-\frac{1}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}}\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\left(\vect s+\vect r\right)}\int_{\kappa^{2}\gamma_{\vect k_{\vect K}}^{2}/4\eta^{2}}^{\infty\exp\left(i\pi/2\right)}e^{-\tau}e^{-\left|\vect s_{\bot}+\vect r_{\bot}\right|^{2}\kappa^{2}\gamma_{\vect k_{\vect K}}^{2}/4\tau}\tau^{-\frac{d_{c}}{2}}\ud\tau
320 \end_inset
322 The 
323 \begin_inset Formula $\vect r$
324 \end_inset
326 -dependent plane wave factor can be also written as
327 \begin_inset Formula 
328 \begin{align*}
329 e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect r} & =e^{i\left|\vect k_{\vect K}\right|\vect r\cdot\uvec{\vect k_{\vect K}}}=4\pi\sum_{lm}i^{l}\mathcal{J}'_{l}^{m}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\vect r\right)\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\\
330  & =4\pi\sum_{lm}i^{l}j_{l}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\left|\vect r\right|\right)\ushD lm\left(\uvec{\vect r}\right)\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)
331 \end{align*}
333 \end_inset
336 \begin_inset Note Note
337 status open
339 \begin_layout Plain Layout
340 or the other way around
341 \begin_inset Formula 
343 e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect r}=4\pi\sum_{lm}i^{l}j_{l}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\left|\vect r\right|\right)\ush lm\left(\uvec{\vect r}\right)\ushD lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)
346 \end_inset
349 \end_layout
351 \end_inset
354 \begin_inset Formula 
355 \begin{multline*}
356 \int\ud\Omega_{\vect r}\,G_{\Lambda}^{(1;\kappa)}\left(\vect s+\vect r\right)\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)=-\frac{1}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}}\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\frac{1}{2\pi\mathcal{A}}\times\\
357 \times\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{lm}4\pi i^{l}j_{l}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\left|\vect r\right|\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\int_{\kappa^{2}\gamma_{\vect{\vect k_{\vect K}}}^{2}/4\eta^{2}}^{\infty\exp\left(i\pi/2\right)}e^{-\tau}e^{-\left|\vect s_{\bot}+\vect r_{\bot}\right|^{2}\kappa^{2}\gamma_{\vect{\vect k_{\vect K}}}^{2}/4\tau}\tau^{-\frac{d_{c}}{2}}\ud\tau
358 \end{multline*}
360 \end_inset
363 \end_layout
365 \begin_layout Standard
366 We also have
367 \begin_inset Formula 
368 \begin{align*}
369 e^{-\left|\vect s_{\bot}+\vect r_{\bot}\right|^{2}\kappa^{2}\gamma_{\vect K}^{2}/4\tau} & =e^{-\left(\left|\vect s_{\bot}\right|^{2}+\left|\vect r_{\bot}\right|^{2}+2\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}\right)\kappa^{2}\gamma_{\vect K}^{2}/4\tau}\\
370  & =e^{-\left|\vect s_{\bot}\right|^{2}\kappa^{2}\gamma_{\vect K}^{2}/4\tau}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\left(-\frac{\left(\left|\vect r_{\bot}\right|^{2}+2\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}\right)\kappa^{2}\gamma_{\vect K}^{2}}{4\tau}\right)^{j},
371 \end{align*}
373 \end_inset
375 hence
376 \begin_inset Formula 
377 \begin{align*}
378 \int\ud\Omega_{\vect r}\,G_{\Lambda}^{(1;\kappa)}\left(\vect s+\vect r\right)\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right) & =-\frac{1}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}}\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{lm}4\pi i^{l}j_{l}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\left|\vect r\right|\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\times\\
379  & \quad\times\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\left(-\frac{\left(\left|\vect r_{\bot}\right|^{2}+2\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}\right)\kappa^{2}\gamma_{\vect{\vect k_{\vect K}}}^{2}}{4}\right)^{j}\underbrace{\int_{\kappa^{2}\gamma_{\vect K}^{2}/4\eta^{2}}^{\infty\exp\left(i\pi/2\right)}e^{-\tau}e^{-\left|\vect s_{\bot}\right|^{2}\kappa^{2}\gamma_{\vect K}^{2}/4\tau}\tau^{-\frac{d_{c}}{2}-j}\ud\tau}_{\Delta_{j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}}\\
380  & =-\frac{1}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{lm}4\pi i^{l}j_{l}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\left|\vect r\right|\right)\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\Delta_{j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}}{j!}\times\\
381  & \quad\times\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\left(-\frac{\left(\left|\vect r_{\bot}\right|^{2}+2\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}\right)\kappa^{2}\gamma_{\vect k_{\vect K}}^{2}}{4}\right)^{j}\\
382  & =-\frac{1}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{lm}4\pi i^{l}j_{l}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\left|\vect r\right|\right)\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{j}}{j!}\Delta_{j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}\times\\
383  & \quad\times\left(\frac{\kappa\gamma_{\vect{\vect k_{\vect K}}}}{2}\right)^{2j}\sum_{k=0}^{j}\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\left|\vect r_{\bot}\right|^{2(j-k)}\left(2\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}\right)^{k}.
384 \end{align*}
386 \end_inset
388 If we label 
389 \begin_inset Formula $\left|\vect r_{\bot}\right|\left|\vect s_{\bot}\right|\cos\varphi\equiv\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}$
390 \end_inset
392 , we have
393 \begin_inset Formula 
394 \begin{multline*}
395 \int\ud\Omega_{\vect r}\,G_{\Lambda}^{(1;\kappa)}\left(\vect s+\vect r\right)\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)=-\frac{1}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{lm}4\pi i^{l}j_{l}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\left|\vect r\right|\right)\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\times\\
396 \times\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{j}}{j!}\Delta_{j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}\left(\frac{\kappa\gamma_{\vect k_{\vect K}}}{2}\right)^{2j}\sum_{k=0}^{j}\left(2\left|\vect s_{\bot}\right|\right)^{k}\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\left|\vect r_{\bot}\right|^{2j-k}\left(\cos\varphi\right)^{k}
397 \end{multline*}
399 \end_inset
401 and if we label 
402 \begin_inset Formula $\left|\vect r\right|\sin\vartheta\equiv\left|\vect r_{\bot}\right|$
403 \end_inset
406 \begin_inset Formula 
407 \begin{multline*}
408 \int\ud\Omega_{\vect r}\,G_{\Lambda}^{(1;\kappa)}\left(\vect s+\vect r\right)\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)=-\frac{1}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{lm}4\pi i^{l}j_{l}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\left|\vect r\right|\right)\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{j}}{j!}\Delta_{j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}\left(\frac{\kappa\gamma_{\vect k_{\vect K}}}{2}\right)^{2j}\times\\
409 \times\sum_{k=0}^{j}\left|\vect r\right|^{2j-k}\left(2\left|\vect s_{\bot}\right|\right)^{k}\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\left(\sin\vartheta\right)^{2j-k}\left(\cos\varphi\right)^{k}.
410 \end{multline*}
412 \end_inset
414 Now let's put the RHS into 
415 \begin_inset CommandInset ref
416 LatexCommand eqref
417 reference "eq:tau extraction formula"
418 plural "false"
419 caps "false"
420 noprefix "false"
422 \end_inset
424  and try eliminating some sum by taking the limit 
425 \begin_inset Formula $\left|\vect r\right|\to0$
426 \end_inset
429  We have 
430 \begin_inset Formula $j_{l}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\left|\vect r\right|\right)\sim\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|\left|\vect r\right|\right)^{l}/\left(2l+1\right)!!$
431 \end_inset
433 ; the denominator from 
434 \begin_inset CommandInset ref
435 LatexCommand eqref
436 reference "eq:tau extraction formula"
437 plural "false"
438 caps "false"
439 noprefix "false"
441 \end_inset
443  behaves like 
444 \begin_inset Formula $j_{l'}\left(\kappa\left|\vect r\right|\right)\sim\left(\kappa\left|\vect r\right|\right)^{l'}/\left(2l'+1\right)!!.$
445 \end_inset
447  The leading terms are hence those with 
448 \begin_inset Formula $\left|\vect r\right|^{l-l'+2j-k}$
449 \end_inset
452  So 
453 \begin_inset Formula 
454 \begin{multline*}
455 \tau_{l'}^{m'}\left(\vect s,\vect k\right)=\frac{-i}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}\kappa^{1+l'}}\left(2l'+1\right)!!\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{lm}4\pi i^{l}\frac{\left|\vect k_{\vect K}\right|^{l}}{\left(2l+1\right)!!}\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\times\\
456 \times\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{j}}{j!}\Delta_{j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}\left(\frac{\kappa\gamma_{\vect k_{\vect K}}}{2}\right)^{2j}\sum_{k=0}^{j}\delta_{l'-l,2j-k}\left(2\left|\vect s_{\bot}\right|\right)^{k}\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\left(\sin\vartheta\right)^{l'-l}\left(\cos\varphi\right)^{k}.
457 \end{multline*}
459 \end_inset
461 Let's now focus on rearranging the sums; we have
462 \begin_inset Formula 
464 S(l')\equiv\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}\delta_{l'-l,2j-k}f(l',l,j,k)=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}\delta_{l'-l,2j-k}f(l',l,j,2j-l'+l)
467 \end_inset
469 We have 
470 \begin_inset Formula $0\le k\le j$
471 \end_inset
473 , hence 
474 \begin_inset Formula $0\le2j-l'+l\le j$
475 \end_inset
477 , hence 
478 \begin_inset Formula $-2j\le-l'+l\le-j$
479 \end_inset
481 , hence also 
482 \begin_inset Formula $l'-2j\le l\le l'-j$
483 \end_inset
485 , which gives the opportunity to swap the 
486 \begin_inset Formula $l,j$
487 \end_inset
489  sums and the 
490 \begin_inset Formula $l$
491 \end_inset
493 -sum becomes finite; so also consuming 
494 \begin_inset Formula $\sum_{k=0}^{j}\delta_{l'-l,2j-k}$
495 \end_inset
497  we get 
498 \begin_inset Formula 
500 S(l')=\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{l=\max(0,l'-2j)}^{l'-j}f(l',l,j,2j-l'+l).
503 \end_inset
505 Finally, we see that the interval of valid 
506 \begin_inset Formula $l$
507 \end_inset
509  becomes empty when 
510 \begin_inset Formula $l'-j<0$
511 \end_inset
513 , i.e.
515 \begin_inset Formula $j>l'$
516 \end_inset
518 ; so we get a finite sum
519 \begin_inset Formula 
521 S(l')=\sum_{j=0}^{l'}\sum_{l=\max(0,l'-2j)}^{l'-j}f(l',l,j,2j-l'+l).
524 \end_inset
526 Applying rearrangement,
527 \begin_inset Formula 
528 \begin{multline*}
529 \tau_{l'}^{m'}\left(\vect s,\vect k\right)=\frac{-i}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}\kappa}\frac{\left(2l'+1\right)!!}{\kappa^{l'}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{j=0}^{l'}\frac{\left(-1\right)^{j}}{j!}\Delta_{j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}\left(\frac{\kappa\gamma_{\vect k_{\vect K}}}{2}\right)^{2j}\times\sum_{l=\max\left(0,l'-2j\right)}^{l'-j}4\pi i^{l}\left(2\left|\vect s_{\bot}\right|\right)^{2j-l'+l}\frac{\left|\vect k_{\vect K}\right|^{l}}{\left(2l+1\right)!!}\\
530 \times\sum_{m=-l}^{l}\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\left(\sin\vartheta\right)^{l'-l}\left(\cos\varphi\right)^{2j-l'+l},
531 \end{multline*}
533 \end_inset
535 or replacing the angles with their original definition,
536 \begin_inset Formula 
537 \begin{multline*}
538 \tau_{l'}^{m'}\left(\vect s,\vect k\right)=\frac{-i}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}\kappa}\frac{\left(2l'+1\right)!!}{\kappa^{l'}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{j=0}^{l'}\frac{\left(-1\right)^{j}}{j!}\Delta_{j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}\left(\frac{\kappa\gamma_{\vect K}}{2}\right)^{2j}\times\sum_{l=\max\left(0,l'-2j\right)}^{l'-j}4\pi i^{l}\left(2\left|\vect s_{\bot}\right|\right)^{2j-l'+l}\frac{\left|\vect k_{\vect K}\right|^{l}}{\left(2l+1\right)!!}\\
539 \times\sum_{m=-l}^{l}\ush lm\left(\uvec K\right)\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\left(\frac{\left|\vect r_{\bot}\right|}{\left|\vect r\right|}\right)^{l'-l}\left(\frac{\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}}{\left|\vect r_{\bot}\right|\left|\vect s_{\bot}\right|}\right)^{2j-l'+l},
540 \end{multline*}
542 \end_inset
544 and if we want a 
545 \begin_inset Formula $\sigma_{l'}^{m'}\left(\vect s,\vect k\right)$
546 \end_inset
548  instead, we reverse the sign of 
549 \begin_inset Formula $\vect s$
550 \end_inset
552  and replace all spherical harmonics with their dual counterparts:
553 \begin_inset Formula 
554 \begin{multline*}
555 \sigma_{l'}^{m'}\left(\vect s,\vect k\right)=\frac{-i}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}\kappa}\frac{\left(2l'+1\right)!!}{\kappa^{l'}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{-i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{j=0}^{l'}\frac{\left(-1\right)^{j}}{j!}\Delta_{j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}\left(\frac{\kappa\gamma_{\vect k_{\vect K}}}{2}\right)^{2j}\sum_{l=\max\left(0,l'-2j\right)}^{l'-j}4\pi i^{l}\left(2\left|\vect s_{\bot}\right|\right)^{2j-l'+l}\frac{\left|\vect k_{\vect K}\right|^{l}}{\left(2l+1\right)!!}\times\\
556 \times\sum_{m=-l}^{l}\ushD lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ush{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\ush lm\left(\uvec r\right)\left(\frac{\left|\vect r_{\bot}\right|}{\left|\vect r\right|}\right)^{l'-l}\left(\frac{-\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}}{\left|\vect r_{\bot}\right|\left|\vect s_{\bot}\right|}\right)^{2j-l'+l},
557 \end{multline*}
559 \end_inset
561 and remembering that in the plane wave expansion the 
562 \begin_inset Quotes eld
563 \end_inset
565 duality
566 \begin_inset Quotes erd
567 \end_inset
569  is interchangeable,
570 \begin_inset Formula 
571 \begin{multline*}
572 \sigma_{l'}^{m'}\left(\vect s,\vect k\right)=\frac{-i}{2\pi^{d_{c}/2}\mathcal{A}\kappa}\frac{\left(2l'+1\right)!!}{\kappa^{l'}}\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{-i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\sum_{j=0}^{l'}\frac{\left(-1\right)^{j}}{j!}\Delta_{j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}\left(\frac{\kappa\gamma_{\vect k_{\vect K}}}{2}\right)^{2j}\sum_{l=\max\left(0,l'-2j\right)}^{l'-j}4\pi i^{l}\left(2\left|\vect s_{\bot}\right|\right)^{2j-l'+l}\frac{\left|\vect k_{\vect K}\right|^{l}}{\left(2l+1\right)!!}\times\\
573 \times\sum_{m=-l}^{l}\ush lm\left(\uvec{\vect k_{\vect K}}\right)\underbrace{\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ush{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\left(\frac{\left|\vect r_{\bot}\right|}{\left|\vect r\right|}\right)^{l'-l}\left(\frac{-\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}}{\left|\vect r_{\bot}\right|\left|\vect s_{\bot}\right|}\right)^{2j-l'+l}}_{\equiv A_{l',l,m',m,j}^{\left(d_{\Lambda}\right)}}.
574 \end{multline*}
576 \end_inset
578 The angular integral is easier to evaluate when 
579 \begin_inset Formula $d_{\Lambda}=2$
580 \end_inset
582 , because then 
583 \begin_inset Formula $\vect r_{\bot}$
584 \end_inset
586  is parallel (or antiparallel) to 
587 \begin_inset Formula $\vect s_{\bot}$
588 \end_inset
590 , which gives 
591 \begin_inset Formula 
593 A_{l',l,m',m,j}^{\left(2\right)}=\left(-\frac{\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}}{\left|\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}\right|}\right)^{2j-l'+l}\int\ud\Omega_{\vect r}\,\ush{l'}{m'}\left(\uvec r\right)\ushD lm\left(\uvec r\right)\left(\frac{\left|\vect r_{\bot}\right|}{\left|\vect r\right|}\right)^{2j}
596 \end_inset
598 and if we set the normal of the lattice correspond to the 
599 \begin_inset Formula $z$
600 \end_inset
602  axis, the azimuthal part of the integral will become zero unless 
603 \begin_inset Formula $m'=m$
604 \end_inset
606  for any meaningful spherical harmonics convention, and the polar part for
607  the only nonzero case has a closed-form expression, see e.g.
608  [Linton (A.15)], so one arrives at an expression similar to [Kambe II, (3.15)]
609 \lang english
611 \begin_inset Formula 
612 \begin{multline}
613 \sigma_{l,m}^{\left(\mathrm{L},\eta\right)}\left(\vect k,\vect s\right)=-\frac{i^{l+1}}{\kappa^{2}\mathcal{A}}\pi^{3/2}2\left(\left(l-m\right)/2\right)!\left(\left(l+m\right)/2\right)!\times\\
614 \times\sum_{\vect K\in\Lambda^{*}}e^{i\vect k_{\vect K}\cdot\vect s}\ush lm\left(\vect k_{\vect K}\right)\sum_{j=0}^{l-\left|m\right|}\left(-1\right)^{j}\gamma_{\vect k_{\vect K}}^{2}{}^{2j+1}\times\\
615 \times\Delta_{j}\left(\frac{\kappa^{2}\gamma_{\vect k_{\vect K}}^{2}}{4\eta^{2}},-i\kappa\gamma_{\vect k_{\vect K}}^{2}s_{\perp}\right)\times\\
616 \times\sum_{\substack{s\\
617 j\le s\le\min\left(2j,l-\left|m\right|\right)\\
618 l-j+\left|m\right|\,\mathrm{evej}
620 }\frac{1}{\left(2j-s\right)!\left(s-j\right)!}\frac{\left(-\kappa s_{\perp}\right)^{2j-s}\left(\left|\vect k_{\vect K}\right|/\kappa\right)^{l-s}}{\left(\frac{1}{2}\left(l-m-s\right)\right)!\left(\frac{1}{2}\left(l+m-s\right)\right)!}\label{eq:Ewald in 3D long-range part 1D 2D-1}
621 \end{multline}
623 \end_inset
625 where 
626 \begin_inset Formula $s_{\perp}\equiv\vect s\cdot\uvec z=\vect s_{\bot}\cdot\uvec z$
627 \end_inset
630  If 
631 \begin_inset Formula $d_{\Lambda}=1$
632 \end_inset
634 , the angular becomes more complicated to evaluate due to the different
635  behaviour of the 
636 \begin_inset Formula $\vect r_{\bot}\cdot\vect s_{\bot}/\left|\vect r_{\bot}\right|\left|\vect s_{\bot}\right|$
637 \end_inset
639  factor.
640  The choice of coordinates can make most of the terms dissapear: if the
641  lattice is set parallel to the 
642 \begin_inset Formula $z$
643 \end_inset
645  axis, 
646 \begin_inset Formula $A_{l',l,m',m,j}^{\left(1\right)}$
647 \end_inset
649  is zero unless 
650 \begin_inset Formula $m=0$
651 \end_inset
653 , but one still has 
654 \begin_inset Formula 
656 A_{l',l,m',0,j}^{\left(1\right)}=\pi\delta_{m',l'-l-2j}\lambda'_{l0}\lambda_{l'm'}\int_{-1}^{1}\ud x\,P_{l'}^{m'}\left(x\right)P_{l}^{0}\left(x\right)\left(1-x^{2}\right)^{\frac{l'-l}{2}}
659 \end_inset
661 where 
662 \begin_inset Formula $\lambda_{lm}$
663 \end_inset
665  are constants depending on the conventions for spherical harmonics.
666  This does not seem to have such a nice closed-form expression as in the
667  2D case, but it can be evaluated e.g.
668  using the common recurrence relations for associated Legendre polynomials.
669  Of course when 
670 \begin_inset Formula $\vect s=0$
671 \end_inset
673 , one gets relatively nice closed expressions, such as those in [Linton].
674 \end_layout
676 \end_body
677 \end_document