notes/radpower.lyx

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  93 \end_inset
  94
  95
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  97 \newcommand{\uaft}[1]{\mathfrak{\mathbb{F}}#1}
  98 \end_inset
  99
 100
 101 \begin_inset FormulaMacro
 102 \newcommand{\usht}[2]{\mathbb{S}_{#1}#2}
 103 \end_inset
 104
 105
 106 \begin_inset FormulaMacro
 107 \newcommand{\bsht}[2]{\mathrm{S}_{#1}#2}
 108 \end_inset
 109
 110
 111 \begin_inset FormulaMacro
 112 \newcommand{\pht}[2]{\mathfrak{\mathbb{H}}_{#1}#2}
 113 \end_inset
 114
 115
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 117 \newcommand{\vect}[1]{\mathbf{#1}}
 118 \end_inset
 119
 120
 121 \begin_inset FormulaMacro
 122 \newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
 123 \end_inset
 124
 125
 126 \begin_inset FormulaMacro
 127 \newcommand{\basis}[1]{\mathfrak{#1}}
 128 \end_inset
 129
 130
 131 \begin_inset FormulaMacro
 132 \newcommand{\dc}[1]{Ш_{#1}}
 133 \end_inset
 134
 135
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 137 \newcommand{\rec}[1]{#1^{-1}}
 138 \end_inset
 139
 140
 141 \begin_inset FormulaMacro
 142 \newcommand{\recb}[1]{#1^{\widehat{-1}}}
 143 \end_inset
 144
 145
 146 \begin_inset FormulaMacro
 147 \newcommand{\ints}{\mathbb{Z}}
 148 \end_inset
 149
 150
 151 \begin_inset FormulaMacro
 152 \newcommand{\nats}{\mathbb{N}}
 153 \end_inset
 154
 155
 156 \begin_inset FormulaMacro
 157 \newcommand{\reals}{\mathbb{R}}
 158 \end_inset
 159
 160
 161 \begin_inset FormulaMacro
 162 \newcommand{\ush}[2]{Y_{#1,#2}}
 163 \end_inset
 164
 165
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 167 \newcommand{\hgfr}{\mathbf{F}}
 168 \end_inset
 169
 170
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 172 \newcommand{\ph}{\mathrm{ph}}
 173 \end_inset
 174
 175
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 177 \newcommand{\kor}[1]{\underline{#1}}
 178 \end_inset
 179
 180
 181 \begin_inset FormulaMacro
 182 \newcommand{\koru}[1]{\overline{#1}}
 183 \end_inset
 184
 185
 186 \begin_inset FormulaMacro
 187 \newcommand{\hgf}{F}
 188 \end_inset
 189
 190
 191 \begin_inset FormulaMacro
 192 \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1\right|}
 193 \end_inset
 194
 195
 196 \begin_inset FormulaMacro
 197 \newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle }
 198 \end_inset
 199
 200
 201 \begin_inset FormulaMacro
 202 \newcommand{\sci}[1]{\mathfrak{#1}}
 203 \end_inset
 204
 205
 206 \end_layout
 207
 208 \begin_layout Title
 209 Radiation power balance in nanoparticles
 210 \end_layout
 211
 212 \begin_layout Author
 213 Marek Nečada
 214 \end_layout
 215
 216 \begin_layout Abstract
 217 This memo deals with the formulae for radiation transfer, absorption, extinction
 218  for single particle and composite system of several nanoparticles.
 219  I also derive some natural conditions on the
 220 \begin_inset Formula $T$
 221 \end_inset
 222
 223 -matrix elements.
 224 \end_layout
 225
 226 \begin_layout Section*
 227 Conventions
 228 \end_layout
 229
 230 \begin_layout Standard
 231 If not stated otherwise, Kristensson's notation and normalisation conventions
 232  are used in this memo.
 233  That means, among other things, that the
 234 \begin_inset Formula $T$
 235 \end_inset
 236
 237 -matrix is dimensionless and the expansion coefficients of spherical waves
 238  have units of
 239 \begin_inset Formula $\sqrt{\mbox{power}}$
 240 \end_inset
 241
 242 .
 243 \end_layout
 244
 245 \begin_layout Section
 246 Single particle
 247 \end_layout
 248
 249 \begin_layout Subsection
 250 Power transfer formula, absorption
 251 \end_layout
 252
 253 \begin_layout Standard
 254 The power radiated away by a linear scatterer at fixed harmonic frequency
 255  is according to [Kris (2.28)]
 256 \begin_inset Formula
 257 \[
 258 P=\frac{1}{2}\sum_{n}\left(\left|f_{n}\right|^{2}+\Re\left(f_{n}a_{n}^{*}\right)\right)
 259 \]
 260
 261 \end_inset
 262
 263 where
 264 \begin_inset Formula $n$
 265 \end_inset
 266
 267  is a multiindex describing the type (E/M) and multipole degree and order
 268  of the wave,
 269 \begin_inset Formula $f_{n}$
 270 \end_inset
 271
 272  is the coefficient corresponding to
 273 \series bold
 274 outgoing
 275 \series default
 276  (Hankel function based) and
 277 \begin_inset Formula $a_{n}$
 278 \end_inset
 279
 280  to
 281 \series bold
 282 regular
 283 \series default
 284  (first-order Bessel function based) waves.
 285 \end_layout
 286
 287 \begin_layout Standard
 288 This is minus the power absorbed by the nanoparticle, and unless the particle
 289  has some gain mechanism, this cannot be positive.
 290  The basic condition for a physical nanoparticle therefore reads
 291 \begin_inset Formula
 292 \begin{equation}
 293 P=\frac{1}{2}\sum_{n}\left(\left|f_{n}\right|^{2}+\Re\left(f_{n}a_{n}^{*}\right)\right)\le0.\label{eq:Absorption is never negative}
 294 \end{equation}
 295
 296 \end_inset
 297
 298
 299 \end_layout
 300
 301 \begin_layout Subsection
 302 Conditions on the
 303 \begin_inset Formula $T$
 304 \end_inset
 305
 306 -matrix
 307 \end_layout
 308
 309 \begin_layout Standard
 310 For a linear scatterer, the outgoing and regular wave coefficients are connected
 311  via the
 312 \begin_inset Formula $T$
 313 \end_inset
 314
 315 -matrix
 316 \begin_inset Formula
 317 \begin{equation}
 318 f_{n}=\sum_{n'}T_{nn'}a_{n'}.\label{eq:T-matrix definition}
 319 \end{equation}
 320
 321 \end_inset
 322
 323
 324 \end_layout
 325
 326 \begin_layout Standard
 327 Inequality
 328 \begin_inset CommandInset ref
 329 LatexCommand eqref
 330 reference "eq:Absorption is never negative"
 331
 332 \end_inset
 333
 334  enables us to derive some conditions on the
 335 \begin_inset Formula $T$
 336 \end_inset
 337
 338 -matrix.
 339  Let the particle be driven by a wave of a single type
 340 \begin_inset Formula $m$
 341 \end_inset
 342
 343  only so the coefficients of all other components of the driving field are
 344  zero,
 345 \begin_inset Formula $a_{n}=\delta_{nm}$
 346 \end_inset
 347
 348 .
 349  From
 350 \begin_inset CommandInset ref
 351 LatexCommand eqref
 352 reference "eq:Absorption is never negative"
 353
 354 \end_inset
 355
 356  and
 357 \begin_inset CommandInset ref
 358 LatexCommand eqref
 359 reference "eq:T-matrix definition"
 360
 361 \end_inset
 362
 363  we get
 364 \begin_inset Formula
 365 \begin{eqnarray}
 366 P & = & \frac{1}{2}\sum_{n}\left(\left|\sum_{n'}T_{nn'}a_{n'}\right|^{2}+\Re\left(\sum_{n'}T_{nn'}a_{n'}a_{n}^{*}\right)\right)\label{eq:Absorption is never negative with T}\\
 367  & = & \frac{1}{2}\sum_{n}\left(\left|\sum_{n'}T_{nn'}\delta_{n'm}\right|^{2}+\Re\left(\sum_{n'}T_{nn'}\delta_{n'm}\delta_{nm}\right)\right)\nonumber \\
 368  & = & \frac{1}{2}\left(\left|\sum_{n}T_{nm}\right|^{2}+\Re T_{mm}\right)\le0\qquad\forall m,\label{eq:Absorption is never negative for single wave type}
 369 \end{eqnarray}
 370
 371 \end_inset
 372
 373 a condition that should be ensured to be true e.g.
 374  for the
 375 \begin_inset Formula $T$
 376 \end_inset
 377
 378 -matrices generated by SCUFF-EM.
 379 \end_layout
 380
 381 \begin_layout Remark
 382 For a particle of spherical symmetry
 383 \begin_inset Formula $T_{nm}\propto\delta_{nm}$
 384 \end_inset
 385
 386 , so
 387 \begin_inset CommandInset ref
 388 LatexCommand eqref
 389 reference "eq:Absorption is never negative for single wave type"
 390
 391 \end_inset
 392
 393  gives
 394 \begin_inset Formula $-\Re T_{mm}\ge\left|T_{mm}\right|^{2}$
 395 \end_inset
 396
 397  which in turn implies
 398 \begin_inset Formula $\left|T_{mm}\right|<1$
 399 \end_inset
 400
 401 .
 402  (Any similar conclusion for the general case?)
 403 \end_layout
 404
 405 \begin_layout Problem
 406 Obviously,
 407 \begin_inset CommandInset ref
 408 LatexCommand eqref
 409 reference "eq:Absorption is never negative for single wave type"
 410
 411 \end_inset
 412
 413  is the consequence of the condition
 414 \begin_inset CommandInset ref
 415 LatexCommand eqref
 416 reference "eq:Absorption is never negative"
 417
 418 \end_inset
 419
 420 .
 421  But is
 422 \begin_inset CommandInset ref
 423 LatexCommand eqref
 424 reference "eq:Absorption is never negative"
 425
 426 \end_inset
 427
 428  always true if
 429 \begin_inset CommandInset ref
 430 LatexCommand eqref
 431 reference "eq:Absorption is never negative for single wave type"
 432
 433 \end_inset
 434
 435  satisfied?
 436 \end_layout
 437
 438 \begin_layout Standard
 439 Let me rewrite the expression
 440 \begin_inset CommandInset ref
 441 LatexCommand eqref
 442 reference "eq:Absorption is never negative with T"
 443
 444 \end_inset
 445
 446  (without any assumptions about the values of the coefficients
 447 \begin_inset Formula $a_{n}$
 448 \end_inset
 449
 450 ) in Dirac notation where the ket
 451 \begin_inset Formula $\ket a$
 452 \end_inset
 453
 454  is the vector of all the exciting wave coefficients
 455 \begin_inset Formula $a_{n}$
 456 \end_inset
 457
 458 .
 459  Furthemore,
 460 \begin_inset Formula $\ket{e_{m}}$
 461 \end_inset
 462
 463  is the unit vector containing one for the wave indexed by
 464 \begin_inset Formula $m$
 465 \end_inset
 466
 467  and zeros for the rest, so that
 468 \begin_inset Formula $T_{mn}=\bra{e_{m}}T\ket{e_{n}}$
 469 \end_inset
 470
 471 .
 472  The general expression
 473 \begin_inset CommandInset ref
 474 LatexCommand eqref
 475 reference "eq:Absorption is never negative with T"
 476
 477 \end_inset
 478
 479  and condition
 480 \begin_inset CommandInset ref
 481 LatexCommand eqref
 482 reference "eq:Absorption is never negative"
 483
 484 \end_inset
 485
 486  then reads
 487 \begin_inset Formula
 488 \begin{eqnarray}
 489 P & = & \frac{1}{2}\left(\sum_{n}\left|\bra{e_{n}}T\ket a\right|^{2}+\Re\bra aT\ket a\right)\nonumber \\
 490  & = & \frac{1}{2}\left(\sum_{n}\bra aT^{\dagger}\ket{e_{n}}\bra{e_{n}}T\ket a+\frac{1}{2}\left(\bra aT\ket a+\bra aT\ket a^{*}\right)\right)\nonumber \\
 491  & = & \frac{1}{2}\bra aT^{\dagger}T\ket a+\frac{1}{4}\bra a\left(T+T^{\dagger}\right)\ket a\le0\qquad\forall\ket a,\label{eq:Absorption is never negative in Dirac notation}
 492 \end{eqnarray}
 493
 494 \end_inset
 495
 496 giving the following condition on the
 497 \begin_inset Formula $T$
 498 \end_inset
 499
 500 -matrix:
 501 \end_layout
 502
 503 \begin_layout Proposition
 504 A
 505 \begin_inset Formula $T$
 506 \end_inset
 507
 508 -matrix
 509 \begin_inset Formula $T$
 510 \end_inset
 511
 512  is unphysical unless the matrix
 513 \begin_inset Formula
 514 \begin{equation}
 515 W\equiv\frac{T^{\dagger}T}{2}+\frac{T+T^{\dagger}}{4}\label{eq:Definition of the power matrix}
 516 \end{equation}
 517
 518 \end_inset
 519
 520  is negative (semi)definite.
 521 \end_layout
 522
 523 \begin_layout Standard
 524 Obviously, matrix
 525 \begin_inset Formula $W$
 526 \end_inset
 527
 528  is self-adjoint and it has a clear interpretation given by
 529 \begin_inset CommandInset ref
 530 LatexCommand eqref
 531 reference "eq:Absorption is never negative in Dirac notation"
 532
 533 \end_inset
 534
 535  – for an exciting field given by its expansion coefficient vector
 536 \begin_inset Formula $\ket a$
 537 \end_inset
 538
 539 ,
 540 \begin_inset Formula $-P=-\bra aW\ket a$
 541 \end_inset
 542
 543  is the power absorbed by the scatterer.
 544 \end_layout
 545
 546 \begin_layout Subsection
 547 Lossless scatterer
 548 \end_layout
 549
 550 \begin_layout Standard
 551 Radiation energy conserving scatterer is not very realistic, but it might
 552  provide some simplifications necessary for developing the topological theory.
 553 \end_layout
 554
 555 \begin_layout Standard
 556 A scatterer always conserves the radiation energy iff
 557 \begin_inset Formula $W=0$
 558 \end_inset
 559
 560 , i.e.
 561  iff
 562 \begin_inset Formula
 563 \[
 564 \frac{T^{\dagger}T}{2}+\frac{T+T^{\dagger}}{4}=0.
 565 \]
 566
 567 \end_inset
 568
 569
 570 \end_layout
 571
 572 \begin_layout Subsubsection
 573 Diagonal
 574 \begin_inset Formula $T$
 575 \end_inset
 576
 577 -matrix
 578 \end_layout
 579
 580 \begin_layout Standard
 581 To get some insight into what does this mean, it might be useful to start
 582  with a diagonal
 583 \begin_inset Formula $T$
 584 \end_inset
 585
 586 -matrix,
 587 \begin_inset Formula $T_{mn}=t_{n}\delta_{mn}$
 588 \end_inset
 589
 590  (valid for e.g.
 591  a spherical particle).
 592  Then for the
 593 \begin_inset Formula $m$
 594 \end_inset
 595
 596 -th matrix element we have
 597 \begin_inset Formula
 598 \[
 599 \left(\Re t_{n}\right)^{2}+\left(\Im t_{n}\right)^{2}+\Re t_{n}=0
 600 \]
 601
 602 \end_inset
 603
 604 or
 605 \begin_inset Formula
 606 \[
 607 \left(\Re t_{n}+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\Im t_{n}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
 608 \]
 609
 610 \end_inset
 611
 612 which gives a relation between the real and imaginary parts of the scattering
 613  coefficients.
 614  There are two
 615 \begin_inset Quotes eld
 616 \end_inset
 617
 618 extremal
 619 \begin_inset Quotes erd
 620 \end_inset
 621
 622  real values,
 623 \begin_inset Formula $t_{n}=0$
 624 \end_inset
 625
 626  (no scattering at all) and
 627 \begin_inset Formula $t_{n}=-1$
 628 \end_inset
 629
 630 .
 631  In general, the possible values lie on a half-unit circle in the complex
 632  plane with the centre at
 633 \begin_inset Formula $-1/2$
 634 \end_inset
 635
 636 .
 637  The half-unit disk delimited by the circle is the (realistic) lossy region,
 638  while everything outside it represents (unrealistic) system with gain.
 639 \end_layout
 640
 641 \begin_layout Subsection
 642 Open questions
 643 \end_layout
 644
 645 \begin_layout Subsubsection
 646 How much does the sph.
 647  harm.
 648  degree cutoff affect the eigenvalues of
 649 \begin_inset Formula $W$
 650 \end_inset
 651
 652 ?
 653 \end_layout
 654
 655 \begin_layout Standard
 656 When I simulated a cylindrical nanoparticle in scuff-tmatrix (
 657 \begin_inset Formula $l_{\mathrm{max}}=2$
 658 \end_inset
 659
 660 , 50 nm height, 50 nm radius, Palik Ag permittivity) and then with the same
 661  parameters, just with the imaginary part of permittivity set to zero (i.e.
 662  without losses), I got almost the same results, including very similar
 663  eigenvalues of
 664 \begin_inset Formula $W$
 665 \end_inset
 666
 667  (although it should then be basically zero).
 668  This is probably a problem of the BEM method, but it could also be consequence
 669  of the cutoff.
 670 \end_layout
 671
 672 \begin_layout Standard
 673 For comparison, when I tried exact Mie results for a sphere with
 674 \begin_inset Formula $\Im\epsilon=0$
 675 \end_inset
 676
 677 , I got also
 678 \begin_inset Formula $W=0$
 679 \end_inset
 680
 681  (as expected).
 682  But
 683 \begin_inset Formula $T$
 684 \end_inset
 685
 686 -matrix of a sphere is diagonal, hence the cutoff does not affect the eigenvalue
 687 s of resulting (also diagonal)
 688 \begin_inset Formula $W$
 689 \end_inset
 690
 691 -matrix (below the cutoff, of course).
 692 \end_layout
 693
 694 \begin_layout Section
 695 Multiple scattering
 696 \end_layout
 697
 698 \begin_layout Standard
 699 The purpose of this section is to clarify the formulae for absorption and
 700  extinction in a system of multiple scatterers.
 701  Let the scatterers be indexed by fraktur letters, so the power
 702 \begin_inset Quotes eld
 703 \end_inset
 704
 705 generated
 706 \begin_inset Quotes erd
 707 \end_inset
 708
 709  by nanoparticle
 710 \begin_inset Formula $\sci k$
 711 \end_inset
 712
 713  will be denoted as
 714 \begin_inset Formula $P^{\sci k}$
 715 \end_inset
 716
 717 .
 718  Quantities without such indices apply
 719 \begin_inset Note Note
 720 status open
 721
 722 \begin_layout Plain Layout
 723 se vztahují
 724 \end_layout
 725
 726 \end_inset
 727
 728  to the whole system, so
 729 \begin_inset Formula $P$
 730 \end_inset
 731
 732  will now denote the total power generated by the system.
 733  Now
 734 \begin_inset Formula $\ket{a_{0}^{\sci k}}$
 735 \end_inset
 736
 737  is the expansion of the external driving field in the location of nanoparticle
 738
 739 \begin_inset Formula $\sci k$
 740 \end_inset
 741
 742  and
 743 \begin_inset Formula $\ket{a^{\sci k}}$
 744 \end_inset
 745
 746  is the expansion of the external field together with the fields scattered
 747  from other nanoparticles,
 748 \begin_inset Formula
 749 \[
 750 \ket{a^{\sci k}}=\ket{a_{0}^{\sci k}}+\sum_{\sci l\ne\sci k}S_{\sci k\leftarrow\sci l}\ket{f^{\sci l}}.
 751 \]
 752
 753 \end_inset
 754
 755 Rewriting
 756 \begin_inset Formula $\ket{f^{\sci l}}=T^{\sci l}\ket{a^{\sci l}}$
 757 \end_inset
 758
 759 , this gives the scattering problem in terms of
 760 \begin_inset Formula $\ket{a^{\sci k}}$
 761 \end_inset
 762
 763 ,
 764 \begin_inset Formula
 765 \[
 766 \ket{a^{\sci k}}=\ket{a_{0}^{\sci k}}+\sum_{\sci l\ne\sci k}S_{\sci k\leftarrow\sci l}T^{\sci l}\ket{a^{\sci l}}
 767 \]
 768
 769 \end_inset
 770
 771 or, in the indexless notation for the whole system
 772 \begin_inset Formula
 773 \begin{eqnarray*}
 774 \ket a & = & \ket{a_{0}}+ST\ket a,\\
 775 \left(1-ST\right)\ket a & = & \ket{a_{0}}
 776 \end{eqnarray*}
 777
 778 \end_inset
 779
 780  Alternatively, multiplication by
 781 \begin_inset Formula $T$
 782 \end_inset
 783
 784  from the left gives the problem in terms of the outgoing wave coefficients,
 785 \begin_inset Formula
 786 \begin{eqnarray*}
 787 \ket f & = & T\ket{a_{0}}+TS\ket f,\\
 788 \left(1-TS\right)\ket f & = & T\ket{a_{0}}.
 789 \end{eqnarray*}
 790
 791 \end_inset
 792
 793
 794 \end_layout
 795
 796 \begin_layout Standard
 797
 798 \series bold
 799 TODO
 800 \end_layout
 801
 802 \end_body
 803 \end_document