examples/euler011.mlw

   1
   2 (** {1 Euler Project, problem11}
   3
   4 In the 20×20 grid below, four numbers along a diagonal line have been marked in red.
   5
   6 {h <Pre>
   7 08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
   8 49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
   9 81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
  10 52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
  11 22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
  12 24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
  13 32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
  14 67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
  15 24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
  16 21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
  17 78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
  18 16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
  19 86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
  20 19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
  21 04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
  22 88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
  23 04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
  24 20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
  25 20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
  26 01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48
  27 </Pre> }
  28
  29 The product of these numbers is 26 × 63 × 78 × 14 = 1788696.
  30
  31 What is the greatest product of four adjacent numbers in the same direction (up, down, left, right, or diagonally) in the 20×20 grid?
  32
  33 *)
  34
  35 module ProductFour
  36
  37 use int.Int
  38 use ref.Ref
  39 use matrix.Matrix
  40 use option.Option
  41
  42 (** Direction of the product checked *)
  43 type direction =
  44      | Left_bottom
  45      | Right_bottom
  46      | Bottom
  47      | Right
  48
  49
  50 (** Math functions about the result of a product. Incomplete product generate None *)
  51 function left_diag (m: matrix int) (i: int) (j: int) : option int =
  52          if (i < m.rows /\ j >= 0 /\ i >= 3 /\ j < m.columns - 3) then
  53             Some (((m.elts i j) * (m.elts (i - 1) (j + 1)) * (m.elts (i - 2) (j + 2)) * (m.elts (i-3) (j+3))))
  54          else
  55             None
  56
  57 function right_diag (m: matrix int) (i: int) (j: int) : option int =
  58          if (i < m.rows - 3 /\ i >= 0 /\ j < m.columns - 3 /\ j >= 0) then
  59             Some (((m.elts i j) * (m.elts (i + 1) (j + 1)) * (m.elts (i + 2) (j + 2)) * (m.elts (i+3) (j+3))))
  60          else
  61             None
  62
  63 function line (m: matrix int) (i: int) (j: int) : option int =
  64          if (0 <= j < m.columns /\ i >= 0 /\ i < m.rows - 3) then
  65             Some ((m.elts i j) * (m.elts (i+1) j) * (m.elts (i+2) j) * (m.elts (i+3) j))
  66          else
  67             None
  68
  69 function column (m: matrix int) (i: int) (j: int) : option int =
  70          if (0 <= i < m.rows /\ j >= 0 /\ j < m.columns - 3) then
  71             Some ((m.elts i j) * (m.elts i (j+1)) * (m.elts i (j+2)) * (m.elts i (j + 3)))
  72          else
  73             None
  74
  75 (** Computational functions for the product in each direction *)
  76 let right_diag_c m i j : option int =
  77     ensures {result = right_diag m i j}
  78     if (i < m.rows - 3 && i >= 0 && j < m.columns - 3 && j >= 0) then
  79        Some (((get m i j) * (get m (i + 1) (j + 1)) * (get m (i + 2) (j + 2)) * (get m (i+3) (j+3))))
  80     else
  81        None
  82
  83 let left_diag_c m i j : option int =
  84     ensures {result = left_diag m i j}
  85     if (i < m.rows && j >= 0 && i >= 3 && j < m.columns - 3) then
  86        Some (((get m i j) * (get m (i - 1) (j + 1)) * (get m (i - 2) (j + 2)) * (get m (i-3) (j+3))))
  87     else
  88        None
  89
  90
  91 let line_c m i j : option int =
  92     ensures {result = line m i j}
  93     if (0 <= j && j < m.columns &&  i >= 0 && i < m.rows - 3) then
  94        Some ((get m i j) * (get m (i+1) j) * (get m (i+2) j) * (get m (i+3) j))
  95     else
  96        None
  97
  98 let column_c m i j : option int =
  99     ensures {result = column m i j}
 100     if (0 <= i && i < m.rows && j >= 0 && j < m.columns - 3) then
 101        Some ((get m i j) * (get m i (j+1)) * (get m i (j+2)) * (get m i (j + 3)))
 102     else
 103        None
 104
 105 (* function compute4 (m: matrix int) (i: int) (j: int) (d: direction) : option int = *)
 106 (*     match d with *)
 107 (*     | Left_bottom -> left_diag m i j *)
 108 (*     | Right_bottom -> right_diag m i j *)
 109 (*     | Bottom -> column m i j *)
 110 (*     | Right -> line m i j *)
 111 (*     end *)
 112
 113 (* TODO Failed attempt at pattern matching above. Combination of mathematical product result functions *)
 114 function compute4 (m: matrix int) (i: int) (j: int) (d: direction) : option int =
 115         if (d = Left_bottom) then left_diag m i j
 116         else if (d = Right_bottom) then right_diag m i j
 117         else if (d = Bottom) then column m i j
 118         else if (d = Right) then line m i j
 119         else None
 120
 121 (** A product is_valid if each elements of the product is in the matrix *)
 122 (* predicate is_valid (m: matrix int) (i: int) (j: int) (d: direction) = *)
 123 (*   match d with *)
 124 (*   | Left_bottom -> i < m.rows /\ j >= 0 /\ i >= 3 /\ j < m.columns - 3 *)
 125 (*   | Right_bottom -> i >= 0 /\ j >= 0 /\ i < m.rows - 3 /\ j < m.columns - 3 *)
 126 (*   | Bottom -> 0 <= i /\ i < m.rows /\ j >= 0 /\ j < m.columns - 3 *)
 127 (*   | Right -> 0 <= j /\ j < m.columns /\ i >= 0 /\ i < m.rows - 3 *)
 128 (*   end *)
 129
 130 (** Return the maximum product of 4 for matrix m *)
 131 let find_max (m: matrix int) =
 132     requires {m.rows > 4 /\ m.columns > 4}
 133     ensures {forall i j d. match (compute4 m i j d) with
 134                              | None -> true
 135                              | Some v -> v <= result
 136                            end}
 137     ensures {exists i j d. Some result = compute4 m i j d}
 138
 139 (** Current max and element of the matrix for which it is attained *)
 140   let cur_max = ref (
 141       match (line_c m 0 0) with
 142       | None -> 0 (* TODO should not happen *)
 143       | Some v -> v
 144       end) in
 145   let cur_i = ref 0 in
 146   let cur_j = ref 0 in
 147   let cur_d = ref Right in
 148   for i = 0 to (m.rows - 1) do
 149 (* Cur_max is greater than each product already seen *)
 150     invariant { forall i' j' d. (0 <= i' < i /\ 0 <= j' < m.columns) ->
 151               match (compute4 m i' j' d) with
 152               | None -> true
 153               | Some v -> v <= !cur_max
 154               end}
 155 (* cur_max is actually the product at (cur_i, cur_j, cur_d) *)
 156     invariant {Some !cur_max = compute4 m !cur_i !cur_j !cur_d}
 157     for j = 0 to (m.columns - 1) do
 158 (* cur_max is actually the product at (cur_i, cur_j, cur_d) *)
 159     invariant {Some !cur_max = compute4 m !cur_i !cur_j !cur_d}
 160 (* Cur_max is greater than each product already seen *)
 161     invariant { forall i' j' d. ((i' = i /\ 0 <= j' /\ j' < j) \/ (0 <= i' < i /\ 0 <= j' < m.columns)) ->
 162               match (compute4 m i' j' d) with
 163               | None -> true
 164               | Some v -> v <= !cur_max
 165               end}
 166 (* Computation of the product for each direction *)
 167          match (left_diag_c m i j) with
 168          | None -> ()
 169          | Some v ->
 170            if (v > !cur_max) then
 171            begin
 172                 cur_max := v;
 173                 cur_i := i;
 174                 cur_j := j;
 175                 cur_d := Left_bottom;
 176            end
 177          end;
 178
 179          match (right_diag_c m i j) with
 180          | None -> ()
 181          | Some v ->
 182            if (v > !cur_max) then
 183            begin
 184                 cur_max := v;
 185                 cur_i := i;
 186                 cur_j := j;
 187                 cur_d := Right_bottom;
 188            end
 189          end;
 190
 191          match (line_c m i j) with
 192          | None -> ()
 193          | Some v ->
 194            if (v > !cur_max) then
 195            begin
 196                 cur_max := v;
 197                 cur_i := i;
 198                 cur_j := j;
 199                 cur_d := Right;
 200            end
 201          end;
 202
 203          match (column_c m i j) with
 204          | None -> ()
 205          | Some v ->
 206            if (v > !cur_max) then
 207            begin
 208                 cur_max := v;
 209                 cur_i := i;
 210                 cur_j := j;
 211                 cur_d := Bottom;
 212            end
 213          end;
 214     done;
 215   done;
 216
 217 (** Assert implying directly the postcondition *)
 218   assert { Some !cur_max = compute4 m !cur_i !cur_j !cur_d};
 219   !cur_max;;
 220
 221
 222 end