DOC/diff.ps

   1 %!PS-Adobe-3.0
   2 %%Creator: psdit
   3 %%For: bobcat.CS.Arizona.EDU:gene (Gene Myers)
   4 %%Title: stdin (ditroff)
   5 %%CreationDate: Mon Sep 22 11:11:50 1997
   6 %%DocumentNeededResources: (atend)
   7 %%DocumentSuppliedResources: DIThacks
   8 %%Pages: (atend)
   9 %%EndComments
  10 % Start of psdit.pro -- prolog for ditroff translator
  11 % Copyright (c) 1985,1987 Adobe Systems Incorporated. All Rights Reserved.
  12 % GOVERNMENT END USERS: See Notice file in TranScript library directory
  13 % -- probably /usr/lib/ps/Notice
  14 % RCS: $Header: /disks/hobo/vp6/snichols/rel3.0/transcript/lib/RCS/psdit.pro,v 3.0 1991/06/17 17:08:31 snichols Exp $
  15 % Psfig RCSID $Header: psdit.pro,v 1.5 88/01/04 17:48:22 trevor Exp $
  16
  17 /$DITroff 180 dict def $DITroff begin
  18
  19 /DocumentInitState [ matrix currentmatrix currentlinewidth currentlinecap
  20 currentlinejoin currentdash currentgray currentmiterlimit ] cvx def
  21
  22 %% Psfig additions
  23 /startFig {
  24         /SavedState save def
  25         userdict maxlength dict begin
  26         currentpoint transform
  27
  28         DocumentInitState setmiterlimit setgray setdash setlinejoin setlinecap
  29                 setlinewidth setmatrix
  30
  31         itransform moveto
  32
  33         /ury exch def
  34         /urx exch def
  35         /lly exch def
  36         /llx exch def
  37         /y exch 72 mul resolution div def
  38         /x exch 72 mul resolution div def
  39
  40         currentpoint /cy exch def /cx exch def
  41
  42         /sx x urx llx sub div def       % scaling for x
  43         /sy y ury lly sub div def       % scaling for y
  44
  45         sx sy scale                     % scale by (sx,sy)
  46
  47         cx sx div llx sub
  48         cy sy div ury sub translate
  49
  50         /DefFigCTM matrix currentmatrix def
  51
  52         /initmatrix {
  53                 DefFigCTM setmatrix
  54         } def
  55         /defaultmatrix {
  56                 DefFigCTM exch copy
  57         } def
  58
  59         /initgraphics {
  60                 DocumentInitState setmiterlimit setgray setdash
  61                         setlinejoin setlinecap setlinewidth setmatrix
  62                 DefFigCTM setmatrix
  63         } def
  64
  65         /showpage {
  66                 initgraphics
  67         } def
  68
  69 } def
  70 % Args are llx lly urx ury (in figure coordinates)
  71 /clipFig {
  72         currentpoint 6 2 roll
  73         newpath 4 copy
  74         4 2 roll moveto
  75         6 -1 roll exch lineto
  76         exch lineto
  77         exch lineto
  78         closepath clip
  79         newpath
  80         moveto
  81 } def
  82 % doclip, if called, will always be just after a `startfig'
  83 /doclip { llx lly urx ury clipFig } def
  84 /endFig {
  85         end SavedState restore
  86 } def
  87 /globalstart {
  88         % Push details about the enviornment on the stack.
  89         fontnum fontsize fontslant fontheight
  90         % firstpage
  91         mh my resolution slotno currentpoint
  92         pagesave restore gsave
  93 } def
  94 /globalend {
  95         grestore moveto
  96         /slotno exch def /resolution exch def /my exch def
  97         /mh exch def
  98         % /firstpage exch def
  99         /fontheight exch def
 100         /fontslant exch def /fontsize exch def /fontnum exch def
 101         F
 102         /pagesave save def
 103 } def
 104
 105 %% end XMOD additions
 106
 107 /fontnum 1 def /fontsize 10 def /fontheight 10 def /fontslant 0 def
 108 /xi {72 mul 0 exch translate 72 resolution div dup neg scale 0 0 moveto
 109   /fontnum 1 def /fontsize 10 def /fontheight 10 def /fontslant 0 def F
 110   /pagesave save def}def
 111 /PB{save /psv exch def currentpoint translate
 112   resolution 72 div dup neg scale 0 0 moveto}def
 113 /PE{psv restore}def
 114 /m1 matrix def /m2 matrix def /m3 matrix def /oldmat matrix def
 115 /tan{dup sin exch cos div}bind def
 116 /point{resolution 72 div mul}bind def
 117 /dround {transform round exch round exch itransform}bind def
 118 /xT{/devname exch def}def
 119 /xr{/mh exch def /my exch def /resolution exch def}def
 120 /xp{}def
 121 /xs{docsave restore end}def
 122 /xt{}def
 123 /xf{/fontname exch def /slotno exch def fontnames slotno get fontname eq not
 124  {fonts slotno fontname findfont put fontnames slotno fontname put}if}def
 125 /xH{/fontheight exch def F}bind def
 126 /xS{/fontslant exch def F}bind def
 127 /s{/fontsize exch def /fontheight fontsize def F}bind def
 128 /f{/fontnum exch def F}bind def
 129 /F{fontheight 0 le {/fontheight fontsize def}if
 130    fonts fontnum get fontsize point 0 0 fontheight point neg 0 0 m1 astore
 131    fontslant 0 ne{1 0 fontslant neg tan 1 0 0 m2 astore m3 concatmatrix}if
 132    makefont setfont .04 fontsize point mul 0 dround pop setlinewidth}bind def
 133 /X{exch currentpoint exch pop moveto show}bind def
 134 /N{3 1 roll moveto show}bind def
 135 /Y{exch currentpoint pop exch moveto show}bind def
 136 /S /show load def
 137 /ditpush{}def/ditpop{}def
 138 /AX{3 -1 roll currentpoint exch pop moveto 0 exch ashow}bind def
 139 /AN{4 2 roll moveto 0 exch ashow}bind def
 140 /AY{3 -1 roll currentpoint pop exch moveto 0 exch ashow}bind def
 141 /AS{0 exch ashow}bind def
 142 /MX{currentpoint exch pop moveto}bind def
 143 /MY{currentpoint pop exch moveto}bind def
 144 /MXY /moveto load def
 145 /cb{pop}def     % action on unknown char -- nothing for now
 146 /n{}def/w{}def
 147 /p{pop showpage pagesave restore /pagesave save def}def
 148 /abspoint{currentpoint exch pop add exch currentpoint pop add exch}def
 149 /dstroke{currentpoint stroke moveto}bind def
 150 /Dl{2 copy gsave rlineto stroke grestore rmoveto}bind def
 151 /arcellipse{oldmat currentmatrix pop
 152  currentpoint translate 1 diamv diamh div scale /rad diamh 2 div def
 153  rad 0 rad -180 180 arc oldmat setmatrix}def
 154 /Dc{gsave dup /diamv exch def /diamh exch def arcellipse dstroke
 155     grestore diamh 0 rmoveto}def
 156 /De{gsave /diamv exch def /diamh exch def arcellipse dstroke
 157     grestore diamh 0 rmoveto}def
 158 /Da{currentpoint /by exch def /bx exch def /fy exch def /fx exch def
 159    /cy exch def /cx exch def /rad cx cx mul cy cy mul add sqrt def
 160    /ang1 cy neg cx neg atan def /ang2 fy fx atan def cx bx add cy by add
 161    2 copy rad ang1 ang2 arcn stroke exch fx add exch fy add moveto}def
 162 /Barray 200 array def % 200 values in a wiggle
 163 /D~{mark}def
 164 /D~~{counttomark Barray exch 0 exch getinterval astore /Bcontrol exch def pop
 165  /Blen Bcontrol length def Blen 4 ge Blen 2 mod 0 eq and
 166  {Bcontrol 0 get Bcontrol 1 get abspoint /Ycont exch def /Xcont exch def
 167   Bcontrol 0 2 copy get 2 mul put Bcontrol 1 2 copy get 2 mul put
 168   Bcontrol Blen 2 sub 2 copy get 2 mul put
 169   Bcontrol Blen 1 sub 2 copy get 2 mul put
 170   /Ybi /Xbi currentpoint 3 1 roll def def 0 2 Blen 4 sub
 171   {/i exch def
 172    Bcontrol i get 3 div Bcontrol i 1 add get 3 div
 173    Bcontrol i get 3 mul Bcontrol i 2 add get add 6 div
 174    Bcontrol i 1 add get 3 mul Bcontrol i 3 add get add 6 div
 175    /Xbi Xcont Bcontrol i 2 add get 2 div add def
 176    /Ybi Ycont Bcontrol i 3 add get 2 div add def
 177    /Xcont Xcont Bcontrol i 2 add get add def
 178    /Ycont Ycont Bcontrol i 3 add get add def
 179    Xbi currentpoint pop sub Ybi currentpoint exch pop sub rcurveto
 180   }for dstroke}if}def
 181 end
 182 /ditstart{$DITroff begin
 183  /nfonts 60 def                 % NFONTS makedev/ditroff dependent!
 184  /fonts[nfonts{0}repeat]def
 185  /fontnames[nfonts{()}repeat]def
 186 /docsave save def
 187 }def
 188
 189 % character outcalls
 190 /oc {/pswid exch def /cc exch def /name exch def
 191    /ditwid pswid fontsize mul resolution mul 72000 div def
 192    /ditsiz fontsize resolution mul 72 div def
 193    ocprocs name known{ocprocs name get exec}{name cb}
 194    ifelse}def
 195 /fractm [.65 0 0 .6 0 0] def
 196 /fraction
 197  {/fden exch def /fnum exch def gsave /cf currentfont def
 198   cf fractm makefont setfont 0 .3 dm 2 copy neg rmoveto
 199   fnum show rmoveto currentfont cf setfont(\244)show setfont fden show
 200   grestore ditwid 0 rmoveto} def
 201 /oce {grestore ditwid 0 rmoveto}def
 202 /dm {ditsiz mul}def
 203 /ocprocs 50 dict def ocprocs begin
 204 (14){(1)(4)fraction}def
 205 (12){(1)(2)fraction}def
 206 (34){(3)(4)fraction}def
 207 (13){(1)(3)fraction}def
 208 (23){(2)(3)fraction}def
 209 (18){(1)(8)fraction}def
 210 (38){(3)(8)fraction}def
 211 (58){(5)(8)fraction}def
 212 (78){(7)(8)fraction}def
 213 (sr){gsave .05 dm .16 dm rmoveto(\326)show oce}def
 214 (is){gsave 0 .15 dm rmoveto(\362)show oce}def
 215 (->){gsave 0 .02 dm rmoveto(\256)show oce}def
 216 (<-){gsave 0 .02 dm rmoveto(\254)show oce}def
 217 (==){gsave 0 .05 dm rmoveto(\272)show oce}def
 218 end
 219 %%BeginResource: font DIThacks
 220 % DIThacks fonts for some special chars
 221 50 dict dup begin
 222 /FontType 3 def
 223 /FontName /DIThacks def
 224 /FontMatrix [.001 0.0 0.0 .001 0.0 0.0] def
 225 /FontBBox [-220 -280 900 900] def% a lie but ...
 226 /Encoding 256 array def
 227 0 1 255{Encoding exch /.notdef put}for
 228 Encoding
 229  dup 8#040/space put %space
 230  dup 8#110/rc put %right ceil
 231  dup 8#111/lt put %left  top curl
 232  dup 8#112/bv put %bold vert
 233  dup 8#113/lk put %left  mid curl
 234  dup 8#114/lb put %left  bot curl
 235  dup 8#115/rt put %right top curl
 236  dup 8#116/rk put %right mid curl
 237  dup 8#117/rb put %right bot curl
 238  dup 8#120/rf put %right floor
 239  dup 8#121/lf put %left  floor
 240  dup 8#122/lc put %left  ceil
 241  dup 8#140/sq put %square
 242  dup 8#141/bx put %box
 243  dup 8#142/ci put %circle
 244  dup 8#143/br put %box rule
 245  dup 8#144/rn put %root extender
 246  dup 8#145/vr put %vertical rule
 247  dup 8#146/ob put %outline bullet
 248  dup 8#147/bu put %bullet
 249  dup 8#150/ru put %rule
 250  dup 8#151/ul put %underline
 251  pop
 252 /DITfd 100 dict def
 253 /BuildChar{0 begin
 254  /cc exch def /fd exch def
 255  /charname fd /Encoding get cc get def
 256  /charwid fd /Metrics get charname get def
 257  /charproc fd /CharProcs get charname get def
 258  charwid 0 fd /FontBBox get aload pop setcachedevice
 259  40 setlinewidth
 260  newpath 0 0 moveto gsave charproc grestore
 261  end}def
 262 /BuildChar load 0 DITfd put
 263 %/UniqueID 5 def
 264 /CharProcs 50 dict def
 265 CharProcs begin
 266 /space{}def
 267 /.notdef{}def
 268 /ru{500 0 rls}def
 269 /rn{0 750 moveto 500 0 rls}def
 270 /vr{20 800 moveto 0 -770 rls}def
 271 /bv{20 800 moveto 0 -1000 rls}def
 272 /br{20 770 moveto 0 -1040 rls}def
 273 /ul{0 -250 moveto 500 0 rls}def
 274 /ob{200 250 rmoveto currentpoint newpath 200 0 360 arc closepath stroke}def
 275 /bu{200 250 rmoveto currentpoint newpath 200 0 360 arc closepath fill}def
 276 /sq{80 0 rmoveto currentpoint dround newpath moveto
 277     640 0 rlineto 0 640 rlineto -640 0 rlineto closepath stroke}def
 278 /bx{80 0 rmoveto currentpoint dround newpath moveto
 279     640 0 rlineto 0 640 rlineto -640 0 rlineto closepath fill}def
 280 /ci{355 333 rmoveto currentpoint newpath 333 0 360 arc
 281     50 setlinewidth stroke}def
 282
 283 /lt{20 -200 moveto 0 550 rlineto currx 800 2cx s4 add exch s4 a4p stroke}def
 284 /lb{20 800 moveto 0 -550 rlineto currx -200 2cx s4 add exch s4 a4p stroke}def
 285 /rt{20 -200 moveto 0 550 rlineto currx 800 2cx s4 sub exch s4 a4p stroke}def
 286 /rb{20 800 moveto 0 -500 rlineto currx -200 2cx s4 sub exch s4 a4p stroke}def
 287 /lk{20 800 moveto 20 300 -280 300 s4 arcto pop pop 1000 sub
 288     currentpoint stroke moveto
 289     20 300 4 2 roll s4 a4p 20 -200 lineto stroke}def
 290 /rk{20 800 moveto 20 300 320 300 s4 arcto pop pop 1000 sub
 291     currentpoint stroke moveto
 292     20 300 4 2 roll s4 a4p 20 -200 lineto stroke}def
 293 /lf{20 800 moveto 0 -1000 rlineto s4 0 rls}def
 294 /rf{20 800 moveto 0 -1000 rlineto s4 neg 0 rls}def
 295 /lc{20 -200 moveto 0 1000 rlineto s4 0 rls}def
 296 /rc{20 -200 moveto 0 1000 rlineto s4 neg 0 rls}def
 297 end
 298
 299 /Metrics 50 dict def Metrics begin
 300 /.notdef 0 def
 301 /space 500 def
 302 /ru 500 def
 303 /br 0 def
 304 /lt 250 def
 305 /lb 250 def
 306 /rt 250 def
 307 /rb 250 def
 308 /lk 250 def
 309 /rk 250 def
 310 /rc 250 def
 311 /lc 250 def
 312 /rf 250 def
 313 /lf 250 def
 314 /bv 250 def
 315 /ob 350 def
 316 /bu 350 def
 317 /ci 750 def
 318 /bx 750 def
 319 /sq 750 def
 320 /rn 500 def
 321 /ul 500 def
 322 /vr 0 def
 323 end
 324
 325 DITfd begin
 326 /s2 500 def /s4 250 def /s3 333 def
 327 /a4p{arcto pop pop pop pop}def
 328 /2cx{2 copy exch}def
 329 /rls{rlineto stroke}def
 330 /currx{currentpoint pop}def
 331 /dround{transform round exch round exch itransform} def
 332 end
 333 end
 334 /DIThacks exch definefont pop
 335 %%EndResource
 336 %%EndProlog
 337 %%BeginSetup
 338 ditstart
 339 (psc)xT
 340 576 1 1 xr
 341 %%IncludeResource: font Times-Roman
 342 1(Times-Roman)xf 1 f
 343 %%IncludeResource: font Times-Italic
 344 2(Times-Italic)xf 2 f
 345 %%IncludeResource: font Times-Bold
 346 3(Times-Bold)xf 3 f
 347 %%IncludeResource: font Times-BoldItalic
 348 4(Times-BoldItalic)xf 4 f
 349 %%IncludeResource: font Helvetica
 350 5(Helvetica)xf 5 f
 351 %%IncludeResource: font Helvetica-Bold
 352 6(Helvetica-Bold)xf 6 f
 353 %%IncludeResource: font Courier
 354 7(Courier)xf 7 f
 355 %%IncludeResource: font Courier-Bold
 356 8(Courier-Bold)xf 8 f
 357 %%IncludeResource: font Symbol
 358 9(Symbol)xf 9 f
 359 10(DIThacks)xf 10 f
 360 10 s
 361 1 f
 362 11.00 xi
 363 %%EndSetup
 364
 365 %%Page: 1 1
 366 10 s 10 xH 0 xS 1 f
 367 3 f
 368 14 s
 369 1197 1088(An)N
 370 1368(O\(ND\))X
 371 1721(Difference)X
 372 2249(Algorithm)X
 373 2776(and)X
 374 2984(Its)X
 375 3138(Variations)X
 376 9 f
 377 3643 1032(*)N
 378 1 f
 379 10 s
 380 2082 1472(EUGENE)N
 381 2423(W.)X
 382 2539(MYERS)X
 383 2 f
 384 1112 1728(Department)N
 385 1515(of)X
 386 1597(Computer)X
 387 1937(Science,)X
 388 2223(University)X
 389 2577(of)X
 390 2659(Arizona,)X
 391 2952(Tucson,)X
 392 3223(AZ)X
 393 3336(85721,)X
 394 3576(U.S.A.)X
 395 3 f
 396 2230 2112(ABSTRACT)N
 397 576 2460(The)N
 398 734(problems)X
 399 1079(of)X
 400 1171(\256nding)X
 401 1434(a)X
 402 1499(longest)X
 403 1764(common)X
 404 2083(subsequence)X
 405 2534(of)X
 406 2626(two)X
 407 2776(sequences)X
 408 3139(A)X
 409 3222(and)X
 410 3375(B)X
 411 3453(and)X
 412 3606(a)X
 413 3671(shortest)X
 414 3969(edit)X
 415 4124(script)X
 416 576 2588(for)N
 417 707(transforming)X
 418 1189(A)X
 419 1275(into)X
 420 1436(B)X
 421 1517(have)X
 422 1705(long)X
 423 1879(been)X
 424 2067(known)X
 425 2324(to)X
 426 2418(be)X
 427 2525(dual)X
 428 2702(problems.)X
 429 3089(In)X
 430 3191(this)X
 431 3342(paper,)X
 432 3589(they)X
 433 3763(are)X
 434 3902(shown)X
 435 4146(to)X
 436 4240(be)X
 437 576 2716(equivalent)N
 438 959(to)X
 439 1054(\256nding)X
 440 1320(a)X
 441 1388(shortest/longest)X
 442 1950(path)X
 443 2134(in)X
 444 2229(an)X
 445 2342(edit)X
 446 2500(graph.)X
 447 2773(Using)X
 448 2997(this)X
 449 3150(perspective,)X
 450 3587(a)X
 451 3656(simple)X
 452 3907(O\(ND\))X
 453 4168(time)X
 454 576 2844(and)N
 455 737(space)X
 456 957(algorithm)X
 457 1328(is)X
 458 1414(developed)X
 459 1789(where)X
 460 2032(N)X
 461 2123(is)X
 462 2209(the)X
 463 2349(sum)X
 464 2524(of)X
 465 2624(the)X
 466 2764(lengths)X
 467 3041(of)X
 468 3141(A)X
 469 3232(and)X
 470 3393(B)X
 471 3479(and)X
 472 3640(D)X
 473 3731(is)X
 474 3817(the)X
 475 3957(size)X
 476 4114(of)X
 477 4213(the)X
 478 576 2972(minimum)N
 479 937(edit)X
 480 1094(script)X
 481 1318(for)X
 482 1449(A)X
 483 1535(and)X
 484 1691(B.)X
 485 1812(The)X
 486 1973(algorithm)X
 487 2339(performs)X
 488 2684(well)X
 489 2850(when)X
 490 3060(differences)X
 491 3463(are)X
 492 3603(small)X
 493 3814(\(sequences)X
 494 4208(are)X
 495 576 3100(similar\))N
 496 890(and)X
 497 1065(is)X
 498 1165(consequently)X
 499 1656(fast)X
 500 1828(in)X
 501 1941(typical)X
 502 2219(applications.)X
 503 2718(The)X
 504 2897(algorithm)X
 505 3281(is)X
 506 3380(shown)X
 507 3643(to)X
 508 3756(have)X
 509 3962(O)X
 510 4030(\()X
 511 4063(N)X
 512 9 f
 513 4134(+)X
 514 3 f
 515 4191(D)X
 516 7 s
 517 4253 3068(2)N
 518 10 s
 519 4293 3100(\))N
 520 576 3228(expected-time)N
 521 1088(performance)X
 522 1564(under)X
 523 1803(a)X
 524 1878(basic)X
 525 2086(stochastic)X
 526 2455(model.)X
 527 2739(A)X
 528 2832(re\256nement)X
 529 3237(of)X
 530 3339(the)X
 531 3481(algorithm)X
 532 3854(requires)X
 533 4174(only)X
 534 576 3356(O\(N\))N
 535 770(space,)X
 536 997(and)X
 537 1145(the)X
 538 1272(use)X
 539 1403(of)X
 540 1490(suf\256x)X
 541 1696(trees)X
 542 1882(leads)X
 543 2075(to)X
 544 2162(an)X
 545 2266(O)X
 546 2334(\()X
 547 2367(NlgN)X
 548 9 f
 549 2558(+)X
 550 3 f
 551 2615(D)X
 552 7 s
 553 2677 3324(2)N
 554 10 s
 555 2717 3356(\))N
 556 2764(time)X
 557 2936(variation.)X
 558 8 s
 559 576 3612(KEY)N
 560 731(WORDS)X
 561 1088(longest)X
 562 1296(common)X
 563 1546(subsequence)X
 564 2003(shortest)X
 565 2235(edit)X
 566 2354(script)X
 567 2625(edit)X
 568 2744(graph)X
 569 3023(\256le)X
 570 3121(comparison)X
 571 10 s
 572 576 3868(1.)N
 573 656(Introduction)X
 574 1 f
 575 696 4024(The)N
 576 851(problem)X
 577 1148(of)X
 578 1245(determining)X
 579 1662(the)X
 580 1790(differences)X
 581 2178(between)X
 582 2476(two)X
 583 2626(sequences)X
 584 2982(of)X
 585 3079(symbols)X
 586 3375(has)X
 587 3512(been)X
 588 3694(studied)X
 589 3955(extensively)X
 590 576 4152([1,8,11,13,16,19,20].)N
 591 1302(Algorithms)X
 592 1697(for)X
 593 1822(the)X
 594 1951(problem)X
 595 2249(have)X
 596 2432(numerous)X
 597 2779(applications,)X
 598 3217(including)X
 599 3550(spelling)X
 600 3834(correction)X
 601 4191(sys-)X
 602 576 4280(tems,)N
 603 774(\256le)X
 604 903(comparison)X
 605 1304(tools,)X
 606 1506(and)X
 607 1649(the)X
 608 1774(study)X
 609 1974(of)X
 610 2068(genetic)X
 611 2328(evolution)X
 612 2658([4,5,17,18].)X
 613 3080(Formally,)X
 614 3421(the)X
 615 3547(problem)X
 616 3842(statement)X
 617 4177(is)X
 618 4258(to)X
 619 576 4408(\256nd)N
 620 725(a)X
 621 786(longest)X
 622 1042(common)X
 623 1347(subsequence)X
 624 1778(or,)X
 625 1890(equivalently,)X
 626 2331(to)X
 627 2418(\256nd)X
 628 2567(the)X
 629 2690(minimum)X
 630 3024(``script'')X
 631 3334(of)X
 632 3425(symbol)X
 633 3684(deletions)X
 634 3997(and)X
 635 4137(inser-)X
 636 576 4536(tions)N
 637 757(that)X
 638 903(transform)X
 639 1241(one)X
 640 1384(sequence)X
 641 1706(into)X
 642 1857(the)X
 643 1982(other.)X
 644 2214(One)X
 645 2375(of)X
 646 2469(the)X
 647 2594(earliest)X
 648 2853(algorithms)X
 649 3222(is)X
 650 3302(by)X
 651 3409(Wagner)X
 652 3691(&)X
 653 3780(Fischer)X
 654 4043([20])X
 655 4204(and)X
 656 576 4664(takes)N
 657 774(O)X
 658 838(\()X
 659 871(N)X
 660 7 s
 661 933 4632(2)N
 662 10 s
 663 973 4664(\))N
 664 1033(time)X
 665 1208(and)X
 666 1357(space)X
 667 1569(to)X
 668 1664(solve)X
 669 1866(a)X
 670 1935(generalization)X
 671 2423(they)X
 672 2594(call)X
 673 2743(the)X
 674 2874(string-to-string)X
 675 3387(correction)X
 676 3746(problem.)X
 677 4086(A)X
 678 4177(later)X
 679 576 4792(re\256nement)N
 680 939(by)X
 681 1039(Hirschberg)X
 682 1417([7])X
 683 1532(delivers)X
 684 1807(a)X
 685 1864(longest)X
 686 2116(common)X
 687 2417(subsequence)X
 688 2844(using)X
 689 3038(only)X
 690 3201(linear)X
 691 3405(space.)X
 692 3645(When)X
 693 3858(algorithms)X
 694 4221(are)X
 695 576 4920(over)N
 696 750(arbitrary)X
 697 1058(alphabets,)X
 698 1412(use)X
 699 1550(``equal\320unequal'')X
 700 2197(comparisons,)X
 701 2653(and)X
 702 2800(are)X
 703 2930 0.3125(characterized)AX
 704 3391(in)X
 705 3484(terms)X
 706 3693(of)X
 707 3791(the)X
 708 3920(size)X
 709 4076(of)X
 710 4173(their)X
 711 576 5048(input,)N
 712 788(it)X
 713 860(has)X
 714 995(been)X
 715 1175(shown)X
 716 1412(that)X
 717 9 f
 718 1560(W)X
 719 1 f
 720 1628(\()X
 721 1661(N)X
 722 7 s
 723 1723 5016(2)N
 724 10 s
 725 1763 5048(\))N
 726 1818(time)X
 727 1988(is)X
 728 2069(necessary)X
 729 2410([1].)X
 730 2572(A)X
 731 2659(``Four)X
 732 2893(Russians'')X
 733 3260(approach)X
 734 3584(leads)X
 735 3778(to)X
 736 3869(slightly)X
 737 4137(better)X
 738 576 5176(O)N
 739 640(\()X
 740 673(N)X
 741 7 s
 742 735 5144(2)N
 743 10 s
 744 775 5176(lglgN)N
 745 963(/)X
 746 991(lgN)X
 747 1117(\))X
 748 1191(and)X
 749 1354(O)X
 750 1418(\()X
 751 1451(N)X
 752 7 s
 753 1513 5144(2)N
 754 10 s
 755 1553 5176(/)N
 756 1581(lgN)X
 757 1707(\))X
 758 1781(time)X
 759 1969(algorithms)X
 760 2357(for)X
 761 2497(arbitrary)X
 762 2820(and)X
 763 2982(\256nite)X
 764 3192(alphabets)X
 765 3541(respectively)X
 766 3975([13].)X
 767 4195(The)X
 768 576 5304(existence)N
 769 903(of)X
 770 998(faster)X
 771 1205(algorithms)X
 772 1575(using)X
 773 1776(other)X
 774 1969(comparison)X
 775 2371(formats)X
 776 2644(is)X
 777 2726(still)X
 778 2874(open.)X
 779 3099(Indeed,)X
 780 3367(for)X
 781 3490(algorithms)X
 782 3861(that)X
 783 4010(use)X
 784 4146(``less)X
 785 576 5432(than\320equal\320greater)N
 786 1292(than'')X
 787 1504(comparisons,)X
 788 9 f
 789 1949(W)X
 790 1 f
 791 2011(\(NlgN\))X
 792 2263(time)X
 793 2425(is)X
 794 2498(the)X
 795 2616(best)X
 796 2765(lower)X
 797 2968(bound)X
 798 3188(known)X
 799 3426([9].)X
 800 8 s
 801 10 f
 802 576 5512(hhhhhhhhhhhhhhhhhh)N
 803 9 f
 804 576 5600(*)N
 805 1 f
 806 624(This)X
 807 754(work)X
 808 901(was)X
 809 1016(supported)X
 810 1284(in)X
 811 1350(part)X
 812 1465(by)X
 813 1545(the)X
 814 1639(National)X
 815 1875(Science)X
 816 2089(Foundation)X
 817 2397(under)X
 818 2558(Grant)X
 819 2719(MCS82-10096.)X
 820 10 s
 821 2381 6176(-)N
 822 2428(1)X
 823 2488(-)X
 824
 825 2 p
 826 %%Page: 2 2
 827 10 s 10 xH 0 xS 1 f
 828 696 704(Recent)N
 829 940(work)X
 830 1126(improves)X
 831 1445(upon)X
 832 1626(the)X
 833 1746(basic)X
 834 1933(O)X
 835 1997(\()X
 836 2030(N)X
 837 7 s
 838 2092 672(2)N
 839 10 s
 840 2132 704(\))N
 841 2181(time)X
 842 2345(arbitrary)X
 843 2644(alphabet)X
 844 2938(algorithm)X
 845 3271(by)X
 846 3373(being)X
 847 3573(sensitive)X
 848 3875(to)X
 849 3959(other)X
 850 4146(prob-)X
 851 576 832(lem)N
 852 723(size)X
 853 875(parameters.)X
 854 1295(Let)X
 855 1429(the)X
 856 1554(output)X
 857 1785(parameter)X
 858 2133(L)X
 859 2208(be)X
 860 2310(the)X
 861 2434(length)X
 862 2660(of)X
 863 2753(a)X
 864 2815(longest)X
 865 3072(common)X
 866 3378(subsequence)X
 867 3810(and)X
 868 3952(let)X
 869 4058(the)X
 870 4182(dual)X
 871 576 960(parameter)N
 872 920(D)X
 873 9 f
 874 1010(=)X
 875 1 f
 876 1086(2)X
 877 1132(\()X
 878 1165(N)X
 879 9 f
 880 1236(-)X
 881 1 f
 882 1293(L)X
 883 1348(\))X
 884 1397(be)X
 885 1495(the)X
 886 1615(length)X
 887 1837(of)X
 888 1926(a)X
 889 1984(shortest)X
 890 2255(edit)X
 891 2397(script.)X
 892 2637(\(It)X
 893 2735(is)X
 894 2810(assumed)X
 895 3109(throughout)X
 896 3483(this)X
 897 3621(introduction)X
 898 4035(that)X
 899 4178(both)X
 900 576 1088(strings)N
 901 832(have)X
 902 1027(the)X
 903 1168(same)X
 904 1376(length)X
 905 1619(N.\))X
 906 1787(The)X
 907 1955(two)X
 908 2118(best)X
 909 2290(output-sensitive)X
 910 2844(algorithms)X
 911 3229(are)X
 912 3371(by)X
 913 3493(Hirschberg)X
 914 3892([8])X
 915 4028(and)X
 916 4186(take)X
 917 576 1216(O)N
 918 640(\()X
 919 673(NL)X
 920 9 f
 921 793(+)X
 922 1 f
 923 850(NlgN)X
 924 1034(\))X
 925 1089(and)X
 926 1233(O)X
 927 1297(\()X
 928 1330(DLlgN)X
 929 1563(\))X
 930 1618(time.)X
 931 1828(An)X
 932 1954(algorithm)X
 933 2293(by)X
 934 2401(Hunt)X
 935 2589(&)X
 936 2679(Szymanski)X
 937 3058([11])X
 938 3220(takes)X
 939 3413(O)X
 940 3477(\()X
 941 3510(\()X
 942 3543(R)X
 943 9 f
 944 3609(+)X
 945 1 f
 946 3666(N)X
 947 3730(\))X
 948 3770(lgN)X
 949 3896(\))X
 950 3952(time)X
 951 4123(where)X
 952 576 1344(the)N
 953 697(parameter)X
 954 1042(R)X
 955 1118(is)X
 956 1194(the)X
 957 1315(total)X
 958 1480(number)X
 959 1747(of)X
 960 1836(ordered)X
 961 2104(pairs)X
 962 2282(of)X
 963 2371(positions)X
 964 2681(at)X
 965 2761(which)X
 966 2979(the)X
 967 3099(two)X
 968 3241(input)X
 969 3427(strings)X
 970 3662(match.)X
 971 3920(Note)X
 972 4098(that)X
 973 4240(all)X
 974 576 1472(these)N
 975 761(algorithms)X
 976 1123(are)X
 977 9 f
 978 1242(W)X
 979 1 f
 980 1310(\()X
 981 1343(N)X
 982 7 s
 983 1405 1440(2)N
 984 10 s
 985 1445 1472(\))N
 986 1492(or)X
 987 1579(worse)X
 988 1791(in)X
 989 1873(terms)X
 990 2071(of)X
 991 2158(N)X
 992 2236(alone.)X
 993 696 1743(In)N
 994 791(practical)X
 995 1096(situations,)X
 996 1450(it)X
 997 1522(is)X
 998 1603(usually)X
 999 1862(the)X
1000 1988(parameter)X
1001 2338(D)X
1002 2424(that)X
1003 2572(is)X
1004 2653(small.)X
1005 2895(Programmers)X
1006 3356(wish)X
1007 3536(to)X
1008 3627(know)X
1009 3834(how)X
1010 4001(they)X
1011 4168(have)X
1012 576 1871(altered)N
1013 819(a)X
1014 879(text)X
1015 1023(\256le.)X
1016 1189(Biologists)X
1017 1535(wish)X
1018 1709(to)X
1019 1794(know)X
1020 1995(how)X
1021 2156(one)X
1022 2295(DNA)X
1023 2492(strand)X
1024 2711(has)X
1025 2841(mutated)X
1026 3122(into)X
1027 3269(another.)X
1028 3573(For)X
1029 3707(these)X
1030 3895(situations,)X
1031 4244(an)X
1032 576 1999(O)N
1033 640(\()X
1034 673(ND)X
1035 795(\))X
1036 842(time)X
1037 1004(algorithm)X
1038 1335(is)X
1039 1408(superior)X
1040 1691(to)X
1041 1773(Hirschberg's)X
1042 2208(algorithms)X
1043 2570(because)X
1044 2845(L)X
1045 2915(is)X
1046 2989(O)X
1047 3053(\()X
1048 3086(N)X
1049 3150(\))X
1050 3198(when)X
1051 3393(D)X
1052 3472(is)X
1053 3546(small.)X
1054 3780(Furthermore,)X
1055 4222(the)X
1056 576 2127(approach)N
1057 895(of)X
1058 986(Hunt)X
1059 1170(and)X
1060 1310(Szymanski)X
1061 1685([11])X
1062 1843(is)X
1063 1920(predicated)X
1064 2279(on)X
1065 2383(the)X
1066 2505(hypothesis)X
1067 2871(that)X
1068 3015(R)X
1069 3092(is)X
1070 3169(small)X
1071 3366(in)X
1072 3452(practice.)X
1073 3770(While)X
1074 3989(this)X
1075 4127(is)X
1076 4203(fre-)X
1077 576 2255(quently)N
1078 838(true,)X
1079 1005(it)X
1080 1071(must)X
1081 1248(be)X
1082 1346(noted)X
1083 1546(that)X
1084 1689(R)X
1085 1765(has)X
1086 1895(no)X
1087 1998(correlation)X
1088 2369(with)X
1089 2534(either)X
1090 2740(the)X
1091 2861(size)X
1092 3009(of)X
1093 3099(the)X
1094 3220(input)X
1095 3407(or)X
1096 3497(the)X
1097 3618(size)X
1098 3766(of)X
1099 3856(the)X
1100 3977(output)X
1101 4204(and)X
1102 576 2383(can)N
1103 720(be)X
1104 828(O)X
1105 892(\()X
1106 925(N)X
1107 7 s
1108 987 2351(2)N
1109 10 s
1110 1027 2383(\))N
1111 1085(in)X
1112 1178(many)X
1113 1387(situations.)X
1114 1764(For)X
1115 1906(example,)X
1116 2229(if)X
1117 2309(10%)X
1118 2487(of)X
1119 2585(all)X
1120 2696(lines)X
1121 2878(in)X
1122 2971(a)X
1123 3038(\256le)X
1124 3171(are)X
1125 3301(blank)X
1126 3510(and)X
1127 3657(the)X
1128 3786(\256le)X
1129 3919(is)X
1130 4003(compared)X
1131 576 2511(against)N
1132 832(itself,)X
1133 1041(R)X
1134 1123(is)X
1135 1205(greater)X
1136 1458(than)X
1137 1625(.)X
1138 1651(01)X
1139 1737(N)X
1140 7 s
1141 1799 2479(2)N
1142 10 s
1143 1833 2511(.)N
1144 1902(For)X
1145 2042(DNA)X
1146 2245(molecules,)X
1147 2619(the)X
1148 2747(alphabet)X
1149 3049(size)X
1150 3204(is)X
1151 3287(four)X
1152 3451(implying)X
1153 3769(that)X
1154 3919(R)X
1155 4002(is)X
1156 4085(at)X
1157 4173(least)X
1158 576 2639(.)N
1159 602(25)X
1160 688(N)X
1161 7 s
1162 750 2607(2)N
1163 10 s
1164 804 2639(when)N
1165 998(an)X
1166 1094(arbitrary)X
1167 1391(molecule)X
1168 1705(is)X
1169 1778(compared)X
1170 2115(against)X
1171 2362(itself)X
1172 2542(or)X
1173 2629(a)X
1174 2685(very)X
1175 2848(similar)X
1176 3090(molecule.)X
1177 696 2910(In)N
1178 794(this)X
1179 940(paper)X
1180 1150(an)X
1181 1257(O\(ND\))X
1182 1516(time)X
1183 1689(algorithm)X
1184 2031(is)X
1185 2115(presented.)X
1186 2494(Our)X
1187 2650(algorithm)X
1188 2992(is)X
1189 3076(simple)X
1190 3320(and)X
1191 3467(based)X
1192 3682(on)X
1193 3794(an)X
1194 3902(intuitive)X
1195 4200(edit)X
1196 576 3038(graph)N
1197 781(formalism.)X
1198 1172(Unlike)X
1199 1412(others)X
1200 1630(it)X
1201 1696(employs)X
1202 1989(the)X
1203 2109(``greedy'')X
1204 2458(design)X
1205 2689(paradigm)X
1206 3014(and)X
1207 3151(exposes)X
1208 3426(the)X
1209 3545(relationship)X
1210 3944(of)X
1211 4032(the)X
1212 4151(long-)X
1213 576 3166(est)N
1214 690(common)X
1215 995(subsequence)X
1216 1426(problem)X
1217 1718(to)X
1218 1805(the)X
1219 1929(single-source)X
1220 2383(shortest)X
1221 2658(path)X
1222 2822(problem.)X
1223 3155(Another)X
1224 3444(O\(ND\))X
1225 3698(algorithm)X
1226 4035(has)X
1227 4168(been)X
1228 576 3294(presented)N
1229 909(elsewhere)X
1230 1256([16].)X
1231 1455(However,)X
1232 1795(it)X
1233 1864(uses)X
1234 2027(a)X
1235 2088(different)X
1236 2390(design)X
1237 2624(paradigm)X
1238 2952(and)X
1239 3093(does)X
1240 3265(not)X
1241 3392(share)X
1242 3587(the)X
1243 3710(following)X
1244 4045(features.)X
1245 576 3422(The)N
1246 742(algorithm)X
1247 1094(can)X
1248 1247(be)X
1249 1364(re\256ned)X
1250 1628(to)X
1251 1731(use)X
1252 1879(only)X
1253 2062(linear)X
1254 2286(space,)X
1255 2526(and)X
1256 2683(its)X
1257 2799 0.2917(expected-case)AX
1258 3292(time)X
1259 3475(behavior)X
1260 3797(is)X
1261 3891(shown)X
1262 4141(to)X
1263 4244(be)X
1264 576 3550(O)N
1265 640(\()X
1266 673(N)X
1267 9 f
1268 744(+)X
1269 1 f
1270 801(D)X
1271 7 s
1272 863 3518(2)N
1273 10 s
1274 903 3550(\).)N
1275 991(Moreover,)X
1276 1348(the)X
1277 1466(method)X
1278 1726(admits)X
1279 1959(an)X
1280 2055(O)X
1281 2119(\()X
1282 2152(NlgN)X
1283 9 f
1284 2343(+)X
1285 1 f
1286 2400(D)X
1287 7 s
1288 2462 3518(2)N
1289 10 s
1290 2502 3550(\))N
1291 2549(time)X
1292 2711(worst-case)X
1293 3075(variation.)X
1294 3420(This)X
1295 3582(is)X
1296 3655(asymptotically)X
1297 4146(supe-)X
1298 576 3678(rior)N
1299 712(to)X
1300 794(previous)X
1301 1090(algorithms)X
1302 1452([8,16,20])X
1303 1766(when)X
1304 1960(D)X
1305 2038(is)X
1306 2111(o\(N\).)X
1307 696 3949(With)N
1308 879(the)X
1309 1000(exception)X
1310 1335(of)X
1311 1425(the)X
1312 1546(O)X
1313 1610(\()X
1314 1643(NlgN)X
1315 9 f
1316 1834(+)X
1317 1 f
1318 1891(D)X
1319 7 s
1320 1953 3917(2)N
1321 10 s
1322 1993 3949(\))N
1323 2043(worst-case)X
1324 2410(variation,)X
1325 2739(the)X
1326 2861(algorithms)X
1327 3227(presented)X
1328 3559(in)X
1329 3645(this)X
1330 3784(paper)X
1331 3987(are)X
1332 4110(practi-)X
1333 576 4077(cal.)N
1334 733(The)X
1335 881(basic)X
1336 1068(O\(ND\))X
1337 1318(algorithm)X
1338 1651(served)X
1339 1883(as)X
1340 1972(the)X
1341 2092(basis)X
1342 2274(for)X
1343 2390(a)X
1344 2448(new)X
1345 2604(implementation)X
1346 3128(of)X
1347 3217(the)X
1348 3337(UNIX)X
1349 2 f
1350 3560(diff)X
1351 1 f
1352 3688(program)X
1353 3982([15].)X
1354 4178(This)X
1355 576 4205(version)N
1356 838(usually)X
1357 1095(runs)X
1358 1259(two)X
1359 1405(to)X
1360 1493(four)X
1361 1653(times)X
1362 1852(faster)X
1363 2057(than)X
1364 2221(the)X
1365 2345(System)X
1366 2606(5)X
1367 2672(implementation)X
1368 3200(based)X
1369 3409(on)X
1370 3515(the)X
1371 3639(Hunt)X
1372 3826(and)X
1373 3969(Szymanski)X
1374 576 4333(algorithm)N
1375 914([10].)X
1376 1115(However,)X
1377 1457(there)X
1378 1645(are)X
1379 1771(cases)X
1380 1968(when)X
1381 2169(D)X
1382 2254(is)X
1383 2334(large)X
1384 2522(where)X
1385 2746(their)X
1386 2920(algorithm)X
1387 3258(is)X
1388 3338(superior)X
1389 3627(\(e.g.)X
1390 3796(for)X
1391 3916(\256les)X
1392 4075(that)X
1393 4221(are)X
1394 576 4461(completely)N
1395 962(different,)X
1396 1289(R=0)X
1397 1457(and)X
1398 1603(D=2N\).)X
1399 1902(The)X
1400 2058(linear)X
1401 2272(space)X
1402 2482(re\256nment)X
1403 2820(is)X
1404 2904(roughly)X
1405 3184(twice)X
1406 3389(as)X
1407 3487(slow)X
1408 3669(as)X
1409 3767(the)X
1410 3896(basic)X
1411 4092(O\(ND\))X
1412 576 4589(algorithm)N
1413 914(but)X
1414 1043(still)X
1415 1189(competitive)X
1416 1594(because)X
1417 1876(it)X
1418 1947(can)X
1419 2086(perform)X
1420 2372(extremely)X
1421 2720(large)X
1422 2907(compares)X
1423 3241(that)X
1424 3387(are)X
1425 3512(out)X
1426 3640(of)X
1427 3733(the)X
1428 3857(range)X
1429 4062(of)X
1430 4155(other)X
1431 576 4717(algorithms.)N
1432 983(For)X
1433 1119(instance,)X
1434 1427(two)X
1435 1572(1.5)X
1436 1697(million)X
1437 1952(byte)X
1438 2115(sequences)X
1439 2466(were)X
1440 2648(compared)X
1441 2990(in)X
1442 3077(less)X
1443 3222(than)X
1444 3385(two)X
1445 3530(minutes)X
1446 3808(\(on)X
1447 3940(a)X
1448 4001(VAX)X
1449 4200(785)X
1450 576 4845(running)N
1451 845(4.2BSD)X
1452 1120(UNIX\))X
1453 1368(even)X
1454 1540(though)X
1455 1782(the)X
1456 1900(difference)X
1457 2247(was)X
1458 2392(greater)X
1459 2636(than)X
1460 2794(500.)X
1461 3 f
1462 576 5101(2.)N
1463 656(Edit)X
1464 822(Graphs)X
1465 1 f
1466 696 5257(Let)N
1467 824(A)X
1468 903(=)X
1469 969(a)X
1470 7 s
1471 1014 5273(1)N
1472 10 s
1473 1054 5257(a)N
1474 7 s
1475 1099 5273(2)N
1476 10 s
1477 1159 5237(.)N
1478 1199(.)X
1479 1239(.)X
1480 1285 5257(a)N
1481 7 s
1482 1330 5273(N)N
1483 10 s
1484 1397 5257(and)N
1485 1534(B)X
1486 1608(=)X
1487 1675(b)X
1488 7 s
1489 1724 5273(1)N
1490 10 s
1491 1764 5257(b)N
1492 7 s
1493 1813 5273(2)N
1494 10 s
1495 1873 5237(.)N
1496 1913(.)X
1497 1953(.)X
1498 1999 5257(b)N
1499 7 s
1500 2048 5273(M)N
1501 10 s
1502 2126 5257(be)N
1503 2224(sequences)X
1504 2572(of)X
1505 2661(length)X
1506 2883(N)X
1507 2963(and)X
1508 3101(M)X
1509 3194(respectively.)X
1510 3644(The)X
1511 2 f
1512 3791(edit)X
1513 3933(graph)X
1514 1 f
1515 4146(for)X
1516 4262(A)X
1517 576 5385(and)N
1518 720(B)X
1519 801(has)X
1520 936(a)X
1521 1000(vertex)X
1522 1229(at)X
1523 1315(each)X
1524 1491(point)X
1525 1683(in)X
1526 1773(the)X
1527 1899(grid)X
1528 2056(\(x,y\),)X
1529 2258(x)X
1530 9 f
1531 (\316)S
1532 1 f
1533 2355([0,N])X
1534 2554(and)X
1535 2697(y)X
1536 9 f
1537 (\316)S
1538 1 f
1539 2794([0,M].)X
1540 3046(The)X
1541 3198(vertices)X
1542 3475(of)X
1543 3569(the)X
1544 3694(edit)X
1545 3841(graph)X
1546 4051(are)X
1547 4177(con-)X
1548 576 5513(nected)N
1549 809(by)X
1550 912(horizontal,)X
1551 1280(vertical,)X
1552 1564(and)X
1553 1703(diagonal)X
1554 2002(directed)X
1555 2285(edges)X
1556 2492(to)X
1557 2578(form)X
1558 2758(a)X
1559 2818(directed)X
1560 3101(acyclic)X
1561 3353(graph.)X
1562 2 f
1563 3600(Horizontal)X
1564 3970(edges)X
1565 1 f
1566 4177(con-)X
1567 576 5641(nect)N
1568 739(each)X
1569 916(vertex)X
1570 1146(to)X
1571 1237(its)X
1572 1341(right)X
1573 1521(neighbor,)X
1574 1855(i.e.)X
1575 1982(\(x)X
1576 9 f
1577 2049(-)X
1578 1 f
1579 2093(1,y\))X
1580 9 f
1581 2220 MX
1582 (->)174 1768 oc
1583 1 f
1584 2299(\(x,y\))X
1585 2482(for)X
1586 2605(x)X
1587 9 f
1588 (\316)S
1589 1 f
1590 2702([1,N])X
1591 2903(and)X
1592 3047(y)X
1593 9 f
1594 (\316)S
1595 1 f
1596 3144([0,M].)X
1597 2 f
1598 3397(Vertical)X
1599 3683(edges)X
1600 1 f
1601 3894(connect)X
1602 4172(each)X
1603 576 5769(vertex)N
1604 803(to)X
1605 891(the)X
1606 1015(neighbor)X
1607 1326(below)X
1608 1548(it,)X
1609 1639(i.e.)X
1610 1764(\(x,y)X
1611 9 f
1612 1891(-)X
1613 1 f
1614 1935(1\))X
1615 9 f
1616 2002 MX
1617 (->)174 1768 oc
1618 1 f
1619 2081(\(x,y\))X
1620 2262(for)X
1621 2383(x)X
1622 9 f
1623 (\316)S
1624 1 f
1625 2480([0,N])X
1626 2679(and)X
1627 2822(y)X
1628 9 f
1629 (\316)S
1630 1 f
1631 2919([1,M].)X
1632 3171(If)X
1633 3252(a)X
1634 7 s
1635 3297 5785(x)N
1636 10 s
1637 3358 5769(=)N
1638 3430(b)X
1639 7 s
1640 3479 5785(y)N
1641 10 s
1642 3540 5769(then)N
1643 3705(there)X
1644 3893(is)X
1645 3973(a)X
1646 2 f
1647 4036(diagonal)X
1648 1 f
1649 2381 6176(-)N
1650 2428(2)X
1651 2488(-)X
1652
1653 3 p
1654 %%Page: 3 3
1655 10 s 10 xH 0 xS 1 f
1656 2 f
1657 576 704(edge)N
1658 1 f
1659 752(connecting)X
1660 1128(vertex)X
1661 1353(\(x)X
1662 9 f
1663 1420(-)X
1664 1 f
1665 1464(1,y)X
1666 9 f
1667 (-)S
1668 1 f
1669 1608(1\))X
1670 1699(to)X
1671 1785(vertex)X
1672 2009(\(x,y\).)X
1673 2226(The)X
1674 2374(points)X
1675 2592(\(x,y\))X
1676 2769(for)X
1677 2886(which)X
1678 3105(a)X
1679 7 s
1680 3150 720(x)N
1681 10 s
1682 3207 704(=)N
1683 3275(b)X
1684 7 s
1685 3324 720(y)N
1686 10 s
1687 3381 704(are)N
1688 3503(called)X
1689 2 f
1690 3718(match)X
1691 3937(points)X
1692 1 f
1693 4132(.)X
1694 4195(The)X
1695 576 832(total)N
1696 742(number)X
1697 1011(of)X
1698 1102(match)X
1699 1322(points)X
1700 1541(between)X
1701 1833(A)X
1702 1915(and)X
1703 2055(B)X
1704 2132(is)X
1705 2209(the)X
1706 2332(parameter)X
1707 2679(R)X
1708 2757(characterizing)X
1709 3238(the)X
1710 3361(Hunt)X
1711 3546(&)X
1712 3633(Szymanski)X
1713 4009(algorithm)X
1714 576 960([11].)N
1715 775(It)X
1716 849(is)X
1717 927(also)X
1718 1081(the)X
1719 1204(number)X
1720 1474(of)X
1721 1566(diagonal)X
1722 1867(edges)X
1723 2075(in)X
1724 2162(the)X
1725 2285(edit)X
1726 2429(graph)X
1727 2636(as)X
1728 2727(diagonal)X
1729 3027(edges)X
1730 3234(are)X
1731 3357(in)X
1732 3443(one-to-one)X
1733 3815 0.2404(correspondence)AX
1734 576 1088(with)N
1735 738(match)X
1736 954(points.)X
1737 1209(Figure)X
1738 1438(1)X
1739 1498(depicts)X
1740 1745(the)X
1741 1863(edit)X
1742 2003(graph)X
1743 2206(for)X
1744 2320(the)X
1745 2438(sequences)X
1746 2784(A)X
1747 2862(=)X
1748 2 f
1749 2927(abcabba)X
1750 1 f
1751 3223(and)X
1752 3359(B)X
1753 3432(=)X
1754 2 f
1755 3497(cbabac)X
1756 1 f
1757 3729(.)X
1758 1228 1280 MXY
1759 2440
1760 2408
1761 153.00
1762 245.00
1763 458.00
1764 546.00
1765 startFig
1766 %!PS-Adobe-2.0
1767 %%%Title: egraph.fig
1768 %%%Creator: fig2dev Version 3.1 Patchlevel 1
1769 %%%CreationDate: Sun Sep 21 15:21:42 1997
1770 %%%For: gene@bobcat.CS.Arizona.EDU (Gene Myers)
1771 %%%Orientation: Portrait
1772 %%%BoundingBox: 153 245 458 546
1773 %%%Pages: 1
1774 %%%BeginSetup
1775 %%%IncludeFeature: *PageSize Letter
1776 %%%EndSetup
1777 %%%EndComments
1778 /$F2psDict 200 dict def
1779 $F2psDict begin
1780 $F2psDict /mtrx matrix put
1781 /col-1 {} def
1782 /col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def
1783 /col1 {0.000 0.000 1.000 srgb} bind def
1784 /col2 {0.000 1.000 0.000 srgb} bind def
1785 /col3 {0.000 1.000 1.000 srgb} bind def
1786 /col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def
1787 /col5 {1.000 0.000 1.000 srgb} bind def
1788 /col6 {1.000 1.000 0.000 srgb} bind def
1789 /col7 {1.000 1.000 1.000 srgb} bind def
1790 /col8 {0.000 0.000 0.560 srgb} bind def
1791 /col9 {0.000 0.000 0.690 srgb} bind def
1792 /col10 {0.000 0.000 0.820 srgb} bind def
1793 /col11 {0.530 0.810 1.000 srgb} bind def
1794 /col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def
1795 /col13 {0.000 0.690 0.000 srgb} bind def
1796 /col14 {0.000 0.820 0.000 srgb} bind def
1797 /col15 {0.000 0.560 0.560 srgb} bind def
1798 /col16 {0.000 0.690 0.690 srgb} bind def
1799 /col17 {0.000 0.820 0.820 srgb} bind def
1800 /col18 {0.560 0.000 0.000 srgb} bind def
1801 /col19 {0.690 0.000 0.000 srgb} bind def
1802 /col20 {0.820 0.000 0.000 srgb} bind def
1803 /col21 {0.560 0.000 0.560 srgb} bind def
1804 /col22 {0.690 0.000 0.690 srgb} bind def
1805 /col23 {0.820 0.000 0.820 srgb} bind def
1806 /col24 {0.500 0.190 0.000 srgb} bind def
1807 /col25 {0.630 0.250 0.000 srgb} bind def
1808 /col26 {0.750 0.380 0.000 srgb} bind def
1809 /col27 {1.000 0.500 0.500 srgb} bind def
1810 /col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def
1811 /col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
1812 /col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
1813 /col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
1814
1815 end
1816 save
1817 129.5 551.5 translate
1818 1 -1 scale
1819
1820 /clp {closepath} bind def
1821 /ef {eofill} bind def
1822 /gr {grestore} bind def
1823 /gs {gsave} bind def
1824 /l {lineto} bind def
1825 /m {moveto} bind def
1826 /n {newpath} bind def
1827 /s {stroke} bind def
1828 /slc {setlinecap} bind def
1829 /slj {setlinejoin} bind def
1830 /slw {setlinewidth} bind def
1831 /srgb {setrgbcolor} bind def
1832 /rot {rotate} bind def
1833 /sc {scale} bind def
1834 /tr {translate} bind def
1835 /tnt {dup dup currentrgbcolor
1836   4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
1837   4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
1838   4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
1839   bind def
1840 /shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
1841   4 -2 roll mul srgb} bind def
1842  /DrawEllipse {
1843         /endangle exch def
1844         /startangle exch def
1845         /yrad exch def
1846         /xrad exch def
1847         /y exch def
1848         /x exch def
1849         /savematrix mtrx currentmatrix def
1850         x y tr xrad yrad sc 0 0 1 startangle endangle arc
1851         closepath
1852         savematrix setmatrix
1853         } def
1854
1855 /$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
1856 /$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
1857 %%%EndProlog
1858
1859 $F2psBegin
1860 10 setmiterlimit
1861  0.03000 0.03000 sc
1862 7.500 slw
1863 %% Polyline
1864 n 5207 3812 m 5207 4697 l  5132 4607 l  5207 4832 l  5312 4832 l  5372 4607 l
1865  5297 4697 l  5297 3789 l  5207 3782 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr
1866 %% Polyline
1867 n 5254 4939 m 6244 5929 l  6124 5929 l  6379 6049 l  6424 6004 l  6304 5749 l
1868  6304 5854 l  6304 5869 l  5314 4879 l  5254 4924 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr
1869 %% Polyline
1870 n 4051 2533 m 5041 3523 l  4921 3523 l  5176 3643 l  5221 3598 l  5101 3343 l
1871  5101 3448 l  5101 3463 l  4111 2473 l  4051 2518 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr
1872 %% Polyline
1873 n 6483 6170 m 7473 7160 l  7353 7160 l  7608 7280 l  7653 7235 l  7533 6980 l
1874  7533 7085 l  7533 7100 l  6543 6110 l  6483 6155 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr
1875 %% Polyline
1876 n 7708 7328 m 8688 7327 l  8583 7402 l  8808 7327 l  8808 7237 l  8583 7162 l
1877  8688 7237 l  7708 7238 l  7708 7328 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr
1878 %% Polyline
1879 n 10010 8612 m 10010 9497 l  9935 9407 l  10010 9632 l  10115 9632 l  10175 9407 l
1880  10100 9497 l  10103 8588 l  10010 8582 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr
1881 %% Polyline
1882 n 2633 367 m 3613 366 l  3508 441 l  3733 366 l  3733 276 l  3508 201 l
1883  3613 276 l  2633 277 l  2633 367 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr
1884 %% Polyline
1885 n 1707 2528 m 2687 2527 l  2582 2602 l  2807 2527 l  2807 2437 l  2582 2362 l
1886  2687 2437 l  1707 2438 l  1707 2528 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr
1887 %% Polyline
1888 n 8858 7340 m 9848 8330 l  9728 8330 l  9983 8450 l  10028 8405 l  9908 8150 l
1889  9908 8255 l  9908 8270 l  8918 7280 l  8858 7325 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr
1890 %% Polyline
1891 n 2903 2524 m 3883 2523 l  3778 2598 l  4003 2523 l  4003 2433 l  3778 2358 l
1892  3883 2433 l  2903 2434 l  2903 2524 l  clp gs 0.80 setgray ef gr  gs col-1 s gr
1893 %% Ellipse
1894 n 10052 8477 105 105 0 360 DrawEllipse gs 0.80 setgray ef gr gs col-1 s gr
1895
1896 %% Ellipse
1897 n 3624 776 105 105 0 360 DrawEllipse gs 0.80 setgray ef gr gs col-1 s gr
1898
1899 %% Ellipse
1900 n 5254 3675 105 105 0 360 DrawEllipse gs 0.80 setgray ef gr gs col-1 s gr
1901
1902 %% Ellipse
1903 n 7656 7278 105 105 0 360 DrawEllipse gs 0.80 setgray ef gr gs col-1 s gr
1904
1905 %% Ellipse
1906 n 6452 6078 105 105 0 360 DrawEllipse gs 0.80 setgray ef gr gs col-1 s gr
1907
1908 %% Polyline
1909 n 5254 9679 m 6424 9679 l  gs col-1 s gr
1910 n 6289.00 9641.50 m 6424.00 9679.00 l 6289.00 9716.50 l gs col-1 s gr
1911 %% Polyline
1912 n 7656 9681 m 8826 9681 l  gs col-1 s gr
1913 n 8691.00 9643.50 m 8826.00 9681.00 l 8691.00 9718.50 l gs col-1 s gr
1914 %% Polyline
1915 n 1654 9679 m 2824 9679 l  gs col-1 s gr
1916 n 2689.00 9641.50 m 2824.00 9679.00 l 2689.00 9716.50 l gs col-1 s gr
1917 %% Polyline
1918 n 6454 9679 m 7624 9679 l  gs col-1 s gr
1919 n 7489.00 9641.50 m 7624.00 9679.00 l 7489.00 9716.50 l gs col-1 s gr
1920 %% Polyline
1921 n 1654 8479 m 1654 9634 l  gs col-1 s gr
1922 n 1691.50 9499.00 m 1654.00 9634.00 l 1616.50 9499.00 l gs col-1 s gr
1923 %% Polyline
1924 n 10053 8481 m 10053 9636 l  gs col-1 s gr
1925 n 10090.50 9501.00 m 10053.00 9636.00 l 10015.50 9501.00 l gs col-1 s gr
1926 %% Polyline
1927 n 8856 9678 m 10026 9678 l  gs col-1 s gr
1928 n 9891.00 9640.50 m 10026.00 9678.00 l 9891.00 9715.50 l gs col-1 s gr
1929 %% Polyline
1930 n 4054 7279 m 4054 8434 l  gs col-1 s gr
1931 n 4091.50 8299.00 m 4054.00 8434.00 l 4016.50 8299.00 l gs col-1 s gr
1932 %% Polyline
1933 n 5254 7279 m 5254 8434 l  gs col-1 s gr
1934 n 5291.50 8299.00 m 5254.00 8434.00 l 5216.50 8299.00 l gs col-1 s gr
1935 %% Polyline
1936 n 5254 7279 m 6424 8449 l  gs col-1 s gr
1937 n 6355.06 8327.02 m 6424.00 8449.00 l 6302.02 8380.06 l gs col-1 s gr
1938 %% Polyline
1939 n 8856 7281 m 8856 8436 l  gs col-1 s gr
1940 n 8893.50 8301.00 m 8856.00 8436.00 l 8818.50 8301.00 l gs col-1 s gr
1941 %% Polyline
1942 n 1654 7279 m 2824 8449 l  gs col-1 s gr
1943 n 2755.06 8327.02 m 2824.00 8449.00 l 2702.02 8380.06 l gs col-1 s gr
1944 %% Polyline
1945 n 2854 7279 m 2854 8434 l  gs col-1 s gr
1946 n 2891.50 8299.00 m 2854.00 8434.00 l 2816.50 8299.00 l gs col-1 s gr
1947 %% Polyline
1948 n 6454 7279 m 6454 8434 l  gs col-1 s gr
1949 n 6491.50 8299.00 m 6454.00 8434.00 l 6416.50 8299.00 l gs col-1 s gr
1950 %% Polyline
1951 n 7654 7279 m 7654 8434 l  gs col-1 s gr
1952 n 7691.50 8299.00 m 7654.00 8434.00 l 7616.50 8299.00 l gs col-1 s gr
1953 %% Polyline
1954 n 2854 8479 m 4024 8479 l  gs col-1 s gr
1955 n 3889.00 8441.50 m 4024.00 8479.00 l 3889.00 8516.50 l gs col-1 s gr
1956 %% Polyline
1957 n 4054 8479 m 5224 8479 l  gs col-1 s gr
1958 n 5089.00 8441.50 m 5224.00 8479.00 l 5089.00 8516.50 l gs col-1 s gr
1959 %% Polyline
1960 n 5254 8479 m 6424 8479 l  gs col-1 s gr
1961 n 6289.00 8441.50 m 6424.00 8479.00 l 6289.00 8516.50 l gs col-1 s gr
1962 %% Polyline
1963 n 7656 8481 m 8826 8481 l  gs col-1 s gr
1964 n 8691.00 8443.50 m 8826.00 8481.00 l 8691.00 8518.50 l gs col-1 s gr
1965 %% Polyline
1966 n 1654 8479 m 2824 8479 l  gs col-1 s gr
1967 n 2689.00 8441.50 m 2824.00 8479.00 l 2689.00 8516.50 l gs col-1 s gr
1968 %% Polyline
1969 n 6454 8479 m 7624 8479 l  gs col-1 s gr
1970 n 7489.00 8441.50 m 7624.00 8479.00 l 7489.00 8516.50 l gs col-1 s gr
1971 %% Polyline
1972 n 1654 7279 m 1654 8434 l  gs col-1 s gr
1973 n 1691.50 8299.00 m 1654.00 8434.00 l 1616.50 8299.00 l gs col-1 s gr
1974 %% Polyline
1975 n 10053 7281 m 10053 8436 l  gs col-1 s gr
1976 n 10090.50 8301.00 m 10053.00 8436.00 l 10015.50 8301.00 l gs col-1 s gr
1977 %% Polyline
1978 n 8856 7281 m 10026 8451 l  gs col-1 s gr
1979 n 9957.06 8329.02 m 10026.00 8451.00 l 9904.02 8382.06 l gs col-1 s gr
1980 %% Polyline
1981 n 8856 8478 m 10026 8478 l  gs col-1 s gr
1982 n 9891.00 8440.50 m 10026.00 8478.00 l 9891.00 8515.50 l gs col-1 s gr
1983 %% Polyline
1984 n 2854 6079 m 4024 7249 l  gs col-1 s gr
1985 n 3955.06 7127.02 m 4024.00 7249.00 l 3902.02 7180.06 l gs col-1 s gr
1986 %% Polyline
1987 n 4054 6079 m 4054 7234 l  gs col-1 s gr
1988 n 4091.50 7099.00 m 4054.00 7234.00 l 4016.50 7099.00 l gs col-1 s gr
1989 %% Polyline
1990 n 5254 6079 m 5254 7234 l  gs col-1 s gr
1991 n 5291.50 7099.00 m 5254.00 7234.00 l 5216.50 7099.00 l gs col-1 s gr
1992 %% Polyline
1993 n 7656 6081 m 8826 7251 l  gs col-1 s gr
1994 n 8757.06 7129.02 m 8826.00 7251.00 l 8704.02 7182.06 l gs col-1 s gr
1995 %% Polyline
1996 n 8856 6081 m 8856 7236 l  gs col-1 s gr
1997 n 8893.50 7101.00 m 8856.00 7236.00 l 8818.50 7101.00 l gs col-1 s gr
1998 %% Polyline
1999 n 2854 6079 m 2854 7234 l  gs col-1 s gr
2000 n 2891.50 7099.00 m 2854.00 7234.00 l 2816.50 7099.00 l gs col-1 s gr
2001 %% Polyline
2002 n 6454 6079 m 6454 7234 l  gs col-1 s gr
2003 n 6491.50 7099.00 m 6454.00 7234.00 l 6416.50 7099.00 l gs col-1 s gr
2004 %% Polyline
2005 n 6454 6079 m 7624 7249 l  gs col-1 s gr
2006 n 7555.06 7127.02 m 7624.00 7249.00 l 7502.02 7180.06 l gs col-1 s gr
2007 %% Polyline
2008 n 7654 6079 m 7654 7234 l  gs col-1 s gr
2009 n 7691.50 7099.00 m 7654.00 7234.00 l 7616.50 7099.00 l gs col-1 s gr
2010 %% Polyline
2011 n 2854 7279 m 4024 7279 l  gs col-1 s gr
2012 n 3889.00 7241.50 m 4024.00 7279.00 l 3889.00 7316.50 l gs col-1 s gr
2013 %% Polyline
2014 n 4054 7279 m 5224 7279 l  gs col-1 s gr
2015 n 5089.00 7241.50 m 5224.00 7279.00 l 5089.00 7316.50 l gs col-1 s gr
2016 %% Polyline
2017 n 5254 7279 m 6424 7279 l  gs col-1 s gr
2018 n 6289.00 7241.50 m 6424.00 7279.00 l 6289.00 7316.50 l gs col-1 s gr
2019 %% Polyline
2020 n 7656 7281 m 8826 7281 l  gs col-1 s gr
2021 n 8691.00 7243.50 m 8826.00 7281.00 l 8691.00 7318.50 l gs col-1 s gr
2022 %% Polyline
2023 n 1654 7279 m 2824 7279 l  gs col-1 s gr
2024 n 2689.00 7241.50 m 2824.00 7279.00 l 2689.00 7316.50 l gs col-1 s gr
2025 %% Polyline
2026 n 6454 7279 m 7624 7279 l  gs col-1 s gr
2027 n 7489.00 7241.50 m 7624.00 7279.00 l 7489.00 7316.50 l gs col-1 s gr
2028 %% Polyline
2029 n 1654 6079 m 1654 7234 l  gs col-1 s gr
2030 n 1691.50 7099.00 m 1654.00 7234.00 l 1616.50 7099.00 l gs col-1 s gr
2031 %% Polyline
2032 n 10053 6081 m 10053 7236 l  gs col-1 s gr
2033 n 10090.50 7101.00 m 10053.00 7236.00 l 10015.50 7101.00 l gs col-1 s gr
2034 %% Polyline
2035 n 8856 7278 m 10026 7278 l  gs col-1 s gr
2036 n 9891.00 7240.50 m 10026.00 7278.00 l 9891.00 7315.50 l gs col-1 s gr
2037 %% Polyline
2038 n 4054 4879 m 4054 6034 l  gs col-1 s gr
2039 n 4091.50 5899.00 m 4054.00 6034.00 l 4016.50 5899.00 l gs col-1 s gr
2040 %% Polyline
2041 n 5254 4879 m 5254 6034 l  gs col-1 s gr
2042 n 5291.50 5899.00 m 5254.00 6034.00 l 5216.50 5899.00 l gs col-1 s gr
2043 %% Polyline
2044 n 5254 4879 m 6424 6049 l  gs col-1 s gr
2045 n 6355.06 5927.02 m 6424.00 6049.00 l 6302.02 5980.06 l gs col-1 s gr
2046 %% Polyline
2047 n 8856 4881 m 8856 6036 l  gs col-1 s gr
2048 n 8893.50 5901.00 m 8856.00 6036.00 l 8818.50 5901.00 l gs col-1 s gr
2049 %% Polyline
2050 n 2630 321 m 3739 321 l  gs col-1 s gr
2051 n 3604.00 283.50 m 3739.00 321.00 l 3604.00 358.50 l gs col-1 s gr
2052 %% Polyline
2053 n 1654 4879 m 2824 6049 l  gs col-1 s gr
2054 n 2755.06 5927.02 m 2824.00 6049.00 l 2702.02 5980.06 l gs col-1 s gr
2055 %% Polyline
2056 n 4054 8479 m 4054 9634 l  gs col-1 s gr
2057 n 4091.50 9499.00 m 4054.00 9634.00 l 4016.50 9499.00 l gs col-1 s gr
2058 %% Polyline
2059 n 2854 4879 m 2854 6034 l  gs col-1 s gr
2060 n 2891.50 5899.00 m 2854.00 6034.00 l 2816.50 5899.00 l gs col-1 s gr
2061 %% Polyline
2062 n 6454 4879 m 6454 6034 l  gs col-1 s gr
2063 n 6491.50 5899.00 m 6454.00 6034.00 l 6416.50 5899.00 l gs col-1 s gr
2064 %% Polyline
2065 n 7654 4879 m 7654 6034 l  gs col-1 s gr
2066 n 7691.50 5899.00 m 7654.00 6034.00 l 7616.50 5899.00 l gs col-1 s gr
2067 %% Polyline
2068 n 2854 6079 m 4024 6079 l  gs col-1 s gr
2069 n 3889.00 6041.50 m 4024.00 6079.00 l 3889.00 6116.50 l gs col-1 s gr
2070 %% Polyline
2071 n 4054 6079 m 5224 6079 l  gs col-1 s gr
2072 n 5089.00 6041.50 m 5224.00 6079.00 l 5089.00 6116.50 l gs col-1 s gr
2073 %% Polyline
2074 n 5254 6079 m 6424 6079 l  gs col-1 s gr
2075 n 6289.00 6041.50 m 6424.00 6079.00 l 6289.00 6116.50 l gs col-1 s gr
2076 %% Polyline
2077 n 7656 6081 m 8826 6081 l  gs col-1 s gr
2078 n 8691.00 6043.50 m 8826.00 6081.00 l 8691.00 6118.50 l gs col-1 s gr
2079 %% Polyline
2080 n 1654 6079 m 2824 6079 l  gs col-1 s gr
2081 n 2689.00 6041.50 m 2824.00 6079.00 l 2689.00 6116.50 l gs col-1 s gr
2082 %% Polyline
2083 n 6454 6079 m 7624 6079 l  gs col-1 s gr
2084 n 7489.00 6041.50 m 7624.00 6079.00 l 7489.00 6116.50 l gs col-1 s gr
2085 %% Polyline
2086 n 1654 4879 m 1654 6034 l  gs col-1 s gr
2087 n 1691.50 5899.00 m 1654.00 6034.00 l 1616.50 5899.00 l gs col-1 s gr
2088 %% Polyline
2089 n 10053 4881 m 10053 6036 l  gs col-1 s gr
2090 n 10090.50 5901.00 m 10053.00 6036.00 l 10015.50 5901.00 l gs col-1 s gr
2091 %% Polyline
2092 n 8856 4881 m 10026 6051 l  gs col-1 s gr
2093 n 9957.06 5929.02 m 10026.00 6051.00 l 9904.02 5982.06 l gs col-1 s gr
2094 %% Polyline
2095 n 8856 6078 m 10026 6078 l  gs col-1 s gr
2096 n 9891.00 6040.50 m 10026.00 6078.00 l 9891.00 6115.50 l gs col-1 s gr
2097 %% Polyline
2098 n 2854 3679 m 4024 4849 l  gs col-1 s gr
2099 n 3955.06 4727.02 m 4024.00 4849.00 l 3902.02 4780.06 l gs col-1 s gr
2100 %% Polyline
2101 n 4054 3679 m 4054 4834 l  gs col-1 s gr
2102 n 4091.50 4699.00 m 4054.00 4834.00 l 4016.50 4699.00 l gs col-1 s gr
2103 %% Polyline
2104 n 5254 3679 m 5254 4834 l  gs col-1 s gr
2105 n 5291.50 4699.00 m 5254.00 4834.00 l 5216.50 4699.00 l gs col-1 s gr
2106 %% Polyline
2107 n 7656 3681 m 8826 4851 l  gs col-1 s gr
2108 n 8757.06 4729.02 m 8826.00 4851.00 l 8704.02 4782.06 l gs col-1 s gr
2109 %% Polyline
2110 n 8856 3681 m 8856 4836 l  gs col-1 s gr
2111 n 8893.50 4701.00 m 8856.00 4836.00 l 8818.50 4701.00 l gs col-1 s gr
2112 %% Polyline
2113 n 2854 3679 m 2854 4834 l  gs col-1 s gr
2114 n 2891.50 4699.00 m 2854.00 4834.00 l 2816.50 4699.00 l gs col-1 s gr
2115 %% Polyline
2116 n 6454 3679 m 6454 4834 l  gs col-1 s gr
2117 n 6491.50 4699.00 m 6454.00 4834.00 l 6416.50 4699.00 l gs col-1 s gr
2118 %% Polyline
2119 n 6454 3679 m 7624 4849 l  gs col-1 s gr
2120 n 7555.06 4727.02 m 7624.00 4849.00 l 7502.02 4780.06 l gs col-1 s gr
2121 %% Polyline
2122 n 7654 3679 m 7654 4834 l  gs col-1 s gr
2123 n 7691.50 4699.00 m 7654.00 4834.00 l 7616.50 4699.00 l gs col-1 s gr
2124 %% Polyline
2125 n 2854 4879 m 4024 4879 l  gs col-1 s gr
2126 n 3889.00 4841.50 m 4024.00 4879.00 l 3889.00 4916.50 l gs col-1 s gr
2127 %% Polyline
2128 n 4054 4879 m 5224 4879 l  gs col-1 s gr
2129 n 5089.00 4841.50 m 5224.00 4879.00 l 5089.00 4916.50 l gs col-1 s gr
2130 %% Polyline
2131 n 5254 4879 m 6424 4879 l  gs col-1 s gr
2132 n 6289.00 4841.50 m 6424.00 4879.00 l 6289.00 4916.50 l gs col-1 s gr
2133 %% Polyline
2134 n 7656 4881 m 8826 4881 l  gs col-1 s gr
2135 n 8691.00 4843.50 m 8826.00 4881.00 l 8691.00 4918.50 l gs col-1 s gr
2136 %% Polyline
2137 n 1654 4879 m 2824 4879 l  gs col-1 s gr
2138 n 2689.00 4841.50 m 2824.00 4879.00 l 2689.00 4916.50 l gs col-1 s gr
2139 %% Polyline
2140 n 6454 4879 m 7624 4879 l  gs col-1 s gr
2141 n 7489.00 4841.50 m 7624.00 4879.00 l 7489.00 4916.50 l gs col-1 s gr
2142 %% Polyline
2143 n 1654 3679 m 1654 4834 l  gs col-1 s gr
2144 n 1691.50 4699.00 m 1654.00 4834.00 l 1616.50 4699.00 l gs col-1 s gr
2145 %% Polyline
2146 n 10053 3681 m 10053 4836 l  gs col-1 s gr
2147 n 10090.50 4701.00 m 10053.00 4836.00 l 10015.50 4701.00 l gs col-1 s gr
2148 %% Polyline
2149 n 8856 4878 m 10026 4878 l  gs col-1 s gr
2150 n 9891.00 4840.50 m 10026.00 4878.00 l 9891.00 4915.50 l gs col-1 s gr
2151 %% Polyline
2152 n 4053 2478 m 4053 3633 l  gs col-1 s gr
2153 n 4090.50 3498.00 m 4053.00 3633.00 l 4015.50 3498.00 l gs col-1 s gr
2154 %% Polyline
2155 n 4053 2478 m 5223 3648 l  gs col-1 s gr
2156 n 5154.06 3526.02 m 5223.00 3648.00 l 5101.02 3579.06 l gs col-1 s gr
2157 %% Polyline
2158 n 5253 2478 m 5253 3633 l  gs col-1 s gr
2159 n 5290.50 3498.00 m 5253.00 3633.00 l 5215.50 3498.00 l gs col-1 s gr
2160 %% Polyline
2161 n 8855 2480 m 8855 3635 l  gs col-1 s gr
2162 n 8892.50 3500.00 m 8855.00 3635.00 l 8817.50 3500.00 l gs col-1 s gr
2163 %% Polyline
2164 n 2853 2478 m 2853 3633 l  gs col-1 s gr
2165 n 2890.50 3498.00 m 2853.00 3633.00 l 2815.50 3498.00 l gs col-1 s gr
2166 %% Polyline
2167 n 6453 2478 m 6453 3633 l  gs col-1 s gr
2168 n 6490.50 3498.00 m 6453.00 3633.00 l 6415.50 3498.00 l gs col-1 s gr
2169 %% Polyline
2170 n 7653 2478 m 7653 3633 l  gs col-1 s gr
2171 n 7690.50 3498.00 m 7653.00 3633.00 l 7615.50 3498.00 l gs col-1 s gr
2172 %% Polyline
2173 n 2853 3678 m 4023 3678 l  gs col-1 s gr
2174 n 3888.00 3640.50 m 4023.00 3678.00 l 3888.00 3715.50 l gs col-1 s gr
2175 %% Polyline
2176 n 4053 3678 m 5223 3678 l  gs col-1 s gr
2177 n 5088.00 3640.50 m 5223.00 3678.00 l 5088.00 3715.50 l gs col-1 s gr
2178 %% Polyline
2179 n 5253 3678 m 6423 3678 l  gs col-1 s gr
2180 n 6288.00 3640.50 m 6423.00 3678.00 l 6288.00 3715.50 l gs col-1 s gr
2181 %% Polyline
2182 n 7655 3680 m 8825 3680 l  gs col-1 s gr
2183 n 8690.00 3642.50 m 8825.00 3680.00 l 8690.00 3717.50 l gs col-1 s gr
2184 %% Polyline
2185 n 1653 3678 m 2823 3678 l  gs col-1 s gr
2186 n 2688.00 3640.50 m 2823.00 3678.00 l 2688.00 3715.50 l gs col-1 s gr
2187 %% Polyline
2188 n 6453 3678 m 7623 3678 l  gs col-1 s gr
2189 n 7488.00 3640.50 m 7623.00 3678.00 l 7488.00 3715.50 l gs col-1 s gr
2190 %% Polyline
2191 n 1653 2478 m 1653 3633 l  gs col-1 s gr
2192 n 1690.50 3498.00 m 1653.00 3633.00 l 1615.50 3498.00 l gs col-1 s gr
2193 %% Polyline
2194 n 10052 2480 m 10052 3635 l  gs col-1 s gr
2195 n 10089.50 3500.00 m 10052.00 3635.00 l 10014.50 3500.00 l gs col-1 s gr
2196 %% Polyline
2197 n 8855 3677 m 10025 3677 l  gs col-1 s gr
2198 n 9890.00 3639.50 m 10025.00 3677.00 l 9890.00 3714.50 l gs col-1 s gr
2199 %% Polyline
2200 n 7731 2478 m 8901 2478 l  gs col-1 s gr
2201 n 8766.00 2440.50 m 8901.00 2478.00 l 8766.00 2515.50 l gs col-1 s gr
2202 %% Polyline
2203 n 8931 2478 m 10101 2478 l  gs col-1 s gr
2204 n 9966.00 2440.50 m 10101.00 2478.00 l 9966.00 2515.50 l gs col-1 s gr
2205 %% Polyline
2206 n 2854 2479 m 4024 2479 l  gs col-1 s gr
2207 n 3889.00 2441.50 m 4024.00 2479.00 l 3889.00 2516.50 l gs col-1 s gr
2208 %% Polyline
2209 n 4054 2479 m 5224 2479 l  gs col-1 s gr
2210 n 5089.00 2441.50 m 5224.00 2479.00 l 5089.00 2516.50 l gs col-1 s gr
2211 %% Polyline
2212 n 5254 2479 m 6424 2479 l  gs col-1 s gr
2213 n 6289.00 2441.50 m 6424.00 2479.00 l 6289.00 2516.50 l gs col-1 s gr
2214 %% Polyline
2215 n 6454 2479 m 7624 2479 l  gs col-1 s gr
2216 n 7489.00 2441.50 m 7624.00 2479.00 l 7489.00 2516.50 l gs col-1 s gr
2217 %% Polyline
2218 n 1654 2479 m 2824 2479 l  gs col-1 s gr
2219 n 2689.00 2441.50 m 2824.00 2479.00 l 2689.00 2516.50 l gs col-1 s gr
2220 %% Polyline
2221 n 4054 8479 m 5224 9649 l  gs col-1 s gr
2222 n 5155.06 9527.02 m 5224.00 9649.00 l 5102.02 9580.06 l gs col-1 s gr
2223 %% Polyline
2224 n 5254 8479 m 5254 9634 l  gs col-1 s gr
2225 n 5291.50 9499.00 m 5254.00 9634.00 l 5216.50 9499.00 l gs col-1 s gr
2226 %% Polyline
2227 n 8856 8481 m 8856 9636 l  gs col-1 s gr
2228 n 8893.50 9501.00 m 8856.00 9636.00 l 8818.50 9501.00 l gs col-1 s gr
2229 %% Polyline
2230 n 2854 8479 m 2854 9634 l  gs col-1 s gr
2231 n 2891.50 9499.00 m 2854.00 9634.00 l 2816.50 9499.00 l gs col-1 s gr
2232 %% Polyline
2233 n 6454 8479 m 6454 9634 l  gs col-1 s gr
2234 n 6491.50 9499.00 m 6454.00 9634.00 l 6416.50 9499.00 l gs col-1 s gr
2235 %% Polyline
2236 n 7654 8479 m 7654 9634 l  gs col-1 s gr
2237 n 7691.50 9499.00 m 7654.00 9634.00 l 7616.50 9499.00 l gs col-1 s gr
2238 %% Polyline
2239 n 2854 9679 m 4024 9679 l  gs col-1 s gr
2240 n 3889.00 9641.50 m 4024.00 9679.00 l 3889.00 9716.50 l gs col-1 s gr
2241 %% Polyline
2242 n 4054 9679 m 5224 9679 l  gs col-1 s gr
2243 n 5089.00 9641.50 m 5224.00 9679.00 l 5089.00 9716.50 l gs col-1 s gr
2244 %% Ellipse
2245 n 6454 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2246
2247 %% Ellipse
2248 n 7654 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2249
2250 %% Ellipse
2251 n 6454 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2252
2253 %% Ellipse
2254 n 6456 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2255
2256 %% Ellipse
2257 n 7656 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2258
2259 %% Ellipse
2260 n 6456 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2261
2262 %% Ellipse
2263 n 6456 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2264
2265 %% Ellipse
2266 n 7656 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2267
2268 %% Ellipse
2269 n 10053 6078 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2270
2271 %% Ellipse
2272 n 4054 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2273
2274 %% Ellipse
2275 n 5254 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2276
2277 %% Ellipse
2278 n 4054 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2279
2280 %% Ellipse
2281 n 5254 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2282
2283 %% Ellipse
2284 n 4056 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2285
2286 %% Ellipse
2287 n 5256 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2288
2289 %% Ellipse
2290 n 4056 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2291
2292 %% Ellipse
2293 n 5256 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2294
2295 %% Ellipse
2296 n 4056 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2297
2298 %% Ellipse
2299 n 5256 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2300
2301 %% Ellipse
2302 n 8856 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2303
2304 %% Ellipse
2305 n 8858 4883 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2306
2307 %% Ellipse
2308 n 8858 4883 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2309
2310 %% Ellipse
2311 n 2854 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2312
2313 %% Ellipse
2314 n 2854 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2315
2316 %% Ellipse
2317 n 1654 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2318
2319 %% Ellipse
2320 n 2856 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2321
2322 %% Ellipse
2323 n 2856 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2324
2325 %% Ellipse
2326 n 1656 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2327
2328 %% Ellipse
2329 n 1656 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2330
2331 %% Ellipse
2332 n 2856 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2333
2334 %% Ellipse
2335 n 6454 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2336
2337 %% Ellipse
2338 n 7654 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2339
2340 %% Ellipse
2341 n 6454 4879 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2342
2343 %% Ellipse
2344 n 6456 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2345
2346 %% Ellipse
2347 n 7656 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2348
2349 %% Ellipse
2350 n 6456 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2351
2352 %% Ellipse
2353 n 6456 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2354
2355 %% Ellipse
2356 n 7656 4881 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2357
2358 %% Ellipse
2359 n 10053 4878 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2360
2361 %% Ellipse
2362 n 4053 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2363
2364 %% Ellipse
2365 n 5253 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2366
2367 %% Ellipse
2368 n 4053 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2369
2370 %% Ellipse
2371 n 5253 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2372
2373 %% Ellipse
2374 n 4055 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2375
2376 %% Ellipse
2377 n 5255 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2378
2379 %% Ellipse
2380 n 4055 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2381
2382 %% Ellipse
2383 n 5255 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2384
2385 %% Ellipse
2386 n 4055 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2387
2388 %% Ellipse
2389 n 5255 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2390
2391 %% Ellipse
2392 n 8855 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2393
2394 %% Ellipse
2395 n 8857 3682 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2396
2397 %% Ellipse
2398 n 8857 3682 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2399
2400 %% Ellipse
2401 n 2853 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2402
2403 %% Ellipse
2404 n 2853 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2405
2406 %% Ellipse
2407 n 1653 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2408
2409 %% Ellipse
2410 n 3620 781 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2411
2412 %% Ellipse
2413 n 2855 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2414
2415 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2416 10202 2702 m
2417 gs 1 -1 sc (0) col-1 show gr
2418 %% Ellipse
2419 n 2855 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2420
2421 %% Ellipse
2422 n 1655 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2423
2424 %% Ellipse
2425 n 1655 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2426
2427 %% Ellipse
2428 n 2855 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2429
2430 %% Ellipse
2431 n 6453 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2432
2433 %% Ellipse
2434 n 7653 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2435
2436 %% Ellipse
2437 n 6453 3678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2438
2439 %% Ellipse
2440 n 6455 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2441
2442 %% Ellipse
2443 n 7655 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2444
2445 %% Ellipse
2446 n 6455 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2447
2448 %% Ellipse
2449 n 6455 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2450
2451 %% Ellipse
2452 n 7655 3680 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2453
2454 %% Ellipse
2455 n 10052 3677 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2456
2457 %% Ellipse
2458 n 8928 2478 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2459
2460 %% Ellipse
2461 n 4054 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2462
2463 %% Ellipse
2464 n 2854 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2465
2466 %% Ellipse
2467 n 5254 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2468
2469 %% Ellipse
2470 n 4054 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2471
2472 %% Ellipse
2473 n 6454 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2474
2475 %% Ellipse
2476 n 5254 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2477
2478 %% Ellipse
2479 n 7654 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2480
2481 %% Ellipse
2482 n 6454 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2483
2484 %% Ellipse
2485 n 2854 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2486
2487 %% Ellipse
2488 n 1654 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2489
2490 %% Ellipse
2491 n 1654 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2492
2493 %% Ellipse
2494 n 4054 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2495
2496 %% Ellipse
2497 n 5254 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2498
2499 %% Ellipse
2500 n 6454 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2501
2502 %% Ellipse
2503 n 7654 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2504
2505 %% Ellipse
2506 n 2854 2479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2507
2508 %% Ellipse
2509 n 10052 2477 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2510
2511 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2512 6827 1352 m
2513 gs 1 -1 sc (A  A  A  A   = B  B  B  B) col-1 show gr
2514 /Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
2515 7082 1434 m
2516 gs 1 -1 sc (3) col-1 show gr
2517 /Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
2518 7547 1434 m
2519 gs 1 -1 sc (4) col-1 show gr
2520 /Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
2521 7975 1449 m
2522 gs 1 -1 sc (5) col-1 show gr
2523 /Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
2524 8402 1450 m
2525 gs 1 -1 sc (7) col-1 show gr
2526 /Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
2527 9283 1442 m
2528 gs 1 -1 sc (1) col-1 show gr
2529 /Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
2530 9741 1449 m
2531 gs 1 -1 sc (3) col-1 show gr
2532 /Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
2533 10198 1450 m
2534 gs 1 -1 sc (4) col-1 show gr
2535 /Helvetica-Bold findfont 270.00 scalefont setfont
2536 10641 1442 m
2537 gs 1 -1 sc (5) col-1 show gr
2538 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2539 3901 451 m
2540 gs 1 -1 sc (Path) col-1 show gr
2541 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2542 3901 901 m
2543 gs 1 -1 sc (Trace = \(3,1\) \(4,3\) \(5,4\) \(7,5\)) col-1 show gr
2544 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2545 3056 1811 m
2546 gs 1 -1 sc (Edit Script = 1D, 2D, 3IB, 6D 7IC) col-1 show gr
2547 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2548 886 1351 m
2549 gs 1 -1 sc (Common Subsequence = CABA =) col-1 show gr
2550 %% Ellipse
2551 n 4054 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2552
2553 %% Ellipse
2554 n 5254 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2555
2556 %% Ellipse
2557 n 4054 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2558
2559 %% Ellipse
2560 n 5254 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2561
2562 %% Ellipse
2563 n 4056 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2564
2565 %% Ellipse
2566 n 5256 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2567
2568 %% Ellipse
2569 n 4056 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2570
2571 %% Ellipse
2572 n 5256 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2573
2574 %% Ellipse
2575 n 4056 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2576
2577 %% Ellipse
2578 n 5256 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2579
2580 %% Ellipse
2581 n 8856 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2582
2583 %% Ellipse
2584 n 8858 9683 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2585
2586 %% Ellipse
2587 n 8858 9683 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2588
2589 %% Ellipse
2590 n 2854 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2591
2592 %% Ellipse
2593 n 2854 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2594
2595 %% Ellipse
2596 n 1654 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2597
2598 %% Ellipse
2599 n 2856 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2600
2601 %% Ellipse
2602 n 2856 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2603
2604 %% Ellipse
2605 n 1656 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2606
2607 %% Ellipse
2608 n 1656 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2609
2610 %% Ellipse
2611 n 2856 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2612
2613 %% Ellipse
2614 n 6454 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2615
2616 %% Ellipse
2617 n 7654 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2618
2619 %% Ellipse
2620 n 6454 9679 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2621
2622 %% Ellipse
2623 n 6456 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2624
2625 %% Ellipse
2626 n 7656 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2627
2628 %% Ellipse
2629 n 6456 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2630
2631 %% Ellipse
2632 n 6456 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2633
2634 %% Ellipse
2635 n 7656 9681 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2636
2637 %% Ellipse
2638 n 10053 9678 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2639
2640 %% Ellipse
2641 n 4054 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2642
2643 %% Ellipse
2644 n 5254 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2645
2646 %% Ellipse
2647 n 4054 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2648
2649 %% Ellipse
2650 n 5254 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2651
2652 %% Ellipse
2653 n 4056 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2654
2655 %% Ellipse
2656 n 5256 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2657
2658 %% Ellipse
2659 n 4056 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2660
2661 %% Ellipse
2662 n 5256 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2663
2664 %% Ellipse
2665 n 4056 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2666
2667 %% Ellipse
2668 n 5256 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2669
2670 %% Ellipse
2671 n 8856 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2672
2673 %% Ellipse
2674 n 8858 8483 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2675
2676 %% Ellipse
2677 n 8858 8483 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2678
2679 %% Ellipse
2680 n 2854 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2681
2682 %% Ellipse
2683 n 2854 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2684
2685 %% Ellipse
2686 n 1654 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2687
2688 %% Ellipse
2689 n 2856 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2690
2691 %% Ellipse
2692 n 2856 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2693
2694 %% Ellipse
2695 n 1656 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2696
2697 %% Ellipse
2698 n 1656 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2699
2700 %% Ellipse
2701 n 2856 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2702
2703 %% Ellipse
2704 n 6454 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2705
2706 %% Ellipse
2707 n 7654 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2708
2709 %% Ellipse
2710 n 6454 8479 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2711
2712 %% Ellipse
2713 n 6456 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2714
2715 %% Ellipse
2716 n 7656 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2717
2718 %% Ellipse
2719 n 6456 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2720
2721 %% Ellipse
2722 n 6456 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2723
2724 %% Ellipse
2725 n 7656 8481 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2726
2727 %% Ellipse
2728 n 10053 8478 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2729
2730 %% Ellipse
2731 n 4054 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2732
2733 %% Ellipse
2734 n 5254 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2735
2736 %% Ellipse
2737 n 4054 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2738
2739 %% Ellipse
2740 n 5254 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2741
2742 %% Ellipse
2743 n 4056 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2744
2745 %% Ellipse
2746 n 5256 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2747
2748 %% Ellipse
2749 n 4056 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2750
2751 %% Ellipse
2752 n 5256 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2753
2754 %% Ellipse
2755 n 4056 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2756
2757 %% Ellipse
2758 n 5256 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2759
2760 %% Ellipse
2761 n 8856 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2762
2763 %% Ellipse
2764 n 8858 7283 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2765
2766 %% Ellipse
2767 n 8858 7283 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2768
2769 %% Ellipse
2770 n 2854 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2771
2772 %% Ellipse
2773 n 2854 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2774
2775 %% Ellipse
2776 n 1654 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2777
2778 %% Ellipse
2779 n 2856 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2780
2781 %% Ellipse
2782 n 2856 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2783
2784 %% Ellipse
2785 n 1656 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2786
2787 %% Ellipse
2788 n 1656 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2789
2790 %% Ellipse
2791 n 2856 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2792
2793 %% Ellipse
2794 n 6454 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2795
2796 %% Ellipse
2797 n 7654 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2798
2799 %% Ellipse
2800 n 6454 7279 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2801
2802 %% Ellipse
2803 n 6456 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2804
2805 %% Ellipse
2806 n 7656 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2807
2808 %% Ellipse
2809 n 6456 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2810
2811 %% Ellipse
2812 n 6456 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2813
2814 %% Ellipse
2815 n 7656 7281 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2816
2817 %% Ellipse
2818 n 10053 7278 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2819
2820 %% Ellipse
2821 n 4054 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2822
2823 %% Ellipse
2824 n 5254 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2825
2826 %% Ellipse
2827 n 4054 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2828
2829 %% Ellipse
2830 n 5254 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2831
2832 %% Ellipse
2833 n 4056 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2834
2835 %% Ellipse
2836 n 5256 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2837
2838 %% Ellipse
2839 n 4056 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2840
2841 %% Ellipse
2842 n 5256 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2843
2844 %% Ellipse
2845 n 4056 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2846
2847 %% Ellipse
2848 n 5256 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2849
2850 %% Ellipse
2851 n 8856 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2852
2853 %% Ellipse
2854 n 8858 6083 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2855
2856 %% Ellipse
2857 n 8858 6083 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2858
2859 %% Ellipse
2860 n 2854 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2861
2862 %% Ellipse
2863 n 2854 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2864
2865 %% Ellipse
2866 n 1654 6079 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2867
2868 %% Ellipse
2869 n 2856 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2870
2871 %% Ellipse
2872 n 2856 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2873
2874 %% Ellipse
2875 n 1656 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2876
2877 %% Ellipse
2878 n 1656 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2879
2880 %% Ellipse
2881 n 2856 6081 45 45 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
2882
2883 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2884 1277 9827 m
2885 gs 1 -1 sc (C) col-1 show gr
2886 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2887 1277 8627 m
2888 gs 1 -1 sc (A) col-1 show gr
2889 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2890 1277 7427 m
2891 gs 1 -1 sc (B) col-1 show gr
2892 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2893 1277 6227 m
2894 gs 1 -1 sc (A) col-1 show gr
2895 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2896 1277 5027 m
2897 gs 1 -1 sc (B) col-1 show gr
2898 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2899 1277 3827 m
2900 gs 1 -1 sc (C) col-1 show gr
2901 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2902 2777 2327 m
2903 gs 1 -1 sc (A) col-1 show gr
2904 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2905 3977 2327 m
2906 gs 1 -1 sc (B) col-1 show gr
2907 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2908 5177 2327 m
2909 gs 1 -1 sc (C) col-1 show gr
2910 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2911 6377 2327 m
2912 gs 1 -1 sc (A) col-1 show gr
2913 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2914 7577 2327 m
2915 gs 1 -1 sc (B) col-1 show gr
2916 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2917 8777 2327 m
2918 gs 1 -1 sc (B) col-1 show gr
2919 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2920 9977 2327 m
2921 gs 1 -1 sc (A) col-1 show gr
2922 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2923 10202 10052 m
2924 gs 1 -1 sc (\(7,6\)) col-1 show gr
2925 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2926 827 2402 m
2927 gs 1 -1 sc (\(0,0\)) col-1 show gr
2928 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2929 2777 10127 m
2930 gs 1 -1 sc (1) col-1 show gr
2931 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2932 1652 10127 m
2933 gs 1 -1 sc (0) col-1 show gr
2934 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2935 8777 10127 m
2936 gs 1 -1 sc (6) col-1 show gr
2937 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2938 7577 10127 m
2939 gs 1 -1 sc (5) col-1 show gr
2940 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2941 6377 10127 m
2942 gs 1 -1 sc (4) col-1 show gr
2943 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2944 5177 10127 m
2945 gs 1 -1 sc (3) col-1 show gr
2946 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2947 3977 10127 m
2948 gs 1 -1 sc (2) col-1 show gr
2949 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2950 10202 3827 m
2951 gs 1 -1 sc (1) col-1 show gr
2952 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2953 10202 5027 m
2954 gs 1 -1 sc (2) col-1 show gr
2955 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2956 10202 7427 m
2957 gs 1 -1 sc (4) col-1 show gr
2958 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2959 10202 8627 m
2960 gs 1 -1 sc (5) col-1 show gr
2961 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
2962 10202 6302 m
2963 gs 1 -1 sc (3) col-1 show gr
2964 showpage
2965 %%%Page: 1 1
2966 $F2psEnd
2967 restore
2968 endFig
2969 3 f
2970 2112 3944(Fig.)N
2971 2263(1.)X
2972 1 f
2973 2343(An)X
2974 2461(edit)X
2975 2601(graph)X
2976 696 4164(A)N
2977 2 f
2978 786(trace)X
2979 1 f
2980 983(of)X
2981 1082(length)X
2982 1314(L)X
2983 1395(is)X
2984 1480(a)X
2985 1548(sequence)X
2986 1875(of)X
2987 1974(L)X
2988 2055(match)X
2989 2283(points,)X
2990 2530(\()X
2991 2563(x)X
2992 7 s
2993 2612 4180(1)N
2994 10 s
2995 2652 4164(,)N
2996 2678(y)X
2997 7 s
2998 2727 4180(1)N
2999 10 s
3000 2767 4164(\))N
3001 2800(\()X
3002 2833(x)X
3003 7 s
3004 2882 4180(2)N
3005 10 s
3006 2922 4164(,)N
3007 2948(y)X
3008 7 s
3009 2997 4180(2)N
3010 10 s
3011 3037 4164(\))N
3012 3097 4144(.)N
3013 3137(.)X
3014 3177(.)X
3015 3223 4164(\()N
3016 3256(x)X
3017 7 s
3018 3305 4180(L)N
3019 10 s
3020 3351 4164(,)N
3021 3377(y)X
3022 7 s
3023 3426 4180(L)N
3024 10 s
3025 3472 4164(\),)N
3026 3551(such)X
3027 3730(that)X
3028 3882(x)X
3029 7 s
3030 3931 4180(i)N
3031 10 s
3032 3966 4164(<)N
3033 4024(x)X
3034 7 s
3035 4073 4180(i)N
3036 9 f
3037 4098(+)X
3038 1 f
3039 4138(1)X
3040 10 s
3041 4204 4164(and)N
3042 576 4292(y)N
3043 7 s
3044 625 4308(i)N
3045 10 s
3046 660 4292(<)N
3047 718(y)X
3048 7 s
3049 767 4308(i)N
3050 9 f
3051 792(+)X
3052 1 f
3053 832(1)X
3054 10 s
3055 890 4292(for)N
3056 1008(successive)X
3057 1371(points)X
3058 1590(\(x)X
3059 7 s
3060 1666 4308(i)N
3061 10 s
3062 1688 4292(,y)N
3063 7 s
3064 1757 4308(i)N
3065 10 s
3066 1779 4292(\))N
3067 1830(and)X
3068 1970(\(x)X
3069 7 s
3070 2046 4308(i)N
3071 9 f
3072 2071(+)X
3073 1 f
3074 2111(1)X
3075 10 s
3076 2145 4292(,y)N
3077 7 s
3078 2214 4308(i)N
3079 9 f
3080 2239(+)X
3081 1 f
3082 2279(1)X
3083 10 s
3084 2313 4292(\),)N
3085 2384(i)X
3086 9 f
3087 2406(\316)X
3088 1 f
3089 2463([1,L)X
3090 9 f
3091 2599(-)X
3092 1 f
3093 2643(1].)X
3094 2774(Every)X
3095 2990(trace)X
3096 3171(is)X
3097 3248(in)X
3098 3334(exact)X
3099 3528 0.2404(correspondence)AX
3100 4057(with)X
3101 4222(the)X
3102 576 4420(diagonal)N
3103 873(edges)X
3104 1077(of)X
3105 1165(a)X
3106 1222(path)X
3107 1381(in)X
3108 1464(the)X
3109 1584(edit)X
3110 1726(graph)X
3111 1931(from)X
3112 2109(\(0,0\))X
3113 2285(to)X
3114 2369(\(N,M\).)X
3115 2634(The)X
3116 2781(sequence)X
3117 3098(of)X
3118 3187(match)X
3119 3405(points)X
3120 3622(visited)X
3121 3857(in)X
3122 3941(traversing)X
3123 4284(a)X
3124 576 4548(path)N
3125 751(from)X
3126 944(start)X
3127 1119(to)X
3128 1218(\256nish)X
3129 1432(is)X
3130 1522(easily)X
3131 1746(veri\256ed)X
3132 2028(to)X
3133 2127(be)X
3134 2240(a)X
3135 2313(trace.)X
3136 2547(Note)X
3137 2740(that)X
3138 2897(L)X
3139 2983(is)X
3140 3073(the)X
3141 3208(number)X
3142 3490(of)X
3143 3593(diagonal)X
3144 3905(edges)X
3145 4124(in)X
3146 4222(the)X
3147 576 4676(corresponding)N
3148 1064(path.)X
3149 1272(To)X
3150 1391(construct)X
3151 1715(a)X
3152 1781(path)X
3153 1949(from)X
3154 2135(a)X
3155 2201(trace,)X
3156 2408(take)X
3157 2572(the)X
3158 2700(sequence)X
3159 3025(of)X
3160 3122(diagonal)X
3161 3428(edges)X
3162 3641(corresponding)X
3163 4130(to)X
3164 4222(the)X
3165 576 4804(match)N
3166 796(points)X
3167 1015(of)X
3168 1106(the)X
3169 1228(trace)X
3170 1409(and)X
3171 1549(connect)X
3172 1823(successive)X
3173 2186(diagonals)X
3174 2517(with)X
3175 2683(a)X
3176 2743(series)X
3177 2950(of)X
3178 3041(horizontal)X
3179 3390(and)X
3180 3530(vertical)X
3181 3795(edges.)X
3182 4042(This)X
3183 4208(can)X
3184 576 4932(always)N
3185 828(be)X
3186 933(done)X
3187 1118(as)X
3188 1214(x)X
3189 7 s
3190 1263 4948(i)N
3191 10 s
3192 1298 4932(<)N
3193 1356(x)X
3194 7 s
3195 1405 4948(i)N
3196 9 f
3197 1430(+)X
3198 1 f
3199 1470(1)X
3200 10 s
3201 1533 4932(and)N
3202 1678(y)X
3203 7 s
3204 1727 4948(i)N
3205 10 s
3206 1762 4932(<)N
3207 1820(y)X
3208 7 s
3209 1869 4948(i)N
3210 9 f
3211 1894(+)X
3212 1 f
3213 1934(1)X
3214 10 s
3215 1998 4932(for)N
3216 2122(successive)X
3217 2491(match)X
3218 2717(points.)X
3219 2982(Note)X
3220 3168(that)X
3221 3318(several)X
3222 3576(paths)X
3223 3775(differing)X
3224 4086(only)X
3225 4258(in)X
3226 576 5060(their)N
3227 743(non-diagonal)X
3228 1186(edges)X
3229 1389(can)X
3230 1521(correspond)X
3231 1898(to)X
3232 1980(a)X
3233 2036(given)X
3234 2234(trace.)X
3235 2451(Figure)X
3236 2680(1)X
3237 2740(illustrates)X
3238 3071(this)X
3239 3206(relation)X
3240 3471(between)X
3241 3759(paths)X
3242 3948(and)X
3243 4084(traces.)X
3244 2381 6176(-)N
3245 2428(3)X
3246 2488(-)X
3247
3248 4 p
3249 %%Page: 4 4
3250 10 s 10 xH 0 xS 1 f
3251 696 704(A)N
3252 2 f
3253 774(subsequence)X
3254 1 f
3255 1200(of)X
3256 1287(a)X
3257 1343(string)X
3258 1545(is)X
3259 1618(any)X
3260 1754(string)X
3261 1956(obtained)X
3262 2252(by)X
3263 2352(deleting)X
3264 2630(zero)X
3265 2789(or)X
3266 2876(more)X
3267 3061(symbols)X
3268 3347(from)X
3269 3523(the)X
3270 3641(given)X
3271 3839(string.)X
3272 4081(A)X
3273 2 f
3274 4159(com-)X
3275 576 832(mon)N
3276 735(subsequence)X
3277 1 f
3278 1162(of)X
3279 1249(two)X
3280 1389(strings,)X
3281 1642(A)X
3282 1720(and)X
3283 1856(B,)X
3284 1949(is)X
3285 2022(a)X
3286 2078(subsequence)X
3287 2504(of)X
3288 2591(both.)X
3289 2793(Each)X
3290 2974(trace)X
3291 3151(gives)X
3292 3340(rise)X
3293 3476(to)X
3294 3558(a)X
3295 3614(common)X
3296 3914(subsequence)X
3297 576 960(of)N
3298 667(A)X
3299 749(and)X
3300 889(B)X
3301 966(and)X
3302 1106(vice)X
3303 1264(versa.)X
3304 1499(Speci\256cally,)X
3305 1922(a)X
3306 7 s
3307 1967 976(x)N
3308 4 s
3309 2000 987(1)N
3310 10 s
3311 2032 960(a)N
3312 7 s
3313 2077 976(x)N
3314 4 s
3315 2110 987(2)N
3316 10 s
3317 2162 940(.)N
3318 2202(.)X
3319 2242(.)X
3320 2288 960(a)N
3321 7 s
3322 2333 976(x)N
3323 4 s
3324 2366 987(L)N
3325 10 s
3326 2421 960(=)N
3327 2491(b)X
3328 7 s
3329 2540 976(y)N
3330 4 s
3331 2573 987(1)N
3332 10 s
3333 2605 960(b)N
3334 7 s
3335 2654 976(y)N
3336 4 s
3337 2687 987(2)N
3338 10 s
3339 2739 940(.)N
3340 2779(.)X
3341 2819(.)X
3342 2865 960(b)N
3343 7 s
3344 2914 976(y)N
3345 4 s
3346 2947 987(L)N
3347 10 s
3348 3002 960(is)N
3349 3080(a)X
3350 3141(common)X
3351 3446(subsequence)X
3352 3877(of)X
3353 3969(A)X
3354 4052(and)X
3355 4193(B)X
3356 4271(if)X
3357 576 1099(and)N
3358 712(only)X
3359 874(if)X
3360 943(\()X
3361 976(x)X
3362 7 s
3363 1025 1115(1)N
3364 10 s
3365 1065 1099(,)N
3366 1091(y)X
3367 7 s
3368 1140 1115(1)N
3369 10 s
3370 1180 1099(\))N
3371 1213(\()X
3372 1246(x)X
3373 7 s
3374 1295 1115(2)N
3375 10 s
3376 1335 1099(,)N
3377 1361(y)X
3378 7 s
3379 1410 1115(2)N
3380 10 s
3381 1450 1099(\))N
3382 1510 1079(.)N
3383 1550(.)X
3384 1590(.)X
3385 1636 1099(\()N
3386 1669(x)X
3387 7 s
3388 1718 1115(L)N
3389 10 s
3390 1764 1099(,)N
3391 1790(y)X
3392 7 s
3393 1839 1115(L)N
3394 10 s
3395 1885 1099(\))N
3396 1932(is)X
3397 2005(a)X
3398 2061(trace)X
3399 2238(of)X
3400 2325(A)X
3401 2403(and)X
3402 2539(B.)X
3403 696 1255(An)N
3404 2 f
3405 815(edit)X
3406 956(script)X
3407 1 f
3408 1159(for)X
3409 1274(A)X
3410 1353(and)X
3411 1490(B)X
3412 1564(is)X
3413 1638(a)X
3414 1695(set)X
3415 1805(of)X
3416 1893(insertion)X
3417 2194(and)X
3418 2332(deletion)X
3419 2612(commands)X
3420 2981(that)X
3421 3123(transform)X
3422 3457(A)X
3423 3537(into)X
3424 3683(B.)X
3425 3798(The)X
3426 2 f
3427 3945(delete)X
3428 4159(com-)X
3429 576 1383(mand)N
3430 1 f
3431 776(``x)X
3432 2 f
3433 876(D)X
3434 1 f
3435 934('')X
3436 1010(deletes)X
3437 1255(the)X
3438 1375(symbol)X
3439 1632(a)X
3440 7 s
3441 1677 1399(x)N
3442 10 s
3443 1733 1383(from)N
3444 1911(A.)X
3445 2031(The)X
3446 2 f
3447 2178(insert)X
3448 2381(command)X
3449 1 f
3450 2714(``x)X
3451 2833(I)X
3452 2885(b)X
3453 7 s
3454 2934 1399(1)N
3455 10 s
3456 2974 1383(,)N
3457 3000(b)X
3458 7 s
3459 3049 1399(2)N
3460 10 s
3461 3089 1383(,)N
3462 3135 1363(.)N
3463 3175(.)X
3464 3215(.)X
3465 3261 1383(b)N
3466 7 s
3467 3310 1399(t)N
3468 10 s
3469 3332 1383('')N
3470 3407(inserts)X
3471 3637(the)X
3472 3756(sequence)X
3473 4072(of)X
3474 4160(sym-)X
3475 576 1511(bols)N
3476 737(b)X
3477 7 s
3478 786 1527(1)N
3479 10 s
3480 846 1491(.)N
3481 886(.)X
3482 926(.)X
3483 972 1511(b)N
3484 7 s
3485 1021 1527(t)N
3486 10 s
3487 1071 1511(immediately)N
3488 1499(after)X
3489 1675(a)X
3490 7 s
3491 1720 1527(x)N
3492 10 s
3493 1754 1511(.)N
3494 1823(Script)X
3495 2043(commands)X
3496 2419(refer)X
3497 2601(to)X
3498 2692(symbol)X
3499 2956(positions)X
3500 3273(within)X
3501 3506(A)X
3502 3593(before)X
3503 3828(any)X
3504 3973(commands)X
3505 576 1639(have)N
3506 756(been)X
3507 936(performed.)X
3508 1338(One)X
3509 1499(must)X
3510 1681(think)X
3511 1872(of)X
3512 1966(the)X
3513 2091(set)X
3514 2207(of)X
3515 2301(commands)X
3516 2675(in)X
3517 2764(a)X
3518 2827(script)X
3519 3032(as)X
3520 3126(being)X
3521 3331(executed)X
3522 3644(simultaneously.)X
3523 4195(The)X
3524 576 1767(length)N
3525 796(of)X
3526 883(a)X
3527 939(script)X
3528 1137(is)X
3529 1210(the)X
3530 1328(number)X
3531 1593(of)X
3532 1680(symbols)X
3533 1966(inserted)X
3534 2240(and)X
3535 2376(deleted.)X
3536 696 1923(Every)N
3537 910(trace)X
3538 1089(corresponds)X
3539 1499(uniquely)X
3540 1801(to)X
3541 1885(an)X
3542 1983(edit)X
3543 2125(script.)X
3544 2365(Let)X
3545 2494(\()X
3546 2527(x)X
3547 7 s
3548 2576 1939(1)N
3549 10 s
3550 2616 1923(,)N
3551 2642(y)X
3552 7 s
3553 2691 1939(1)N
3554 10 s
3555 2731 1923(\))N
3556 2764(\()X
3557 2797(x)X
3558 7 s
3559 2846 1939(2)N
3560 10 s
3561 2886 1923(,)N
3562 2912(y)X
3563 7 s
3564 2961 1939(2)N
3565 10 s
3566 3001 1923(\))N
3567 3061 1903(.)N
3568 3101(.)X
3569 3141(.)X
3570 3187 1923(\()N
3571 3220(x)X
3572 7 s
3573 3269 1939(L)N
3574 10 s
3575 3315 1923(,)N
3576 3341(y)X
3577 7 s
3578 3390 1939(L)N
3579 10 s
3580 3436 1923(\))N
3581 3485(be)X
3582 3583(a)X
3583 3641(trace.)X
3584 3860(Let)X
3585 3989(y)X
3586 7 s
3587 4038 1939(0)N
3588 10 s
3589 9 f
3590 4085 1923(=)N
3591 1 f
3592 4142(0)X
3593 4204(and)X
3594 576 2051(y)N
3595 7 s
3596 625 2067(L)N
3597 9 f
3598 668(+)X
3599 1 f
3600 708(1)X
3601 10 s
3602 9 f
3603 755 2051(=)N
3604 1 f
3605 812(M)X
3606 9 f
3607 896(+)X
3608 1 f
3609 953(1.)X
3610 1102(The)X
3611 1295(associated)X
3612 1693(script)X
3613 1939(consists)X
3614 2260(of)X
3615 2395(the)X
3616 2561(commands:)X
3617 2998(``x)X
3618 2 f
3619 3098(D)X
3620 1 f
3621 3156('')X
3622 3278(for)X
3623 3440(x)X
3624 9 f
3625 3486(\316)X
3626 1 f
3627 3504(/)X
3628 3549({x)X
3629 7 s
3630 3636 2067(1)N
3631 10 s
3632 3676 2051(,)N
3633 3702(x)X
3634 7 s
3635 3751 2067(2)N
3636 10 s
3637 3791 2051(,)N
3638 3837 2031(.)N
3639 3877(.)X
3640 3917(.)X
3641 3963 2051(,)N
3642 3989(x)X
3643 7 s
3644 4038 2067(L)N
3645 10 s
3646 4078 2051(},)N
3647 4204(and)X
3648 576 2179(``x)N
3649 7 s
3650 679 2195(k)N
3651 10 s
3652 738 2179(I)N
3653 790(b)X
3654 7 s
3655 839 2195(y)N
3656 4 s
3657 872 2206(k)N
3658 7 s
3659 9 f
3660 901 2195(+)N
3661 1 f
3662 941(1)X
3663 10 s
3664 981 2179(,)N
3665 1027 2159(.)N
3666 1067(.)X
3667 1107(.)X
3668 1153 2179(,)N
3669 1179(b)X
3670 7 s
3671 1228 2195(y)N
3672 4 s
3673 1261 2206(k)N
3674 9 f
3675 1282(+)X
3676 1 f
3677 1305(1)X
3678 7 s
3679 9 f
3680 1334 2195(-)N
3681 1 f
3682 1374(1)X
3683 10 s
3684 1408 2179('')N
3685 1486(for)X
3686 1605(k)X
3687 1670(such)X
3688 1842(that)X
3689 1987(y)X
3690 7 s
3691 2036 2195(k)N
3692 10 s
3693 9 f
3694 2083 2179(+)N
3695 1 f
3696 2140(1)X
3697 2193(<)X
3698 2251(y)X
3699 7 s
3700 2300 2195(k)N
3701 9 f
3702 2337(+)X
3703 1 f
3704 2377(1)X
3705 10 s
3706 2411 2179(.)N
3707 2476(The)X
3708 2626(script)X
3709 2829(deletes)X
3710 3077(N)X
3711 9 f
3712 3148(-)X
3713 1 f
3714 3205(L)X
3715 3279(symbols)X
3716 3570(and)X
3717 3711(inserts)X
3718 3945(M)X
3719 9 f
3720 4029(-)X
3721 1 f
3722 4086(L)X
3723 4160(sym-)X
3724 576 2318(bols.)N
3725 770(So)X
3726 875(for)X
3727 990(every)X
3728 1190(trace)X
3729 1368(of)X
3730 1456(length)X
3731 1677(L)X
3732 1747(there)X
3733 1929(is)X
3734 2003(a)X
3735 2060(corresponding)X
3736 2540(script)X
3737 2739(of)X
3738 2827(length)X
3739 3047(D)X
3740 3125(=)X
3741 3190(N+M)X
3742 9 f
3743 (-)S
3744 1 f
3745 3408(2L.)X
3746 3557(To)X
3747 3666(map)X
3748 3824(an)X
3749 3920(edit)X
3750 4060(script)X
3751 4258(to)X
3752 576 2446(a)N
3753 632(trace,)X
3754 829(simply)X
3755 1066(perform)X
3756 1345(all)X
3757 1445(delete)X
3758 1657(commands)X
3759 2024(on)X
3760 2124(A,)X
3761 2222(observe)X
3762 2492(that)X
3763 2632(the)X
3764 2750(result)X
3765 2948(is)X
3766 3021(a)X
3767 3078(common)X
3768 3379(subsequence)X
3769 3806(of)X
3770 3894(A)X
3771 3973(and)X
3772 4110(B,)X
3773 4204(and)X
3774 576 2574(then)N
3775 740(map)X
3776 904(the)X
3777 1027(subsequence)X
3778 1458(to)X
3779 1545(its)X
3780 1645(unique)X
3781 1888(trace.)X
3782 2110(Note)X
3783 2291(that)X
3784 2436(inverting)X
3785 2750(the)X
3786 2873(action)X
3787 3094(of)X
3788 3186(the)X
3789 3309(insert)X
3790 3512(commands)X
3791 3884(gives)X
3792 4078(a)X
3793 4139(set)X
3794 4253(of)X
3795 576 2702(delete)N
3796 788(commands)X
3797 1155(that)X
3798 1295(map)X
3799 1453(B)X
3800 1526(to)X
3801 1608(the)X
3802 1726(same)X
3803 1911(common)X
3804 2211(subsequence.)X
3805 696 2858(Common)N
3806 1019(subsequences,)X
3807 1502(edit)X
3808 1648(scripts,)X
3809 1903(traces,)X
3810 2137(and)X
3811 2279(paths)X
3812 2474(from)X
3813 2656(\(0,0\))X
3814 2837(to)X
3815 2926(\(N,M\))X
3816 3156(in)X
3817 3245(the)X
3818 3370(edit)X
3819 3517(graph)X
3820 3727(are)X
3821 3853(all)X
3822 3960(isomorphic)X
3823 576 2986(formalisms.)N
3824 1002(The)X
3825 1153(edges)X
3826 1362(of)X
3827 1455(every)X
3828 1660(path)X
3829 1824(have)X
3830 2002(the)X
3831 2126(following)X
3832 2463(direct)X
3833 2672(interpretations)X
3834 3161(in)X
3835 3249(terms)X
3836 3453(of)X
3837 3546(the)X
3838 3670(corresponding)X
3839 4155(com-)X
3840 576 3114(mon)N
3841 746(subsequence)X
3842 1180(and)X
3843 1324(edit)X
3844 1472(script.)X
3845 1718(Each)X
3846 1907(diagonal)X
3847 2211(edge)X
3848 2391(ending)X
3849 2637(at)X
3850 2724(\(x,y\))X
3851 2907(gives)X
3852 3105(a)X
3853 3170(symbol,)X
3854 3454(a)X
3855 7 s
3856 3499 3130(x)N
3857 10 s
3858 3562 3114(\(=)N
3859 3663(b)X
3860 7 s
3861 3712 3130(y)N
3862 10 s
3863 3746 3114(\),)N
3864 3822(in)X
3865 3913(the)X
3866 4040(common)X
3867 576 3242(subsequence;)N
3868 1035(each)X
3869 1214(horizontal)X
3870 1570(edge)X
3871 1753(to)X
3872 1846(point)X
3873 2041(\(x,y\))X
3874 2226(corresponds)X
3875 2645(to)X
3876 2737(the)X
3877 2865(delete)X
3878 3087(command)X
3879 3433(``x)X
3880 3552(D'';)X
3881 3716(and)X
3882 3862(a)X
3883 3928(sequence)X
3884 4253(of)X
3885 576 3370(vertical)N
3886 847(edges)X
3887 1060(from)X
3888 1246(\(x,y\))X
3889 1430(to)X
3890 1522(\(x,z\))X
3891 1702(corresponds)X
3892 2120(to)X
3893 2212(the)X
3894 2341(insert)X
3895 2550(command,)X
3896 2917(``x)X
3897 3036(I)X
3898 3088(b)X
3899 7 s
3900 3137 3386(y)N
3901 9 f
3902 3174(+)X
3903 1 f
3904 3214(1)X
3905 10 s
3906 3254 3370(,)N
3907 3300 3350(.)N
3908 3340(.)X
3909 3380(.)X
3910 3426 3370(,)N
3911 3452(b)X
3912 7 s
3913 3501 3386(z)N
3914 10 s
3915 3532 3370(''.)N
3916 3657(Thus)X
3917 3848(the)X
3918 3977(number)X
3919 4253(of)X
3920 576 3498(vertical)N
3921 838(and)X
3922 975(horizontal)X
3923 1321(edges)X
3924 1525(in)X
3925 1608(the)X
3926 1727(path)X
3927 1886(is)X
3928 1960(the)X
3929 2079(length)X
3930 2300(of)X
3931 2388(its)X
3932 2483(corresponding)X
3933 2962(script,)X
3934 3180(the)X
3935 3298(number)X
3936 3563(of)X
3937 3650(diagonal)X
3938 3946(edges)X
3939 4149(is)X
3940 4222(the)X
3941 576 3626(length)N
3942 798(of)X
3943 887(its)X
3944 984(corresponding)X
3945 1465(subsequence,)X
3946 1913(and)X
3947 2051(the)X
3948 2171(total)X
3949 2335(number)X
3950 2602(of)X
3951 2691(edges)X
3952 2896(is)X
3953 2972(N+M)X
3954 9 f
3955 (-)S
3956 1 f
3957 3190(L.)X
3958 3302(Figure)X
3959 3534(1)X
3960 3597(illustrates)X
3961 3931(these)X
3962 4119(obser-)X
3963 576 3754(vations.)N
3964 696 3910(The)N
3965 841(problem)X
3966 1128(of)X
3967 1215(\256nding)X
3968 1461(a)X
3969 2 f
3970 1517(longest)X
3971 1768(common)X
3972 2060(subsequence)X
3973 1 f
3974 2486(\(LCS\))X
3975 2707(is)X
3976 2781(equivalent)X
3977 3136(to)X
3978 3219(\256nding)X
3979 3466(a)X
3980 3523(path)X
3981 3682(from)X
3982 3859(\(0,0\))X
3983 4034(to)X
3984 4117(\(N,M\))X
3985 576 4038(with)N
3986 744(the)X
3987 868(maximum)X
3988 1218(number)X
3989 1488(of)X
3990 1580(diagonal)X
3991 1881(edges.)X
3992 2129(The)X
3993 2279(problem)X
3994 2571(of)X
3995 2663(\256nding)X
3996 2914(a)X
3997 2 f
3998 2975(shortest)X
3999 3253(edit)X
4000 3398(script)X
4001 1 f
4002 3605(\(SES\))X
4003 3821(is)X
4004 3899(equivalent)X
4005 4258(to)X
4006 576 4166(\256nding)N
4007 824(a)X
4008 882(path)X
4009 1042(from)X
4010 1220(\(0,0\))X
4011 1396(to)X
4012 1480(\(N,M\))X
4013 1706(with)X
4014 1871(the)X
4015 1992(minimum)X
4016 2325(number)X
4017 2593(of)X
4018 2683(non-diagonal)X
4019 3129(edges.)X
4020 3375(These)X
4021 3590(are)X
4022 3712(dual)X
4023 3873(problems)X
4024 4194(as)X
4025 4284(a)X
4026 576 4294(path)N
4027 738(with)X
4028 904(the)X
4029 1026(maximum)X
4030 1374(number)X
4031 1643(of)X
4032 1734(diagonal)X
4033 2033(edges)X
4034 2239(has)X
4035 2369(the)X
4036 2490(minimal)X
4037 2779(number)X
4038 3047(of)X
4039 3137(non-diagonal)X
4040 3583(edges)X
4041 3789(\(D+2L)X
4042 4031(=)X
4043 4099(M+N\).)X
4044 576 4422(Consider)N
4045 891(adding)X
4046 1135(a)X
4047 1197(weight)X
4048 1441(or)X
4049 1534(cost)X
4050 1690(to)X
4051 1779(every)X
4052 1985(edge.)X
4053 2204(Give)X
4054 2387(diagonal)X
4055 2690(edges)X
4056 2900(weight)X
4057 3145(0)X
4058 3212(and)X
4059 3355(non-diagonal)X
4060 3805(edges)X
4061 4015(weight)X
4062 4260(1.)X
4063 576 4550(The)N
4064 724(LCS/SES)X
4065 1052(problem)X
4066 1342(is)X
4067 1418(equivalent)X
4068 1774(to)X
4069 1858(\256nding)X
4070 2106(a)X
4071 2164(minimum-cost)X
4072 2652(path)X
4073 2812(from)X
4074 2990(\(0,0\))X
4075 3166(to)X
4076 3250(\(N,M\))X
4077 3475(in)X
4078 3559(the)X
4079 3679(weighted)X
4080 3995(edit)X
4081 4137(graph)X
4082 576 4678(and)N
4083 712(is)X
4084 785(thus)X
4085 938(a)X
4086 994(special)X
4087 1237(instance)X
4088 1520(of)X
4089 1607(the)X
4090 1725(single-source)X
4091 2173(shortest)X
4092 2442(path)X
4093 2600(problem.)X
4094 3 f
4095 576 4934(3.)N
4096 656(An)X
4097 778(O\(\(M+N\)D\))X
4098 1206(Greedy)X
4099 1480(Algorithm)X
4100 1 f
4101 696 5090(The)N
4102 853(problem)X
4103 1152(of)X
4104 1251(\256nding)X
4105 1509(a)X
4106 1578(shortest)X
4107 1860(edit)X
4108 2013(script)X
4109 2224(reduces)X
4110 2503(to)X
4111 2598(\256nding)X
4112 2857(a)X
4113 2926(path)X
4114 3097(from)X
4115 3286(\(0,0\))X
4116 3473(to)X
4117 3568(\(N,M\))X
4118 3804(with)X
4119 3979(the)X
4120 4110(fewest)X
4121 576 5218(number)N
4122 849(of)X
4123 944(horizontal)X
4124 1297(and)X
4125 1441(vertical)X
4126 1710(edges.)X
4127 1961(Let)X
4128 2095(a)X
4129 2158(D-path)X
4130 2408(be)X
4131 2511(a)X
4132 2574(path)X
4133 2739(starting)X
4134 3006(at)X
4135 3091(\(0,0\))X
4136 3272(that)X
4137 3419(has)X
4138 3553(exactly)X
4139 3812(D)X
4140 3897(non-diagonal)X
4141 576 5346(edges.)N
4142 821(A)X
4143 901(0-path)X
4144 1128(must)X
4145 1305(consist)X
4146 1549(solely)X
4147 1762(of)X
4148 1851(diagonal)X
4149 2149(edges.)X
4150 2394(By)X
4151 2509(a)X
4152 2567(simple)X
4153 2802(induction,)X
4154 3146(it)X
4155 3212(follows)X
4156 3474(that)X
4157 3616(a)X
4158 3674(D-path)X
4159 3920(must)X
4160 4098(consist)X
4161 576 5474(of)N
4162 670(a)X
4163 733(\(D)X
4164 9 f
4165 831(-)X
4166 1 f
4167 888(1\)-path)X
4168 1147(followed)X
4169 1459(by)X
4170 1566(a)X
4171 1628(non-diagonal)X
4172 2077(edge)X
4173 2255(and)X
4174 2397(then)X
4175 2561(a)X
4176 2623(possibly)X
4177 2915(empty)X
4178 3141(sequence)X
4179 3462(of)X
4180 3555(diagonal)X
4181 3857(edges)X
4182 4066(called)X
4183 4284(a)X
4184 2 f
4185 576 5602(snake)N
4186 1 f
4187 759(.)X
4188 696 5758(Number)N
4189 983(the)X
4190 1105(diagonals)X
4191 1436(in)X
4192 1522(the)X
4193 1644(grid)X
4194 1797(of)X
4195 1888(edit)X
4196 2032(graph)X
4197 2239(vertices)X
4198 2513(so)X
4199 2608(that)X
4200 2752(diagonal)X
4201 3052(k)X
4202 3116(consists)X
4203 3393(of)X
4204 3484(the)X
4205 3606(points)X
4206 3826(\(x,y\))X
4207 4005(for)X
4208 4124(which)X
4209 576 5886(x)N
4210 9 f
4211 629(-)X
4212 1 f
4213 686(y)X
4214 9 f
4215 758(=)X
4216 1 f
4217 834(k.)X
4218 943(With)X
4219 1132(this)X
4220 1276(de\256nition)X
4221 1611(the)X
4222 1738(diagonals)X
4223 2074(are)X
4224 2202(numbered)X
4225 2552(from)X
4226 9 f
4227 2737(-)X
4228 1 f
4229 2781(M)X
4230 2880(to)X
4231 2970(N.)X
4232 3096(Note)X
4233 3280(that)X
4234 3428(a)X
4235 3492(vertical)X
4236 3761(\(horizontal\))X
4237 4168(edge)X
4238 2381 6176(-)N
4239 2428(4)X
4240 2488(-)X
4241
4242 5 p
4243 %%Page: 5 5
4244 10 s 10 xH 0 xS 1 f
4245 576 704(with)N
4246 739(start)X
4247 898(point)X
4248 1083(on)X
4249 1184(diagonal)X
4250 1481(k)X
4251 1542(has)X
4252 1670(end)X
4253 1807(point)X
4254 1992(on)X
4255 2093(diagonal)X
4256 2390(k)X
4257 9 f
4258 2443(-)X
4259 1 f
4260 2500(1)X
4261 2561(\(k)X
4262 9 f
4263 2641(+)X
4264 1 f
4265 2698(1\))X
4266 2786(and)X
4267 2923(a)X
4268 2980(snake)X
4269 3184(remains)X
4270 3459(on)X
4271 3560(the)X
4272 3679(diagonal)X
4273 3976(in)X
4274 4059(which)X
4275 4276(it)X
4276 576 832(starts.)N
4277 3 f
4278 576 988(Lemma)N
4279 859(1)X
4280 1 f
4281 (:)S
4282 996(A)X
4283 1074(D-path)X
4284 1317(must)X
4285 1492(end)X
4286 1628(on)X
4287 1728(diagonal)X
4288 2024(k)X
4289 9 f
4290 2084(\316)X
4291 1 f
4292 2161({)X
4293 9 f
4294 2231(-)X
4295 1 f
4296 2288(D)X
4297 2352(,)X
4298 9 f
4299 2404(-)X
4300 1 f
4301 2461(D)X
4302 9 f
4303 2532(+)X
4304 1 f
4305 2589(2)X
4306 2635(,)X
4307 2700 968(.)N
4308 2740(.)X
4309 2780(.)X
4310 2845 988(D)N
4311 9 f
4312 2916(-)X
4313 1 f
4314 2973(2)X
4315 3019(,)X
4316 3064(D)X
4317 3147(}.)X
4318 3 f
4319 576 1144(Proof)N
4320 1 f
4321 768(:)X
4322 696 1300(A)N
4323 777(0-path)X
4324 1006(consists)X
4325 1283(solely)X
4326 1498(of)X
4327 1589(diagonal)X
4328 1889(edges)X
4329 2096(and)X
4330 2236(starts)X
4331 2429(on)X
4332 2533(diagonal)X
4333 2833(0.)X
4334 2937(Hence)X
4335 3167(it)X
4336 3235(must)X
4337 3414(end)X
4338 3554(on)X
4339 3658(diagonal)X
4340 3958(0.)X
4341 4062(Assume)X
4342 576 1428(inductively)N
4343 957(that)X
4344 1098(a)X
4345 1154(D-path)X
4346 1397(must)X
4347 1572(end)X
4348 1708(on)X
4349 1808(diagonal)X
4350 2104(k)X
4351 2164(in)X
4352 2246({)X
4353 9 f
4354 2316(-)X
4355 1 f
4356 2373(D)X
4357 2437(,)X
4358 9 f
4359 2489(-)X
4360 1 f
4361 2546(D)X
4362 9 f
4363 2617(+)X
4364 1 f
4365 2674(2)X
4366 2720(,)X
4367 2785 1408(.)N
4368 2825(.)X
4369 2865(.)X
4370 2930 1428(D)N
4371 9 f
4372 3001(-)X
4373 1 f
4374 3058(2)X
4375 3104(,)X
4376 3149(D)X
4377 3232(}.)X
4378 3330(Every)X
4379 3542(\(D+1\)-path)X
4380 3924(consists)X
4381 4197(of)X
4382 4284(a)X
4383 576 1556(pre\256x)N
4384 785(D-path,)X
4385 1050(ending)X
4386 1290(on)X
4387 1392(say)X
4388 1521(diagonal)X
4389 1819(k,)X
4390 1901(a)X
4391 1959(non-diagonal)X
4392 2404(edge)X
4393 2578(ending)X
4394 2818(on)X
4395 2920(diagonal)X
4396 3218(k+1)X
4397 3365(or)X
4398 3454(k)X
4399 9 f
4400 (-)S
4401 1 f
4402 3538(1,)X
4403 3620(and)X
4404 3758(a)X
4405 3816(snake)X
4406 4022(that)X
4407 4165(must)X
4408 576 1684(also)N
4409 739(end)X
4410 889(on)X
4411 1003(diagonal)X
4412 1313(k+1)X
4413 1472(or)X
4414 1573(k)X
4415 9 f
4416 (-)S
4417 1 f
4418 1657(1.)X
4419 1771(It)X
4420 1854(then)X
4421 2026(follows)X
4422 2300(that)X
4423 2454(every)X
4424 2667(\(D+1\)-path)X
4425 3063(must)X
4426 3252(end)X
4427 3402(on)X
4428 3516(a)X
4429 3585(diagonal)X
4430 3894(in)X
4431 3989({)X
4432 4060(\()X
4433 9 f
4434 4087(-)X
4435 1 f
4436 4131(D\))X
4437 9 f
4438 4216(\261)X
4439 1 f
4440 4260(1,)X
4441 576 1812(\()N
4442 9 f
4443 603(-)X
4444 1 f
4445 647(D+2\))X
4446 9 f
4447 817(\261)X
4448 1 f
4449 861(1,)X
4450 961 1792(.)N
4451 1001(.)X
4452 1041(.)X
4453 1101 1812(\(D)N
4454 9 f
4455 1186(-)X
4456 1 f
4457 1230(2\))X
4458 9 f
4459 1297(\261)X
4460 1 f
4461 1341(1,)X
4462 1421(\(D\))X
4463 9 f
4464 1533(\261)X
4465 1 f
4466 1577(1)X
4467 1637(})X
4468 1695(=)X
4469 1760({)X
4470 9 f
4471 1818(-)X
4472 1 f
4473 1862(D)X
4474 9 f
4475 1920(-)X
4476 1 f
4477 1964(1,)X
4478 9 f
4479 2044(-)X
4480 1 f
4481 2088(D+1,)X
4482 2291 1792(.)N
4483 2331(.)X
4484 2371(.)X
4485 2431 1812(D)N
4486 9 f
4487 2489(-)X
4488 1 f
4489 2533(1,)X
4490 2613(D+1)X
4491 2776(}.)X
4492 2874(Thus)X
4493 3054(the)X
4494 3172(result)X
4495 3370(holds)X
4496 3563(by)X
4497 3663(induction.)X
4498 16 s
4499 10 f
4500 4065 1892(`)N
4501 10 s
4502 1 f
4503 576 1993(The)N
4504 721(lemma)X
4505 959(implies)X
4506 1214(that)X
4507 1354(D-paths)X
4508 1628(end)X
4509 1764(solely)X
4510 1975(on)X
4511 2075(odd)X
4512 2215(diagonals)X
4513 2542(when)X
4514 2736(D)X
4515 2814(is)X
4516 2887(odd)X
4517 3027(and)X
4518 3163(even)X
4519 3335(diagonals)X
4520 3662(when)X
4521 3856(D)X
4522 3934(is)X
4523 4007(even.)X
4524 696 2149(A)N
4525 774(D-path)X
4526 1017(is)X
4527 2 f
4528 1090(furthest)X
4529 1354(reaching)X
4530 1 f
4531 1659(in)X
4532 1741(diagonal)X
4533 2037(k)X
4534 2097(if)X
4535 2166(and)X
4536 2302(only)X
4537 2464(if)X
4538 2533(it)X
4539 2597(is)X
4540 2670(one)X
4541 2806(of)X
4542 2893(the)X
4543 3011(D-paths)X
4544 3285(ending)X
4545 3523(on)X
4546 3623(diagonal)X
4547 3919(k)X
4548 3979(whose)X
4549 4204(end)X
4550 576 2277(point)N
4551 761(has)X
4552 889(the)X
4553 1008(greatest)X
4554 1279(possible)X
4555 1562(row)X
4556 1708(\(column\))X
4557 2023(number)X
4558 2289(of)X
4559 2377(all)X
4560 2478(such)X
4561 2646(paths.)X
4562 2876(Informally,)X
4563 3260(of)X
4564 3348(all)X
4565 3449(D-paths)X
4566 3724(ending)X
4567 3962(in)X
4568 4044(diagonal)X
4569 576 2405(k,)N
4570 657(it)X
4571 722(ends)X
4572 890(furthest)X
4573 1156(from)X
4574 1333(the)X
4575 1452(origin,)X
4576 1684(\(0,0\).)X
4577 1899(The)X
4578 2045(following)X
4579 2377(lemma)X
4580 2617(gives)X
4581 2808(an)X
4582 2906(inductive)X
4583 3226 0.2167(characterization)AX
4584 3762(of)X
4585 3851(furthest)X
4586 4118(reach-)X
4587 576 2533(ing)N
4588 702(D-paths)X
4589 980(and)X
4590 1120(embodies)X
4591 1450(a)X
4592 1509(greedy)X
4593 1751(principle:)X
4594 2081(furthest)X
4595 2349(reaching)X
4596 2649(D-paths)X
4597 2926(are)X
4598 3048(obtained)X
4599 3347(by)X
4600 3450(greedily)X
4601 3736(extending)X
4602 4075(furthest)X
4603 576 2661(reaching)N
4604 873(\(D)X
4605 9 f
4606 971(-)X
4607 1 f
4608 1028(1\)-paths.)X
4609 3 f
4610 576 2817(Lemma)N
4611 859(2:)X
4612 1 f
4613 996(A)X
4614 1083(furthest)X
4615 1357(reaching)X
4616 1663(0-path)X
4617 1897(ends)X
4618 2073(at)X
4619 2160(\(x,x\),)X
4620 2363(where)X
4621 2589(x)X
4622 2658(is)X
4623 2740(min)X
4624 2870(\()X
4625 2922(z)X
4626 9 f
4627 2964(-)X
4628 1 f
4629 3014(1)X
4630 9 f
4631 3079 -4.0000(||)AX
4632 1 f
4633 3139(a)X
4634 7 s
4635 3184 2833(z)N
4636 10 s
4637 9 f
4638 3221 2817(\271)N
4639 1 f
4640 3271(b)X
4641 7 s
4642 3320 2833(z)N
4643 10 s
4644 3380 2817(or)N
4645 3476(z>M)X
4646 3657(or)X
4647 3753(z>N\).)X
4648 3988(A)X
4649 4075(furthest)X
4650 996 2945(reaching)N
4651 1300(D-path)X
4652 1550(on)X
4653 1657(diagonal)X
4654 1960(k)X
4655 2027(can)X
4656 2166(without)X
4657 2437(loss)X
4658 2588(of)X
4659 2682(generality)X
4660 3030(be)X
4661 3133(decomposed)X
4662 3560(into)X
4663 3710(a)X
4664 3772(furthest)X
4665 4043(reaching)X
4666 996 3073(\(D)N
4667 9 f
4668 1094(-)X
4669 1 f
4670 1151(1\)-path)X
4671 1403(on)X
4672 1503(diagonal)X
4673 1799(k)X
4674 9 f
4675 1852(-)X
4676 1 f
4677 1909(1,)X
4678 1989(followed)X
4679 2294(by)X
4680 2394(a)X
4681 2450(horizontal)X
4682 2795(edge,)X
4683 2988(followed)X
4684 3294(by)X
4685 3395(the)X
4686 3514(longest)X
4687 3766(possible)X
4688 4049(snake)X
4689 4253(or)X
4690 996 3201(it)N
4691 1071(may)X
4692 1240(be)X
4693 1347(decomposed)X
4694 1778(into)X
4695 1932(a)X
4696 1998(furthest)X
4697 2273(reaching)X
4698 2580(\(D)X
4699 9 f
4700 2678(-)X
4701 1 f
4702 2735(1\)-path)X
4703 2997(on)X
4704 3107(diagonal)X
4705 3413(k+1,)X
4706 3588(followed)X
4707 3903(by)X
4708 4013(a)X
4709 4079(vertical)X
4710 996 3329(edge,)N
4711 1188(followed)X
4712 1493(by)X
4713 1593(the)X
4714 1711(longest)X
4715 1962(possible)X
4716 2244(snake.)X
4717 3 f
4718 576 3485(Proof:)N
4719 1 f
4720 696 3641(The)N
4721 848(basis)X
4722 1036(for)X
4723 1158(0-paths)X
4724 1422(is)X
4725 1503(straightforward.)X
4726 2066(As)X
4727 2183(noted)X
4728 2389(before,)X
4729 2643(a)X
4730 2707(D-path)X
4731 2958(consists)X
4732 3239(of)X
4733 3334(a)X
4734 3398(\(D)X
4735 9 f
4736 3496(-)X
4737 1 f
4738 3553(1\)-path,)X
4739 3833(a)X
4740 3897(non-diagonal)X
4741 576 3769(edge,)N
4742 779(and)X
4743 926(a)X
4744 993(snake.)X
4745 1247(If)X
4746 1332(the)X
4747 1461(D-path)X
4748 1715(ends)X
4749 1893(on)X
4750 2004(diagonal)X
4751 2311(k,)X
4752 2402(it)X
4753 2477(follows)X
4754 2748(that)X
4755 2899(the)X
4756 3028(\(D)X
4757 9 f
4758 3126(-)X
4759 1 f
4760 3183(1\)-path)X
4761 3446(must)X
4762 3632(end)X
4763 3779(on)X
4764 3890(diagonal)X
4765 4196(k)X
4766 9 f
4767 (\261)S
4768 1 f
4769 4280(1)X
4770 576 3897(depending)N
4771 935(on)X
4772 1040(whether)X
4773 1324(a)X
4774 1385(vertical)X
4775 1651(or)X
4776 1743(horizontal)X
4777 2093(edge)X
4778 2270(precedes)X
4779 2577(the)X
4780 2700(\256nal)X
4781 2867(snake.)X
4782 3116(The)X
4783 3267(\256nal)X
4784 3435(snake)X
4785 3644(must)X
4786 3825(be)X
4787 3927(maximal,)X
4788 4253(as)X
4789 576 4025(the)N
4790 707(D-path)X
4791 963(would)X
4792 1195(not)X
4793 1329(be)X
4794 1437(furthest)X
4795 1714(reaching)X
4796 2023(if)X
4797 2104(the)X
4798 2234(snake)X
4799 2449(could)X
4800 2659(be)X
4801 2767(extended.)X
4802 3129(Suppose)X
4803 3432(that)X
4804 3584(the)X
4805 3714(\(D)X
4806 9 f
4807 3812(-)X
4808 1 f
4809 3869(1\)-path)X
4810 4133(is)X
4811 4218(not)X
4812 576 4153(furthest)N
4813 843(reaching)X
4814 1142(in)X
4815 1226(its)X
4816 1323(diagonal.)X
4817 1662(But)X
4818 1800(then)X
4819 1961(a)X
4820 2020(further)X
4821 2262(reaching)X
4822 2562(\(D)X
4823 9 f
4824 2660(-)X
4825 1 f
4826 2717(1\)-path)X
4827 2972(can)X
4828 3107(be)X
4829 3206(connected)X
4830 3555(to)X
4831 3640(the)X
4832 3761(\256nal)X
4833 3926(snake)X
4834 4132(of)X
4835 4222(the)X
4836 576 4281(D-path)N
4837 819(with)X
4838 981(an)X
4839 1077(appropriate)X
4840 1463(non-diagonal)X
4841 1906(move.)X
4842 2144(Thus)X
4843 2324(the)X
4844 2442(D-path)X
4845 2685(can)X
4846 2817(always)X
4847 3060(be)X
4848 3156(decomposed)X
4849 3577(as)X
4850 3664(desired.)X
4851 16 s
4852 10 f
4853 3996 4361(`)N
4854 10 s
4855 1 f
4856 696 4462(Given)N
4857 925(the)X
4858 1056(endpoints)X
4859 1400(of)X
4860 1500(the)X
4861 1632(furthest)X
4862 1911(reaching)X
4863 2222(\(D)X
4864 9 f
4865 2320(-)X
4866 1 f
4867 2377(1\)-paths)X
4868 2674(in)X
4869 2770(diagonal)X
4870 3080(k+1)X
4871 3239(and)X
4872 3389(k)X
4873 9 f
4874 (-)S
4875 1 f
4876 3473(1,)X
4877 3567(say)X
4878 3708(\(x',y'\))X
4879 3950(and)X
4880 4100(\(x",y"\))X
4881 576 4590(respectively,)N
4882 1008(Lemma)X
4883 1277(2)X
4884 1341(gives)X
4885 1534(a)X
4886 1594(procedure)X
4887 1940(for)X
4888 2058(computing)X
4889 2424(the)X
4890 2546(endpoint)X
4891 2850(of)X
4892 2941(the)X
4893 3062(furthest)X
4894 3330(reaching)X
4895 3630(D-path)X
4896 3876(in)X
4897 3961(diagonal)X
4898 4260(k.)X
4899 576 4718(Namely,)N
4900 872(take)X
4901 1028(the)X
4902 1148(further)X
4903 1389(reaching)X
4904 1688(of)X
4905 1777(\(x',y'+1\))X
4906 2092(and)X
4907 2230(\(x"+1,y"\))X
4908 2557(in)X
4909 2641(diagonal)X
4910 2939(k)X
4911 3001(and)X
4912 3139(then)X
4913 3299(follow)X
4914 3530(diagonal)X
4915 3828(edges)X
4916 4033(until)X
4917 4201(it)X
4918 4267(is)X
4919 576 4846(no)N
4920 681(longer)X
4921 911(possible)X
4922 1198(to)X
4923 1285(do)X
4924 1390(so)X
4925 1486(or)X
4926 1578(until)X
4927 1749(the)X
4928 1871(boundary)X
4929 2198(of)X
4930 2289(the)X
4931 2411(edit)X
4932 2555(graph)X
4933 2762(is)X
4934 2839(reached.)X
4935 3154(Furthermore,)X
4936 3599(by)X
4937 3703(Lemma)X
4938 3972(1)X
4939 4036(there)X
4940 4221(are)X
4941 576 4974(only)N
4942 743(D+1)X
4943 911(diagonals)X
4944 1243(in)X
4945 1330(which)X
4946 1551(a)X
4947 1613(D-path)X
4948 1862(can)X
4949 2000(end.)X
4950 2182(This)X
4951 2350(suggests)X
4952 2647(computing)X
4953 3015(the)X
4954 3139(endpoints)X
4955 3476(of)X
4956 3569(D-paths)X
4957 3849(in)X
4958 3937(the)X
4959 4061(relevant)X
4960 576 5102(D+1)N
4961 748(diagonals)X
4962 1084(for)X
4963 1207(successively)X
4964 1637(increasing)X
4965 1996(values)X
4966 2230(of)X
4967 2326(D)X
4968 2413(until)X
4969 2587(the)X
4970 2713(furthest)X
4971 2986(reaching)X
4972 3291(path)X
4973 3457(in)X
4974 3547(diagonal)X
4975 3851(N)X
4976 9 f
4977 3922(-)X
4978 1 f
4979 3979(M)X
4980 4078(reaches)X
4981 576 5230(\(N,M\).)N
4982 2381 6176(-)N
4983 2428(5)X
4984 2488(-)X
4985
4986 6 p
4987 %%Page: 6 6
4988 10 s 10 xH 0 xS 1 f
4989 3 f
4990 1184 704(For)N
4991 1 f
4992 1329(D)X
4993 9 f
4994 1407 MX
4995 (<-)172 1768 oc
4996 1 f
4997 1506(0)X
4998 3 f
4999 1566(to)X
5000 1 f
5001 1653(M+N)X
5002 3 f
5003 1847(Do)X
5004 1356 832(For)N
5005 1 f
5006 1501(k)X
5007 9 f
5008 1561 MX
5009 (<-)172 1768 oc
5010 1660(-)X
5011 1 f
5012 1704(D)X
5013 3 f
5014 1782(to)X
5015 1 f
5016 1869(D)X
5017 3 f
5018 1947(in)X
5019 2033(steps)X
5020 2222(of)X
5021 1 f
5022 2309(2)X
5023 3 f
5024 2369(Do)X
5025 1 f
5026 1529 960(Find)N
5027 1695(the)X
5028 1813(endpoint)X
5029 2113(of)X
5030 2200(the)X
5031 2318(furthest)X
5032 2583(reaching)X
5033 2880(D-path)X
5034 3123(in)X
5035 3205(diagonal)X
5036 3501(k.)X
5037 3 f
5038 1529 1088(If)N
5039 1 f
5040 1607(\(N,M\))X
5041 1830(is)X
5042 1903(the)X
5043 2021(endpoint)X
5044 3 f
5045 2321(Then)X
5046 2 f
5047 1702 1216(The)N
5048 1842(D-path)X
5049 2089(is)X
5050 2162(an)X
5051 2262(optimal)X
5052 2526(solution.)X
5053 3 f
5054 1702 1344(Stop)N
5055 1 f
5056 576 1564(The)N
5057 723(outline)X
5058 967(above)X
5059 1181(stops)X
5060 1367(when)X
5061 1564(the)X
5062 1685(smallest)X
5063 1970(D)X
5064 2051(is)X
5065 2127(encountered)X
5066 2543(for)X
5067 2660(which)X
5068 2879(there)X
5069 3063(is)X
5070 3139(a)X
5071 3198(furthest)X
5072 3466(reaching)X
5073 3766(D-path)X
5074 4012(to)X
5075 4097(\(N,M\).)X
5076 576 1692(This)N
5077 743(must)X
5078 923(happen)X
5079 1180(before)X
5080 1411(the)X
5081 1534(outer)X
5082 1724(loop)X
5083 1890(terminates)X
5084 2248(because)X
5085 2527(D)X
5086 2609(must)X
5087 2788(be)X
5088 2888(less)X
5089 3032(than)X
5090 3194(or)X
5091 3285(equal)X
5092 3483(to)X
5093 3569(M+N.)X
5094 3807(By)X
5095 3924(construction)X
5096 576 1820(this)N
5097 714(path)X
5098 875(must)X
5099 1054(be)X
5100 1154(minimal)X
5101 1444(with)X
5102 1610(respect)X
5103 1862(to)X
5104 1948(the)X
5105 2070(number)X
5106 2339(of)X
5107 2430(non-diagonal)X
5108 2877(edges)X
5109 3084(within)X
5110 3312(it.)X
5111 3420(Hence)X
5112 3650(it)X
5113 3718(is)X
5114 3795(a)X
5115 3855(solution)X
5116 4136(to)X
5117 4222(the)X
5118 576 1948(LCS/SES)N
5119 901(problem.)X
5120 696 2104(In)N
5121 793(presenting)X
5122 1157(the)X
5123 1285(detailed)X
5124 1569(algorithm)X
5125 1910(in)X
5126 2002(Figure)X
5127 2241(2)X
5128 2311(below,)X
5129 2557(a)X
5130 2623(number)X
5131 2898(of)X
5132 2995(simple)X
5133 3239(optimizations)X
5134 3705(are)X
5135 3835(employed.)X
5136 4222(An)X
5137 576 2232(array,)N
5138 795(V,)X
5139 906(contains)X
5140 1206(the)X
5141 1337(endpoints)X
5142 1681(of)X
5143 1781(the)X
5144 1912(furthest)X
5145 2190(reaching)X
5146 2500(D-paths)X
5147 2787(in)X
5148 2882(elements)X
5149 3200(V[)X
5150 9 f
5151 3285(-)X
5152 1 f
5153 3342(D],)X
5154 3480(V[)X
5155 9 f
5156 3565(-)X
5157 1 f
5158 3622(D)X
5159 9 f
5160 3693(+)X
5161 1 f
5162 3750(2],)X
5163 3890 2212(.)N
5164 3930(.)X
5165 3970(.)X
5166 4010 2232(,)N
5167 4063(V[D-2],)X
5168 576 2360(V[D].)N
5169 807(By)X
5170 921(Lemma)X
5171 1187(1)X
5172 1248(this)X
5173 1384(set)X
5174 1494(of)X
5175 1582(elements)X
5176 1888(is)X
5177 1962(disjoint)X
5178 2222(from)X
5179 2399(those)X
5180 2589(where)X
5181 2807(the)X
5182 2926(endpoints)X
5183 3258(of)X
5184 3346(the)X
5185 3465(\(D+1\)-paths)X
5186 3880(will)X
5187 4026(be)X
5188 4124(stored)X
5189 576 2488(in)N
5190 661(the)X
5191 781(next)X
5192 941(iteration)X
5193 1230(of)X
5194 1319(the)X
5195 1439(outer)X
5196 1626(loop.)X
5197 1830(Thus)X
5198 2012(the)X
5199 2132(array)X
5200 2320(V)X
5201 2400(can)X
5202 2534(simultaneously)X
5203 3040(hold)X
5204 3204(the)X
5205 3324(endpoints)X
5206 3657(of)X
5207 3746(the)X
5208 3866(D-paths)X
5209 4142(while)X
5210 576 2616(the)N
5211 697(\(D+1\)-path)X
5212 1082(endpoints)X
5213 1416(are)X
5214 1538(being)X
5215 1739(computed)X
5216 2079(from)X
5217 2259(them.)X
5218 2483(Furthermore,)X
5219 2928(to)X
5220 3014(record)X
5221 3244(an)X
5222 3344(endpoint)X
5223 3648(\(x,y\))X
5224 3826(in)X
5225 3912(diagonal)X
5226 4212(k)X
5227 4276(it)X
5228 576 2744(suf\256ces)N
5229 843(to)X
5230 927(retain)X
5231 1132(just)X
5232 1269(x)X
5233 1331(because)X
5234 1608(y)X
5235 1670(is)X
5236 1745(known)X
5237 1985(to)X
5238 2069(be)X
5239 2167(x)X
5240 9 f
5241 2220(-)X
5242 1 f
5243 2277(k.)X
5244 2379(Consequently,)X
5245 2861(V)X
5246 2941(is)X
5247 3015(an)X
5248 3112(array)X
5249 3299(of)X
5250 3387(integers)X
5251 3662(where)X
5252 3880(V[k])X
5253 4053(contains)X
5254 576 2872(the)N
5255 694(row)X
5256 839(index)X
5257 1037(of)X
5258 1124(the)X
5259 1242(endpoint)X
5260 1542(of)X
5261 1629(a)X
5262 1685(furthest)X
5263 1950(reaching)X
5264 2247(path)X
5265 2405(in)X
5266 2487(diagonal)X
5267 2783(k.)X
5268 3 f
5269 1184 3064(Constant)N
5270 1 f
5271 1515(MAX)X
5272 9 f
5273 1722(\316)X
5274 1 f
5275 1799([0,M+N])X
5276 3 f
5277 1184 3256(Var)N
5278 1 f
5279 1338(V:)X
5280 3 f
5281 1438(Array)X
5282 1 f
5283 1668([)X
5284 9 f
5285 1695(-)X
5286 1 f
5287 1752(MAX)X
5288 1959(..)X
5289 2019(MAX])X
5290 3 f
5291 2253(of)X
5292 2340(Integer)X
5293 1 f
5294 951 3473(1.)N
5295 1184(V[1])X
5296 9 f
5297 1356 MX
5298 (<-)172 1768 oc
5299 1 f
5300 1455(0)X
5301 951 3601(2.)N
5302 3 f
5303 1184(For)X
5304 1 f
5305 1329(D)X
5306 9 f
5307 1407 MX
5308 (<-)172 1768 oc
5309 1 f
5310 1506(0)X
5311 3 f
5312 1566(to)X
5313 1 f
5314 1653(MAX)X
5315 3 f
5316 1860(Do)X
5317 1 f
5318 951 3729(3.)N
5319 3 f
5320 1356(For)X
5321 1 f
5322 1501(k)X
5323 9 f
5324 1561 MX
5325 (<-)172 1768 oc
5326 1660(-)X
5327 1 f
5328 1704(D)X
5329 3 f
5330 1782(to)X
5331 1 f
5332 1869(D)X
5333 3 f
5334 1947(in)X
5335 2033(steps)X
5336 2222(of)X
5337 1 f
5338 2309(2)X
5339 3 f
5340 2369(Do)X
5341 1 f
5342 951 3857(4.)N
5343 3 f
5344 1529(If)X
5345 1 f
5346 1607(k)X
5347 1667(=)X
5348 9 f
5349 1732(-)X
5350 1 f
5351 1776(D)X
5352 3 f
5353 1854(or)X
5354 1 f
5355 1950(k)X
5356 9 f
5357 2010(\271)X
5358 1 f
5359 2074(D)X
5360 3 f
5361 2152(and)X
5362 1 f
5363 2300(V)X
5364 2364([)X
5365 2397(k)X
5366 9 f
5367 2450(-)X
5368 1 f
5369 2507(1)X
5370 2553(])X
5371 2600(<)X
5372 2665(V)X
5373 2729([)X
5374 2762(k)X
5375 9 f
5376 2815(+)X
5377 1 f
5378 2872(1)X
5379 2918(])X
5380 3 f
5381 2965(Then)X
5382 1 f
5383 951 3985(5.)N
5384 1702(x)X
5385 9 f
5386 1762 MX
5387 (<-)172 1768 oc
5388 1 f
5389 1861(V)X
5390 1925([)X
5391 1958(k)X
5392 9 f
5393 2011(+)X
5394 1 f
5395 2068(1)X
5396 2114(])X
5397 951 4113(6.)N
5398 3 f
5399 1529(Else)X
5400 1 f
5401 951 4241(7.)N
5402 1702(x)X
5403 9 f
5404 1762 MX
5405 (<-)172 1768 oc
5406 1 f
5407 1861(V)X
5408 1925([)X
5409 1958(k)X
5410 9 f
5411 2011(-)X
5412 1 f
5413 2068(1)X
5414 2114(]+1)X
5415 951 4369(8.)N
5416 1529(y)X
5417 9 f
5418 1589 MX
5419 (<-)172 1768 oc
5420 1 f
5421 1688(x)X
5422 9 f
5423 1741(-)X
5424 1 f
5425 1798(k)X
5426 951 4497(9.)N
5427 3 f
5428 1529(While)X
5429 1 f
5430 1753(x)X
5431 1813(<)X
5432 1878(N)X
5433 3 f
5434 1956(and)X
5435 1 f
5436 2104(y)X
5437 2164(<)X
5438 2229(M)X
5439 3 f
5440 2320(and)X
5441 1 f
5442 2468(a)X
5443 7 s
5444 2513 4513(x)N
5445 9 f
5446 2550(+)X
5447 1 f
5448 2590(1)X
5449 3 f
5450 10 s
5451 2644 4497(=)N
5452 1 f
5453 2710(b)X
5454 7 s
5455 2759 4513(y)N
5456 9 f
5457 2796(+)X
5458 1 f
5459 2836(1)X
5460 3 f
5461 10 s
5462 2890 4497(Do)N
5463 3028(\(x,y\))X
5464 9 f
5465 3202 MX
5466 (<-)172 1768 oc
5467 3 f
5468 3301(\(x+1,y+1\))X
5469 911 4625(10.)N
5470 1 f
5471 1529(V)X
5472 1593([)X
5473 1626(k)X
5474 1672(])X
5475 3 f
5476 9 f
5477 1719 MX
5478 (<-)172 1768 oc
5479 3 f
5480 1818(x)X
5481 911 4753(11.)N
5482 1529(If)X
5483 1607(x)X
5484 9 f
5485 1667(\263)X
5486 3 f
5487 1731(N)X
5488 1809(and)X
5489 1957(y)X
5490 9 f
5491 2017(\263)X
5492 3 f
5493 2081(M)X
5494 2177(Then)X
5495 911 4881(12.)N
5496 2 f
5497 1702(Length)X
5498 1944(of)X
5499 2026(an)X
5500 2126(SES)X
5501 2275(is)X
5502 2348(D)X
5503 3 f
5504 911 5009(13.)N
5505 1702(Stop)X
5506 911 5137(14.)N
5507 2 f
5508 1184(Length)X
5509 1426(of)X
5510 1508(an)X
5511 1608(SES)X
5512 1757(is)X
5513 1830(greater)X
5514 2086(than)X
5515 2248(MAX)X
5516 3 f
5517 1678 5393(FIGURE)N
5518 2009(2:)X
5519 2096(The)X
5520 2249(Greedy)X
5521 2523(LCS/SES)X
5522 2861(Algorithm)X
5523 1 f
5524 2381 6176(-)N
5525 2428(6)X
5526 2488(-)X
5527
5528 7 p
5529 %%Page: 7 7
5530 10 s 10 xH 0 xS 1 f
5531 696 704(As)N
5532 809(a)X
5533 869(practical)X
5534 1170(matter)X
5535 1399(the)X
5536 1521(algorithm)X
5537 1856(searches)X
5538 2153(D-paths)X
5539 2431(where)X
5540 2652(D)X
5541 9 f
5542 2710(\243)X
5543 1 f
5544 2754(MAX)X
5545 2965(and)X
5546 3105(if)X
5547 3178(no)X
5548 3283(such)X
5549 3455(path)X
5550 3618(reaches)X
5551 3885(\(N,M\))X
5552 4113(then)X
5553 4276(it)X
5554 576 832(reports)N
5555 820(that)X
5556 961(any)X
5557 1098(edit)X
5558 1239(script)X
5559 1438(for)X
5560 1553(A)X
5561 1632(and)X
5562 1769(B)X
5563 1843(must)X
5564 2019(be)X
5565 2116(longer)X
5566 2342(than)X
5567 2501(MAX)X
5568 2709(in)X
5569 2792(Line)X
5570 2960(14.)X
5571 3101(By)X
5572 3215(setting)X
5573 3449(the)X
5574 3568(constant)X
5575 3856(MAX)X
5576 4064(to)X
5577 4146(M+N)X
5578 576 960(as)N
5579 669(in)X
5580 757(the)X
5581 881(outline)X
5582 1129(above,)X
5583 1367(the)X
5584 1491(algorithm)X
5585 1828(is)X
5586 1907(guaranteed)X
5587 2286(to)X
5588 2375(\256nd)X
5589 2526(the)X
5590 2651(length)X
5591 2878(of)X
5592 2972(the)X
5593 3097(LCS/SES.)X
5594 3469(Figure)X
5595 3705(3)X
5596 3772(illustrates)X
5597 4110(the)X
5598 4235(D-)X
5599 576 1088(paths)N
5600 766(searched)X
5601 1069(when)X
5602 1264(the)X
5603 1383(algorithm)X
5604 1715(is)X
5605 1789(applied)X
5606 2046(to)X
5607 2129(the)X
5608 2248(example)X
5609 2541(of)X
5610 2629(Figure)X
5611 2858(1.)X
5612 2958(Note)X
5613 3134(that)X
5614 3274(a)X
5615 3330(\256ctitious)X
5616 3629(endpoint,)X
5617 3949(\()X
5618 3982(0)X
5619 4028(,)X
5620 9 f
5621 4061(-)X
5622 1 f
5623 4118(1)X
5624 4164(\),)X
5625 4231(set)X
5626 576 1216(up)N
5627 683(in)X
5628 772(Line)X
5629 946(1)X
5630 1013(of)X
5631 1107(the)X
5632 1232(algorithm)X
5633 1570(is)X
5634 1650(used)X
5635 1825(to)X
5636 1915(\256nd)X
5637 2067(the)X
5638 2193(endpoint)X
5639 2501(of)X
5640 2596(the)X
5641 2722(furthest)X
5642 2995(reaching)X
5643 3300(0-path.)X
5644 3573(Also)X
5645 3752(note)X
5646 3918(that)X
5647 4066(D-paths)X
5648 576 1344(extend)N
5649 814(off)X
5650 932(the)X
5651 1054(left)X
5652 1185(and)X
5653 1325(lower)X
5654 1532(boundaries)X
5655 1908(of)X
5656 1999(the)X
5657 2121(edit)X
5658 2265(graph)X
5659 2471(proper)X
5660 2704(as)X
5661 2794(the)X
5662 2915(algorithm)X
5663 3249(progresses.)X
5664 3651(This)X
5665 3816(boundary)X
5666 4142(situa-)X
5667 576 1472(tion)N
5668 720(is)X
5669 793(correctly)X
5670 1099(handled)X
5671 1373(by)X
5672 1473(assuming)X
5673 1795(that)X
5674 1935(there)X
5675 2116(are)X
5676 2235(no)X
5677 2335(diagonal)X
5678 2631(edges)X
5679 2834(in)X
5680 2916(this)X
5681 3051(region.)X
5682 3 f
5683 1136 1664 MXY
5684 2624
5685 3256
5686 142.00
5687 192.00
5688 470.00
5689 599.00
5690 startFig
5691 %!PS-Adobe-2.0
5692 %%%Title: frpaths.fig
5693 %%%Creator: fig2dev Version 3.1 Patchlevel 1
5694 %%%CreationDate: Mon Sep 22 11:05:56 1997
5695 %%%For: gene@bobcat.CS.Arizona.EDU (Gene Myers)
5696 %%%Orientation: Portrait
5697 %%%BoundingBox: 142 192 470 599
5698 %%%Pages: 1
5699 %%%BeginSetup
5700 %%%IncludeFeature: *PageSize Letter
5701 %%%EndSetup
5702 %%%EndComments
5703 /$F2psDict 200 dict def
5704 $F2psDict begin
5705 $F2psDict /mtrx matrix put
5706 /col-1 {} def
5707 /col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def
5708 /col1 {0.000 0.000 1.000 srgb} bind def
5709 /col2 {0.000 1.000 0.000 srgb} bind def
5710 /col3 {0.000 1.000 1.000 srgb} bind def
5711 /col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def
5712 /col5 {1.000 0.000 1.000 srgb} bind def
5713 /col6 {1.000 1.000 0.000 srgb} bind def
5714 /col7 {1.000 1.000 1.000 srgb} bind def
5715 /col8 {0.000 0.000 0.560 srgb} bind def
5716 /col9 {0.000 0.000 0.690 srgb} bind def
5717 /col10 {0.000 0.000 0.820 srgb} bind def
5718 /col11 {0.530 0.810 1.000 srgb} bind def
5719 /col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def
5720 /col13 {0.000 0.690 0.000 srgb} bind def
5721 /col14 {0.000 0.820 0.000 srgb} bind def
5722 /col15 {0.000 0.560 0.560 srgb} bind def
5723 /col16 {0.000 0.690 0.690 srgb} bind def
5724 /col17 {0.000 0.820 0.820 srgb} bind def
5725 /col18 {0.560 0.000 0.000 srgb} bind def
5726 /col19 {0.690 0.000 0.000 srgb} bind def
5727 /col20 {0.820 0.000 0.000 srgb} bind def
5728 /col21 {0.560 0.000 0.560 srgb} bind def
5729 /col22 {0.690 0.000 0.690 srgb} bind def
5730 /col23 {0.820 0.000 0.820 srgb} bind def
5731 /col24 {0.500 0.190 0.000 srgb} bind def
5732 /col25 {0.630 0.250 0.000 srgb} bind def
5733 /col26 {0.750 0.380 0.000 srgb} bind def
5734 /col27 {1.000 0.500 0.500 srgb} bind def
5735 /col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def
5736 /col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def
5737 /col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def
5738 /col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def
5739 /col32 {0.608 0.608 0.608 srgb} bind def
5740
5741 end
5742 save
5743 140.0 606.5 translate
5744 1 -1 scale
5745
5746 /clp {closepath} bind def
5747 /ef {eofill} bind def
5748 /gr {grestore} bind def
5749 /gs {gsave} bind def
5750 /l {lineto} bind def
5751 /m {moveto} bind def
5752 /n {newpath} bind def
5753 /s {stroke} bind def
5754 /slc {setlinecap} bind def
5755 /slj {setlinejoin} bind def
5756 /slw {setlinewidth} bind def
5757 /srgb {setrgbcolor} bind def
5758 /rot {rotate} bind def
5759 /sc {scale} bind def
5760 /tr {translate} bind def
5761 /tnt {dup dup currentrgbcolor
5762   4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
5763   4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add
5764   4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb}
5765   bind def
5766 /shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul
5767   4 -2 roll mul srgb} bind def
5768  /DrawEllipse {
5769         /endangle exch def
5770         /startangle exch def
5771         /yrad exch def
5772         /xrad exch def
5773         /y exch def
5774         /x exch def
5775         /savematrix mtrx currentmatrix def
5776         x y tr xrad yrad sc 0 0 1 startangle endangle arc
5777         closepath
5778         savematrix setmatrix
5779         } def
5780
5781 /$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def
5782 /$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def
5783 %%%EndProlog
5784
5785 $F2psBegin
5786 10 setmiterlimit
5787  0.03000 0.03000 sc
5788 7.500 slw
5789 %% Polyline
5790         [1 50.0] 50.000000 setdash
5791 n 903 3228 m 9003 11328 l  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
5792 %% Polyline
5793         [1 50.0] 50.000000 setdash
5794 n 903 4428 m 7803 11328 l  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
5795 %% Polyline
5796         [1 50.0] 50.000000 setdash
5797 n 903 5628 m 6903 11628 l  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
5798 %% Polyline
5799         [1 50.0] 50.000000 setdash
5800 n 903 6828 m 6303 12228 l  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
5801 %% Polyline
5802         [1 50.0] 50.000000 setdash
5803 n 903 8028 m 5703 12828 l  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
5804 %% Polyline
5805         [1 50.0] 50.000000 setdash
5806 n 5703 3228 m 10203 7728 l  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
5807 %% Polyline
5808         [1 50.0] 50.000000 setdash
5809 n 4503 3228 m 10203 8928 l  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
5810 %% Polyline
5811         [1 50.0] 50.000000 setdash
5812 n 903 9228 m 5103 13428 l  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
5813 %% Polyline
5814         [1 50.0] 50.000000 setdash
5815 n 3303 3228 m 10203 10128 l  gs col-1 s gr      [] 0 setdash
5816 15.000 slw
5817 %% Polyline
5818 n 903 3228 m 9303 3228 l  9303 10428 l  903 10428 l  clp  gs col-1 s gr
5819 7.500 slw
5820 %% Polyline
5821         [1 50.0] 50.000000 setdash
5822 n 2103 3228 m 10203 11328 l  gs col-1 s gr      [] 0 setdash
5823 0.000 slw
5824 %% Polyline
5825 n 6752 10352 m 7052 10352 l  7052 10502 l  6752 10502 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr
5826 %% Polyline
5827 n 5552 10352 m 5852 10352 l  5852 10502 l  5552 10502 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr
5828 %% Polyline
5829 n 9152 10352 m 9452 10352 l  9452 10502 l  9152 10502 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr
5830 %% Polyline
5831 n 4352 10352 m 4652 10352 l  4652 10502 l  4352 10502 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr
5832 %% Polyline
5833 n 9227 6677 m 9377 6677 l  9377 6977 l  9227 6977 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr
5834 %% Polyline
5835 n 9227 9077 m 9377 9077 l  9377 10427 l  9227 10427 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr
5836 15.000 slw
5837 %% Polyline
5838         [100.0] 0 setdash
5839 n 4502 4427 m 5627 4427 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr         [] 0 setdash
5840 n 5339.00 4367.00 m 5627.00 4427.00 l 5339.00 4487.00 l  5387.50 4427.50 l 5339.00 4367.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5841 2 slj
5842 45.000 slw
5843 %% Polyline
5844 n 602 4727 m 2402 2927 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col32 s gr
5845 0 slj
5846 15.000 slw
5847 %% Polyline
5848         [100.0] 0 setdash
5849 n 4502 4427 m 4502 5552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr         [] 0 setdash
5850 n 4562.00 5264.00 m 4502.00 5552.00 l 4442.00 5264.00 l  4502.50 5312.50 l 4562.00 5264.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5851 2 slj
5852 45.000 slw
5853 %% Polyline
5854 n 3902 13427 m 6902 10427 l  9302 10427 l  10202 9527 l  gs col32 s gr
5855 0 slj
5856 15.000 slw
5857 %% Polyline
5858         [100.0] 0 setdash
5859 n 3302 9227 m 4427 10352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
5860 n 4265.78 10105.93 m 4427.00 10352.00 l 4180.93 10190.78 l  4257.79 10182.79 l 4265.78 10105.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5861 %% Polyline
5862         [100.0] 0 setdash
5863 n 4502 8027 m 5627 9152 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr         [] 0 setdash
5864 n 5465.78 8905.93 m 5627.00 9152.00 l 5380.93 8990.78 l  5457.79 8982.79 l 5465.78 8905.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5865 %% Polyline
5866         [100.0] 0 setdash
5867 n 5702 4427 m 6827 5552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr         [] 0 setdash
5868 n 6665.78 5305.93 m 6827.00 5552.00 l 6580.93 5390.78 l  6657.79 5382.79 l 6665.78 5305.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5869 %% Polyline
5870         [100.0] 0 setdash
5871 n 4577 5702 m 5627 6752 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr         [] 0 setdash
5872 n 5465.78 6505.93 m 5627.00 6752.00 l 5380.93 6590.78 l  5457.79 6582.79 l 5465.78 6505.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5873 %% Polyline
5874         [100.0] 0 setdash
5875 n 5702 6827 m 6827 7952 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr         [] 0 setdash
5876 n 6665.78 7705.93 m 6827.00 7952.00 l 6580.93 7790.78 l  6657.79 7782.79 l 6665.78 7705.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5877 %% Polyline
5878 n 6902 8027 m 8027 8027 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5879 n 7739.00 7967.00 m 8027.00 8027.00 l 7739.00 8087.00 l  7787.50 8027.50 l 7739.00 7967.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5880 %% Polyline
5881 n 8102 5627 m 9227 6752 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5882 n 9065.78 6505.93 m 9227.00 6752.00 l 8980.93 6590.78 l  9057.79 6582.79 l 9065.78 6505.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5883 %% Polyline
5884 n 8102 8027 m 9227 9152 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5885 n 9065.78 8905.93 m 9227.00 9152.00 l 8980.93 8990.78 l  9057.79 8982.79 l 9065.78 8905.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5886 %% Polyline
5887 n 5702 9227 m 5702 10352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5888 n 5762.00 10064.00 m 5702.00 10352.00 l 5642.00 10064.00 l  5702.50 10112.50 l 5762.00 10064.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5889 %% Polyline
5890 n 4502 10427 m 4502 11552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5891 n 4562.00 11264.00 m 4502.00 11552.00 l 4442.00 11264.00 l  4502.50 11312.50 l 4562.00 11264.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5892 %% Polyline
5893 n 6902 5627 m 8027 5627 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5894 n 7739.00 5567.00 m 8027.00 5627.00 l 7739.00 5687.00 l  7787.50 5627.50 l 7739.00 5567.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5895 %% Polyline
5896         [100.0] 0 setdash
5897 n 5702 10427 m 5702 11552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
5898 n 5762.00 11264.00 m 5702.00 11552.00 l 5642.00 11264.00 l  5702.50 11312.50 l 5762.00 11264.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5899 %% Polyline
5900         [100.0] 0 setdash
5901 n 6902 9227 m 6902 10352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
5902 n 6962.00 10064.00 m 6902.00 10352.00 l 6842.00 10064.00 l  6902.50 10112.50 l 6962.00 10064.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5903 %% Polyline
5904 n 6902 8027 m 6902 9152 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5905 n 6962.00 8864.00 m 6902.00 9152.00 l 6842.00 8864.00 l  6902.50 8912.50 l 6962.00 8864.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5906 %% Polyline
5907         [100.0] 0 setdash
5908 n 9302 9227 m 9302 10352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr        [] 0 setdash
5909 n 9362.00 10064.00 m 9302.00 10352.00 l 9242.00 10064.00 l  9302.50 10112.50 l 9362.00 10064.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5910 %% Polyline
5911         [100.0] 0 setdash
5912 n 4502 11627 m 4502 12752 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr       [] 0 setdash
5913 n 4562.00 12464.00 m 4502.00 12752.00 l 4442.00 12464.00 l  4502.50 12512.50 l 4562.00 12464.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5914 2 slj
5915 45.000 slw
5916 %% Polyline
5917 n 3902 12227 m 6902 9227 l  9302 9227 l  9302 6827 l  9602 6527 l  gs col32 s gr
5918 %% Polyline
5919 n 3902 11027 m 7202 7727 l  6602 5927 l  9602 2927 l  gs col32 s gr
5920 %% Polyline
5921 n 2702 8627 m 3602 7727 l  3002 5927 l  6002 2927 l  gs col32 s gr
5922 %% Polyline
5923 n 602 3527 m 1202 2927 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col32 s gr
5924 0 slj
5925 0.000 slw
5926 %% Polyline
5927 n 828 3153 m 978 3153 l  978 5778 l  828 5778 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr
5928 %% Polyline
5929 n 828 3153 m 3528 3153 l  3528 3303 l  828 3303 l  clp gs col7 1.00 shd ef gr
5930 15.000 slw
5931 %% Polyline
5932 n 902 2027 m 902 3152 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5933 n 962.00 2864.00 m 902.00 3152.00 l 842.00 2864.00 l  902.50 2912.50 l 962.00 2864.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5934 %% Polyline
5935         [100.0] 0 setdash
5936 n 902 3227 m 2027 3227 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr  [] 0 setdash
5937 n 1739.00 3167.00 m 2027.00 3227.00 l 1739.00 3287.00 l  1787.50 3227.50 l 1739.00 3167.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5938 %% Polyline
5939         [100.0] 0 setdash
5940 n 902 3227 m 902 4352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr   [] 0 setdash
5941 n 962.00 4064.00 m 902.00 4352.00 l 842.00 4064.00 l  902.50 4112.50 l 962.00 4064.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5942 %% Polyline
5943 n 902 4427 m 902 5552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5944 n 962.00 5264.00 m 902.00 5552.00 l 842.00 5264.00 l  902.50 5312.50 l 962.00 5264.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5945 %% Polyline
5946 n 902 5627 m 2027 6752 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5947 n 1865.78 6505.93 m 2027.00 6752.00 l 1780.93 6590.78 l  1857.79 6582.79 l 1865.78 6505.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5948 %% Polyline
5949 n 2102 3227 m 2102 4352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5950 n 2162.00 4064.00 m 2102.00 4352.00 l 2042.00 4064.00 l  2102.50 4112.50 l 2162.00 4064.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5951 %% Polyline
5952 n 2102 4427 m 3227 5552 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5953 n 3065.78 5305.93 m 3227.00 5552.00 l 2980.93 5390.78 l  3057.79 5382.79 l 3065.78 5305.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5954 %% Polyline
5955 n 2102 3227 m 3227 3227 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5956 n 2939.00 3167.00 m 3227.00 3227.00 l 2939.00 3287.00 l  2987.50 3227.50 l 2939.00 3167.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5957 %% Polyline
5958 n 3302 3227 m 4427 4352 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5959 n 4265.78 4105.93 m 4427.00 4352.00 l 4180.93 4190.78 l  4257.79 4182.79 l 4265.78 4105.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5960 %% Polyline
5961 n 2102 6827 m 3227 7952 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr
5962 n 3065.78 7705.93 m 3227.00 7952.00 l 2980.93 7790.78 l  3057.79 7782.79 l 3065.78 7705.93 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5963 %% Polyline
5964         [100.0] 0 setdash
5965 n 3302 8027 m 3302 9152 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr         [] 0 setdash
5966 n 3362.00 8864.00 m 3302.00 9152.00 l 3242.00 8864.00 l  3302.50 8912.50 l 3362.00 8864.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5967 %% Polyline
5968         [100.0] 0 setdash
5969 n 3302 8027 m 4427 8027 l gs col7 1.00 shd ef gr  gs col-1 s gr         [] 0 setdash
5970 n 4139.00 7967.00 m 4427.00 8027.00 l 4139.00 8087.00 l  4187.50 8027.50 l 4139.00 7967.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col-1 s gr
5971 7.500 slw
5972 %% Ellipse
5973 n 4502 8027 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
5974
5975 %% Ellipse
5976 n 4502 11627 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
5977
5978 %% Ellipse
5979 n 5702 10427 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
5980
5981 %% Ellipse
5982 n 9302 9227 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
5983
5984 %% Ellipse
5985 n 8102 8027 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
5986
5987 %% Ellipse
5988 n 8102 5627 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
5989
5990 %% Ellipse
5991 n 9302 6827 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
5992
5993 %% Ellipse
5994 n 4502 12827 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
5995
5996 %% Ellipse
5997 n 5702 11627 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
5998
5999 %% Ellipse
6000 n 6902 10427 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6001
6002 %% Ellipse
6003 n 9302 10427 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6004
6005 %% Ellipse
6006 n 6902 9227 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6007
6008 %% Ellipse
6009 n 6902 5627 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6010
6011 %% Ellipse
6012 n 5702 6827 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6013
6014 %% Ellipse
6015 n 3302 9227 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6016
6017 %% Ellipse
6018 n 4502 10427 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6019
6020 %% Ellipse
6021 n 5702 9227 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6022
6023 %% Ellipse
6024 n 3302 8027 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6025
6026 %% Ellipse
6027 n 902 2027 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6028
6029 %% Ellipse
6030 n 2103 6828 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6031
6032 %% Ellipse
6033 n 5703 4428 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6034
6035 %% Ellipse
6036 n 4503 5628 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6037
6038 %% Ellipse
6039 n 3303 5628 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6040
6041 %% Ellipse
6042 n 4503 4428 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6043
6044 %% Ellipse
6045 n 2103 4428 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6046
6047 %% Ellipse
6048 n 903 4428 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6049
6050 %% Ellipse
6051 n 903 5628 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6052
6053 %% Ellipse
6054 n 3303 3228 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6055
6056 %% Ellipse
6057 n 6902 8027 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6058
6059 %% Ellipse
6060 n 2103 3228 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6061
6062 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6063 3077 1727 m
6064 gs 1 -1 sc (Envelope of D-Path Endpoints) col-1 show gr
6065 %% Ellipse
6066 n 903 3228 75 75 0 360 DrawEllipse gs col7 0.00 shd ef gr gs col-1 s gr
6067
6068 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6069 1201 2851 m
6070 gs 1 -1 sc (D=0) col-1 show gr
6071 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6072 2401 2851 m
6073 gs 1 -1 sc (D=1) col-1 show gr
6074 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6075 6001 2851 m
6076 gs 1 -1 sc (D=2) col-1 show gr
6077 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6078 9601 2851 m
6079 gs 1 -1 sc (D=3) col-1 show gr
6080 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6081 10276 7876 m
6082 gs 1 -1 sc (4) col-1 show gr
6083 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6084 10276 10276 m
6085 gs 1 -1 sc (2) col-1 show gr
6086 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6087 10276 11476 m
6088 gs 1 -1 sc (1) col-1 show gr
6089 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6090 9676 6676 m
6091 gs 1 -1 sc (D=4) col-1 show gr
6092 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6093 10276 9076 m
6094 gs 1 -1 sc (3) col-1 show gr
6095 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6096 10276 9676 m
6097 gs 1 -1 sc (D=5) col-1 show gr
6098 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6099 8926 11701 m
6100 gs 1 -1 sc (0) col-1 show gr
6101 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6102 7651 11701 m
6103 gs 1 -1 sc (-1) col-1 show gr
6104 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6105 6826 11926 m
6106 gs 1 -1 sc (-2) col-1 show gr
6107 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6108 6226 12526 m
6109 gs 1 -1 sc (-3) col-1 show gr
6110 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6111 5626 13126 m
6112 gs 1 -1 sc (-4) col-1 show gr
6113 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6114 5026 13726 m
6115 gs 1 -1 sc (-5) col-1 show gr
6116 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6117 76 3226 m
6118 gs 1 -1 sc (\(0,0\)) col-1 show gr
6119 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6120 8701 10801 m
6121 gs 1 -1 sc (\(7,6\)) col-1 show gr
6122 2 slj
6123 15.000 slw
6124 %% Polyline
6125 n 451 376 m 1651 376 l  gs col0 s gr
6126 0 slj
6127 n 1363.00 316.00 m 1651.00 376.00 l 1363.00 436.00 l  1411.50 376.50 l 1363.00 316.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr
6128 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6129 1951 526 m
6130 gs 1 -1 sc (Even Extensions) col-1 show gr
6131 2 slj
6132 7.500 slw
6133 %% Polyline
6134         [1 50.0] 50.000000 setdash
6135 n 5251 376 m 6451 376 l  gs col0 s gr   [] 0 setdash
6136 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6137 6751 526 m
6138 gs 1 -1 sc (Diagonals) col-1 show gr
6139 15.000 slw
6140 %% Polyline
6141 n 5251 976 m 6451 976 l  gs col0 s gr
6142 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6143 6751 1126 m
6144 gs 1 -1 sc (Edit Graph Boundary) col-1 show gr
6145 %% Polyline
6146         [100.0] 0 setdash
6147 n 452 977 m 1652 977 l  gs col0 s gr    [] 0 setdash
6148 0 slj
6149 n 1364.00 917.00 m 1652.00 977.00 l 1364.00 1037.00 l  1412.50 977.50 l 1364.00 917.00 l clp gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr
6150 /Helvetica-Bold findfont 360.00 scalefont setfont
6151 1952 1127 m
6152 gs 1 -1 sc (Odd Extensions) col-1 show gr
6153 2 slj
6154 45.000 slw
6155 %% Polyline
6156 n 1577 1577 m 2777 1577 l  gs col32 s gr
6157 showpage
6158 %%%Page: 1 1
6159 $F2psEnd
6160 restore
6161 endFig
6162 1913 5176(Fig.)N
6163 2064(3.)X
6164 2144(Furthest)X
6165 2458(reaching)X
6166 2776(paths.)X
6167 1 f
6168 696 5396(The)N
6169 844(greedy)X
6170 1086(algorithm)X
6171 1420(takes)X
6172 1608(at)X
6173 1689(most)X
6174 1867(O\(\(M+N\)D\))X
6175 2289(time.)X
6176 2495(Lines)X
6177 2697(1)X
6178 2761(and)X
6179 2901(14)X
6180 3005(consume)X
6181 3314(O\(1\))X
6182 3490(time.)X
6183 3696(The)X
6184 3845(inner)X
6185 2 f
6186 4034(For)X
6187 1 f
6188 4178(loop)X
6189 576 5524(\(Line)N
6190 772(3\))X
6191 861(is)X
6192 935(repeated)X
6193 1229(at)X
6194 1308(most)X
6195 1484(\(D+1\)\(D+2\)/2)X
6196 1961(times)X
6197 2155(because)X
6198 2431(the)X
6199 2550(outer)X
6200 2 f
6201 2736(For)X
6202 1 f
6203 2877(loop)X
6204 3040(\(Line)X
6205 3235(3\))X
6206 3323(is)X
6207 3397(repeated)X
6208 3691(D+1)X
6209 3855(times)X
6210 4049(and)X
6211 4186(dur-)X
6212 576 5652(ing)N
6213 700(its)X
6214 797(k)X
6215 7 s
6216 841 5620(th)N
6217 10 s
6218 913 5652(iteration)N
6219 1202(the)X
6220 1322(inner)X
6221 1509(loop)X
6222 1673(is)X
6223 1748(repeated)X
6224 2043(at)X
6225 2123(most)X
6226 2300(k)X
6227 2362(times.)X
6228 2597(All)X
6229 2721(the)X
6230 2841(lines)X
6231 3014(within)X
6232 3240(this)X
6233 3378(inner)X
6234 3566(loop)X
6235 3731(take)X
6236 3888(constant)X
6237 4178(time)X
6238 576 5780(except)N
6239 814(for)X
6240 936(the)X
6241 2 f
6242 1062(While)X
6243 1 f
6244 1277(loop)X
6245 1447(\(Line)X
6246 1649(9\).)X
6247 1784(Thus)X
6248 1972(O\(D)X
6249 7 s
6250 2119 5748(2)N
6251 10 s
6252 2153 5780(\))N
6253 2208(time)X
6254 2378(is)X
6255 2459(spent)X
6256 2656(executing)X
6257 2996(Lines)X
6258 3201(2-8)X
6259 3335(and)X
6260 3478(10-13.)X
6261 3732(The)X
6262 2 f
6263 3884(While)X
6264 1 f
6265 4098(loop)X
6266 4267(is)X
6267 2381 6176(-)N
6268 2428(7)X
6269 2488(-)X
6270
6271 8 p
6272 %%Page: 8 8
6273 10 s 10 xH 0 xS 1 f
6274 576 704(iterated)N
6275 837(once)X
6276 1009(for)X
6277 1123(each)X
6278 1291(diagonal)X
6279 1587(traversed)X
6280 1902(in)X
6281 1984(the)X
6282 2102(extension)X
6283 2429(of)X
6284 2516(furthest)X
6285 2781(reaching)X
6286 3078(paths.)X
6287 3307(But)X
6288 3442(at)X
6289 3520(most)X
6290 3696(O\(\(M+N\)D\))X
6291 4115(diago-)X
6292 576 832(nals)N
6293 729(are)X
6294 852(traversed)X
6295 1171(since)X
6296 1360(all)X
6297 1464(D-paths)X
6298 1742(lie)X
6299 1846(between)X
6300 2138(diagonals)X
6301 9 f
6302 2469(-)X
6303 1 f
6304 2526(D)X
6305 2608(and)X
6306 2748(D)X
6307 2830(and)X
6308 2970(there)X
6309 3155(are)X
6310 3278(at)X
6311 3360(most)X
6312 3538(\(2D+1\)min\(N,M\))X
6313 4125(points)X
6314 576 960(within)N
6315 808(this)X
6316 951(band.)X
6317 1175(Thus)X
6318 1363(the)X
6319 1489(algorithm)X
6320 1828(requires)X
6321 2115(a)X
6322 2179(total)X
6323 2349(of)X
6324 2444(O\(\(M+N\)D\))X
6325 2870(time.)X
6326 3080(Note)X
6327 3264(that)X
6328 3412(just)X
6329 3555(Line)X
6330 3731(9,)X
6331 3820(the)X
6332 3947(traversal)X
6333 4253(of)X
6334 576 1088(snakes,)N
6335 836(is)X
6336 915(the)X
6337 1039(limiting)X
6338 1317(step.)X
6339 1512(The)X
6340 1663(rest)X
6341 1805(of)X
6342 1898(the)X
6343 2022(algorithm)X
6344 2359(is)X
6345 2438(O\(D)X
6346 7 s
6347 2585 1056(2)N
6348 10 s
6349 2619 1088(\).)N
6350 2712(Furthermore)X
6351 3139(the)X
6352 3262(algorithm)X
6353 3598(never)X
6354 3802(takes)X
6355 3992(more)X
6356 4182(than)X
6357 576 1216(O\(\(M+N\)MAX\))N
6358 1123(time)X
6359 1285(in)X
6360 1367(the)X
6361 1485(practical)X
6362 1782(case)X
6363 1941(where)X
6364 2158(the)X
6365 2276(threshold)X
6366 2594(MAX)X
6367 2801(is)X
6368 2874(set)X
6369 2983(to)X
6370 3065(a)X
6371 3121(value)X
6372 3315(much)X
6373 3513(less)X
6374 3653(than)X
6375 3811(M+N.)X
6376 696 1410(The)N
6377 841(search)X
6378 1067(of)X
6379 1155(the)X
6380 1274(greedy)X
6381 1514(algorithm)X
6382 1846(traces)X
6383 2055(the)X
6384 2174(optimal)X
6385 2439(D-paths)X
6386 2714(among)X
6387 2953(others.)X
6388 3210(But)X
6389 3346(only)X
6390 3509(the)X
6391 3628(current)X
6392 3877(set)X
6393 3987(of)X
6394 4075(furthest)X
6395 576 1538(reaching)N
6396 875(endpoints)X
6397 1208(are)X
6398 1329(retained)X
6399 1610(in)X
6400 1694(V.)X
6401 1814(Consequently,)X
6402 2296(only)X
6403 2460(the)X
6404 2580(length)X
6405 2802(of)X
6406 2891(an)X
6407 2989(SES/LCS)X
6408 3316(can)X
6409 3450(be)X
6410 3548(reported)X
6411 3838(in)X
6412 3922(Line)X
6413 4090(12.)X
6414 4231(To)X
6415 576 1666(explicitly)N
6416 901(generate)X
6417 1197(a)X
6418 1256(solution)X
6419 1536(path,)X
6420 1717(O)X
6421 1781(\()X
6422 1814(D)X
6423 7 s
6424 1876 1634(2)N
6425 10 s
6426 1916 1666(\))N
6427 1966(space)X
6428 9 f
6429 2145 1626(*)N
6430 1 f
6431 2208 1666(is)N
6432 2284(used)X
6433 2454(to)X
6434 2539(store)X
6435 2718(a)X
6436 2777(copy)X
6437 2956(of)X
6438 3046(V)X
6439 3127(after)X
6440 3298(each)X
6441 3469(iteration)X
6442 3759(of)X
6443 3849(the)X
6444 3970(outer)X
6445 4158(loop.)X
6446 576 1794(Let)N
6447 704(V)X
6448 7 s
6449 771 1810(d)N
6450 10 s
6451 826 1794(be)N
6452 923(the)X
6453 1042(copy)X
6454 1219(of)X
6455 1307(V)X
6456 1386(kept)X
6457 1545(after)X
6458 1714(the)X
6459 1833(d)X
6460 7 s
6461 1877 1762(th)N
6462 10 s
6463 1948 1794(iteration.)N
6464 2276(To)X
6465 2386(list)X
6466 2503(an)X
6467 2599(optimal)X
6468 2863(path)X
6469 3021(from)X
6470 3197(\(0,0\))X
6471 3371(to)X
6472 3453(the)X
6473 3571(point)X
6474 3755(V)X
6475 7 s
6476 3822 1810(d)N
6477 10 s
6478 3862 1794([)N
6479 3895(k)X
6480 3941(])X
6481 3988(\256rst)X
6482 4132(deter-)X
6483 576 1922(mine)N
6484 761(whether)X
6485 1045(it)X
6486 1114(is)X
6487 1192(at)X
6488 1275(the)X
6489 1398(end)X
6490 1540(of)X
6491 1633(a)X
6492 1695(maximal)X
6493 2001(snake)X
6494 2210(following)X
6495 2547(a)X
6496 2609(vertical)X
6497 2876(edge)X
6498 3054(from)X
6499 3236(V)X
6500 7 s
6501 3303 1938(d)N
6502 9 f
6503 3340(-)X
6504 1 f
6505 3380(1)X
6506 10 s
6507 3420 1922([)N
6508 3453(k)X
6509 9 f
6510 3506(+)X
6511 1 f
6512 3563(1)X
6513 3609(])X
6514 3662(or)X
6515 3755(a)X
6516 3817(horizontal)X
6517 4168(edge)X
6518 576 2050(from)N
6519 760(V)X
6520 7 s
6521 827 2066(d)N
6522 9 f
6523 864(-)X
6524 1 f
6525 904(1)X
6526 10 s
6527 944 2050([)N
6528 977(k)X
6529 9 f
6530 1030(-)X
6531 1 f
6532 1087(1)X
6533 1133(].)X
6534 1228(To)X
6535 1345(be)X
6536 1449(concrete,)X
6537 1770(suppose)X
6538 2056(it)X
6539 2128(is)X
6540 2209(V)X
6541 7 s
6542 2276 2066(d)N
6543 9 f
6544 2313(-)X
6545 1 f
6546 2353(1)X
6547 10 s
6548 2393 2050([)N
6549 2426(k)X
6550 9 f
6551 2479(-)X
6552 1 f
6553 2536(1)X
6554 2582(].)X
6555 2677(Recursively)X
6556 3088(list)X
6557 3213(an)X
6558 3316(optimal)X
6559 3587(path)X
6560 3752(from)X
6561 3935(\(0,0\))X
6562 4116(to)X
6563 4205(this)X
6564 576 2178(point)N
6565 761(and)X
6566 898(then)X
6567 1057(list)X
6568 1175(the)X
6569 1294(vertical)X
6570 1556(edge)X
6571 1729(and)X
6572 1866(maximal)X
6573 2167(snake)X
6574 2371(to)X
6575 2454(V)X
6576 7 s
6577 2521 2194(d)N
6578 10 s
6579 2561 2178([)N
6580 2594(k)X
6581 2640(].)X
6582 2728(The)X
6583 2874(recursion)X
6584 3194(stops)X
6585 3379(when)X
6586 3574(d)X
6587 3635(=)X
6588 3701(0)X
6589 3762(in)X
6590 3845(which)X
6591 4062(case)X
6592 4222(the)X
6593 576 2306(snake)N
6594 787(from)X
6595 971(\(0,0\))X
6596 1153(to)X
6597 1243(\(V)X
6598 7 s
6599 1337 2322(0)N
6600 10 s
6601 1377 2306([)N
6602 1410(0)X
6603 1456(],V)X
6604 7 s
6605 1570 2322(0)N
6606 10 s
6607 1610 2306([)N
6608 1643(0)X
6609 1689(]\))X
6610 1771(is)X
6611 1852(listed.)X
6612 2093(So)X
6613 2205(with)X
6614 2375(O\(M+N\))X
6615 2689(additional)X
6616 3037(time)X
6617 3206(and)X
6618 3349(O)X
6619 3413(\()X
6620 3446(D)X
6621 7 s
6622 3508 2274(2)N
6623 10 s
6624 3548 2306(\))N
6625 3602(space)X
6626 3808(an)X
6627 3911(optimal)X
6628 4182(path)X
6629 576 2434(can)N
6630 715(be)X
6631 818(listed)X
6632 1018(by)X
6633 1125(replacing)X
6634 1451(Line)X
6635 1625(12)X
6636 1732(with)X
6637 1901(a)X
6638 1964(call)X
6639 2107(to)X
6640 2197(this)X
6641 2340(recursive)X
6642 2663(procedure)X
6643 3013(with)X
6644 3183(V)X
6645 7 s
6646 3250 2450(D)N
6647 10 s
6648 3302 2434([)N
6649 3335(N)X
6650 9 f
6651 3406(-)X
6652 1 f
6653 3463(M)X
6654 3540(])X
6655 3595(as)X
6656 3690(the)X
6657 3816(initial)X
6658 4030(point.)X
6659 4262(A)X
6660 576 2562(re\256nement)N
6661 939(requiring)X
6662 1253(only)X
6663 1415(O\(M+N\))X
6664 1721(space)X
6665 1920(is)X
6666 1993(shown)X
6667 2222(in)X
6668 2304(the)X
6669 2422(next)X
6670 2580(section.)X
6671 696 2756(As)N
6672 812(noted)X
6673 1017(in)X
6674 1106(Section)X
6675 1373(2,)X
6676 1460(the)X
6677 1585(LCS/SES)X
6678 1917(problem)X
6679 2211(can)X
6680 2350(be)X
6681 2453(viewed)X
6682 2712(as)X
6683 2806(an)X
6684 2909(instance)X
6685 3199(of)X
6686 3293(the)X
6687 3418(single-source)X
6688 3874(shortest)X
6689 4151(paths)X
6690 576 2884(problem)N
6691 882(on)X
6692 1001(a)X
6693 1076(weighted)X
6694 1409(edit)X
6695 1568(graph.)X
6696 1830(This)X
6697 2010(suggests)X
6698 2319(that)X
6699 2477(an)X
6700 2591(ef\256cient)X
6701 2892(algorithm)X
6702 3241(can)X
6703 3391(be)X
6704 3505(obtained)X
6705 3819(by)X
6706 3937(specializing)X
6707 576 3012(Dijkstra's)N
6708 914(algorithm)X
6709 1247([3].)X
6710 1403(A)X
6711 1483(basic)X
6712 1670(exercise)X
6713 1956([2:)X
6714 2067(207-208])X
6715 2383(shows)X
6716 2605(that)X
6717 2747(the)X
6718 2867(algorithm)X
6719 3200(takes)X
6720 3387(O\(ElgV\))X
6721 3690(time)X
6722 3854(where)X
6723 4074(E)X
6724 4146(is)X
6725 4222(the)X
6726 576 3140(number)N
6727 842(of)X
6728 930(edges)X
6729 1134(and)X
6730 1271(V)X
6731 1350(is)X
6732 1424(the)X
6733 1542(number)X
6734 1807(of)X
6735 1894(vertices)X
6736 2164(in)X
6737 2246(the)X
6738 2364(subject)X
6739 2611(graph.)X
6740 2854(For)X
6741 2985(an)X
6742 3081(edit)X
6743 3221(graph)X
6744 3424(E)X
6745 3493(<)X
6746 3558(3V)X
6747 3676(since)X
6748 3861(each)X
6749 4029(point)X
6750 4213(has)X
6751 576 3268(outdegree)N
6752 916(at)X
6753 997(most)X
6754 1175(three.)X
6755 1399(Moreover,)X
6756 1759(the)X
6757 1880(lg)X
6758 1948(V)X
6759 2029(term)X
6760 2199(comes)X
6761 2427(from)X
6762 2606(the)X
6763 2727(cost)X
6764 2879(of)X
6765 2969(managing)X
6766 3308(a)X
6767 3367(priority)X
6768 3630(queue.)X
6769 3886(In)X
6770 3977(the)X
6771 4099(case)X
6772 4262(at)X
6773 576 3396(hand)N
6774 756(the)X
6775 878(priorities)X
6776 1191(will)X
6777 1338(be)X
6778 1437(integers)X
6779 1714(in)X
6780 1799([0,M+N])X
6781 2110(as)X
6782 2200(edge)X
6783 2375(costs)X
6784 2558(are)X
6785 2680(0)X
6786 2743(or)X
6787 2833(1)X
6788 2896(and)X
6789 3035(the)X
6790 3156(longest)X
6791 3410(possible)X
6792 3695(path)X
6793 3856(to)X
6794 3941(any)X
6795 4080(point)X
6796 4267(is)X
6797 576 3524(M+N.)N
6798 816(Under)X
6799 1043(these)X
6800 1234(conditions,)X
6801 1614(the)X
6802 1739(priority)X
6803 2006(queue)X
6804 2225(operations)X
6805 2586(can)X
6806 2725(be)X
6807 2828(implemented)X
6808 3273(in)X
6809 3362(constant)X
6810 3656(time)X
6811 3825(using)X
6812 4025(``bucket-)X
6813 576 3652(ing'')N
6814 768(and)X
6815 920(linked-list)X
6816 1280(techniques.)X
6817 1699(Thus)X
6818 1895(Dijkstra's)X
6819 2246(algorithm)X
6820 2592(can)X
6821 2739(be)X
6822 2850(specialized)X
6823 3242(to)X
6824 3339(perform)X
6825 3633(in)X
6826 3730(time)X
6827 3907(linear)X
6828 4125(in)X
6829 4222(the)X
6830 576 3780(number)N
6831 846(of)X
6832 938(vertices)X
6833 1213(in)X
6834 1300(the)X
6835 1423(edit)X
6836 1568(graph,)X
6837 1797(i.e.)X
6838 1921(O\(MN\).)X
6839 2228(The)X
6840 2379(\256nal)X
6841 2547(re\256nement)X
6842 2916(stems)X
6843 3124(from)X
6844 3306(noting)X
6845 3536(that)X
6846 3682(all)X
6847 3788(that)X
6848 3934(is)X
6849 4013(needed)X
6850 4267(is)X
6851 576 3908(the)N
6852 699(shortest)X
6853 973(path)X
6854 1136(from)X
6855 1317(the)X
6856 1440(source)X
6857 1675(\(0,0\))X
6858 1854(to)X
6859 1941(the)X
6860 2064(point)X
6861 2252(\(M,N\).)X
6862 2519(Dijkstra's)X
6863 2859(algorithm)X
6864 3194(determines)X
6865 3570(the)X
6866 3692(minimum)X
6867 4026(distances)X
6868 576 4036(of)N
6869 664(vertices)X
6870 935(from)X
6871 1112(the)X
6872 1231(source)X
6873 1462(in)X
6874 1545(increasing)X
6875 1896(order,)X
6876 2107(one)X
6877 2244(vertex)X
6878 2466(per)X
6879 2590(iteration.)X
6880 2918(By)X
6881 3032(Lemma)X
6882 3299(1)X
6883 3361(there)X
6884 3544(are)X
6885 3665(at)X
6886 3745(most)X
6887 3922(O\(\(M+N\)D\))X
6888 576 4164(points)N
6889 802(less)X
6890 953(distant)X
6891 1197(from)X
6892 1383(\(0,0\))X
6893 1567(than)X
6894 1735(\(M,N\))X
6895 1968(and)X
6896 2114(the)X
6897 2242(previous)X
6898 2548(re\256nements)X
6899 2952(reduce)X
6900 3197(the)X
6901 3325(cost)X
6902 3484(of)X
6903 3581(each)X
6904 3759(iteration)X
6905 4056(to)X
6906 4148(O\(1\).)X
6907 576 4292(Thus)N
6908 779(the)X
6909 920(algorithm)X
6910 1274(can)X
6911 1429(stop)X
6912 1605(as)X
6913 1715(soon)X
6914 1909(as)X
6915 2019(the)X
6916 2160(minimum)X
6917 2513(distance)X
6918 2819(to)X
6919 2924(\(M,N\))X
6920 3170(is)X
6921 3266(ascertained)X
6922 3671(and)X
6923 3830(it)X
6924 3917(only)X
6925 4102(spends)X
6926 576 4420(O\(\(M+N\)D\))N
6927 994(time)X
6928 1156(in)X
6929 1238(so)X
6930 1329(doing.)X
6931 696 4614(It)N
6932 778(has)X
6933 918(been)X
6934 1103(shown)X
6935 1345(that)X
6936 1498(a)X
6937 1567(specialization)X
6938 2041(of)X
6939 2141(Dijkstra's)X
6940 2490(algorithm)X
6941 2835(also)X
6942 2998(gives)X
6943 3201(an)X
6944 3311(O\(ND\))X
6945 3573(time)X
6946 3749(algorithm)X
6947 4094(for)X
6948 4222(the)X
6949 576 4742(LCS/SES)N
6950 905(problem.)X
6951 1236(However,)X
6952 1575(the)X
6953 1697(resulting)X
6954 2001(algorithm)X
6955 2336(involves)X
6956 2631(a)X
6957 2690(relatively)X
6958 3016(complex)X
6959 3315(discrete)X
6960 3588(priority)X
6961 3851(queue)X
6962 4066(and)X
6963 4205(this)X
6964 576 4870(queue)N
6965 791(may)X
6966 952(contain)X
6967 1211(as)X
6968 1301(many)X
6969 1502(as)X
6970 1592(O\(ND\))X
6971 1843(entries)X
6972 2081(even)X
6973 2257(in)X
6974 2343(the)X
6975 2465(case)X
6976 2628(where)X
6977 2849(just)X
6978 2988(the)X
6979 3110(length)X
6980 3334(of)X
6981 3425(the)X
6982 3547(LCS/SES)X
6983 3876(is)X
6984 3953(being)X
6985 4155(com-)X
6986 576 4998(puted.)N
6987 824(While)X
6988 1050(one)X
6989 1195(could)X
6990 1402(argue)X
6991 1610(that)X
6992 1759(further)X
6993 2007(re\256nement)X
6994 2379(leads)X
6995 2573(to)X
6996 2664(the)X
6997 2791(simple)X
6998 3033(algorithm)X
6999 3373(of)X
7000 3469(this)X
7001 3613(paper,)X
7002 3841(the)X
7003 3968(connection)X
7004 576 5126(becomes)N
7005 878(so)X
7006 970(tenuous)X
7007 1240(that)X
7008 1381(the)X
7009 1500(direct)X
7010 1705(and)X
7011 1843(easily)X
7012 2052(motivated)X
7013 2394(derivation)X
7014 2741(used)X
7015 2910(in)X
7016 2994(this)X
7017 3131(section)X
7018 3380(is)X
7019 3455(preferable.)X
7020 3844(The)X
7021 3991(aim)X
7022 4133(of)X
7023 4222(the)X
7024 576 5254(discussion)N
7025 941(is)X
7026 1026(to)X
7027 1120(expose)X
7028 1375(the)X
7029 1505(close)X
7030 1701(relationship)X
7031 2110(between)X
7032 2409(the)X
7033 2538(shortest)X
7034 2818(paths)X
7035 3018(and)X
7036 3165(LCS/SES)X
7037 3501(problems)X
7038 3830(and)X
7039 3977(their)X
7040 4155(algo-)X
7041 576 5382(rithms.)N
7042 8 s
7043 10 f
7044 576 5472(hhhhhhhhhhhhhhhhhh)N
7045 9 f
7046 576 5552(*)N
7047 1 f
7048 625(If)X
7049 684(only)X
7050 815(O\(D)X
7051 6 s
7052 928 5520(2)N
7053 8 s
7054 5552(\))Y
7055 990(space)X
7056 1148(is)X
7057 1208(to)X
7058 1275(be)X
7059 2 f
7060 1352(allocated)X
7061 1 f
7062 1590(,)X
7063 1623(the)X
7064 1718(algorithm)X
7065 1984(is)X
7066 2044(\256rst)X
7067 2161(run)X
7068 2263(to)X
7069 2330(determine)X
7070 2602(D)X
7071 2665(in)X
7072 2732(O\(N\))X
7073 2883(space,)X
7074 3057(then)X
7075 3184(the)X
7076 3279(space)X
7077 3438(is)X
7078 3499(allocated,)X
7079 3763(and)X
7080 3873(\256nal-)X
7081 576 5632(ly,)N
7082 658(the)X
7083 752(algorithm)X
7084 1017(is)X
7085 1076(run)X
7086 1177(again)X
7087 1331(to)X
7088 1397(determine)X
7089 1668(a)X
7090 1712(solution)X
7091 1935(path.)X
7092 10 s
7093 2381 6176(-)N
7094 2428(8)X
7095 2488(-)X
7096
7097 9 p
7098 %%Page: 9 9
7099 10 s 10 xH 0 xS 1 f
7100 3 f
7101 576 704(4.)N
7102 656(Re\256nements)X
7103 1 f
7104 696 860(The)N
7105 849(basic)X
7106 1042(algorithm)X
7107 1381(can)X
7108 1521(be)X
7109 1625(embellished)X
7110 2040(in)X
7111 2130(a)X
7112 2194(number)X
7113 2467(of)X
7114 2562(ways.)X
7115 2796(First,)X
7116 2991(the)X
7117 3118(algorithm's)X
7118 3516(expected)X
7119 3831(performance)X
7120 4267(is)X
7121 576 988(O)N
7122 640(\()X
7123 673(M)X
7124 9 f
7125 757(+)X
7126 1 f
7127 814(N)X
7128 9 f
7129 885(+)X
7130 1 f
7131 942(D)X
7132 7 s
7133 1004 956(2)N
7134 10 s
7135 1044 988(\),)N
7136 1113(which)X
7137 1331(is)X
7138 1405(much)X
7139 1604(superior)X
7140 1888(to)X
7141 1971(the)X
7142 2090(worst)X
7143 2289(case)X
7144 2449(prediction)X
7145 2795(of)X
7146 2883(O\(\(M+N\)D\).)X
7147 3342(While)X
7148 3559(not)X
7149 3682(shown)X
7150 3912(here,)X
7151 4092(experi-)X
7152 576 1116(ments)N
7153 794(reveal)X
7154 1018(that)X
7155 1165(the)X
7156 1290(variance)X
7157 1590(about)X
7158 1795(the)X
7159 1920(mean)X
7160 2121(is)X
7161 2201(small)X
7162 2401(especially)X
7163 2749(as)X
7164 2843(the)X
7165 2968(alphabet)X
7166 3267(size)X
7167 3419(becomes)X
7168 3727(large.)X
7169 3955(Thus)X
7170 4142(while)X
7171 576 1244(there)N
7172 767(are)X
7173 895(pathological)X
7174 1320(cases)X
7175 1519(that)X
7176 1668(require)X
7177 1925(O\(\(M+N\)D\))X
7178 2352(time)X
7179 2523(they)X
7180 2690(are)X
7181 2818(extremely)X
7182 3168(rare)X
7183 3323(\(e.g.)X
7184 3495(like)X
7185 3644(O)X
7186 3708(\()X
7187 3741(N)X
7188 7 s
7189 3803 1212(2)N
7190 10 s
7191 3843 1244(\))N
7192 3899(problems)X
7193 4226(for)X
7194 576 1372(quicksort\).)N
7195 967(Second,)X
7196 1249(the)X
7197 1373(algorithm)X
7198 1710(can)X
7199 1848(be)X
7200 1951(re\256ned)X
7201 2201(to)X
7202 2290(use)X
7203 2424(only)X
7204 2593(linear)X
7205 2803(space)X
7206 3009(when)X
7207 3210(reporting)X
7208 3531(an)X
7209 3634(edit)X
7210 3781(script.)X
7211 4026(The)X
7212 4178(only)X
7213 576 1500(other)N
7214 769(algorithm)X
7215 1108(that)X
7216 1256(has)X
7217 1391(been)X
7218 1571(shown)X
7219 1808(to)X
7220 1898(admit)X
7221 2108(such)X
7222 2283(a)X
7223 2347(re\256nement)X
7224 2718(is)X
7225 2799(the)X
7226 2925(basic)X
7227 3118(O\(MN\))X
7228 3387(dynamic)X
7229 3691(programming)X
7230 4155(algo-)X
7231 576 1628(rithm)N
7232 776([7].)X
7233 937(A)X
7234 1022(linear)X
7235 1232(space)X
7236 1438(algorithm)X
7237 1776(is)X
7238 1856(of)X
7239 1950(practical)X
7240 2254(import)X
7241 2494(since)X
7242 2686(many)X
7243 2891(large)X
7244 3079(problems)X
7245 3404(can)X
7246 3543(reasonably)X
7247 3918(be)X
7248 4021(solved)X
7249 4258(in)X
7250 576 1756(O)N
7251 640(\()X
7252 673(D)X
7253 7 s
7254 735 1724(2)N
7255 10 s
7256 775 1756(\))N
7257 843(time)X
7258 1026(but)X
7259 1169(not)X
7260 1312(in)X
7261 1415(O)X
7262 1479(\()X
7263 1512(D)X
7264 7 s
7265 1574 1724(2)N
7266 10 s
7267 1614 1756(\))N
7268 1682(space.)X
7269 1942(Finally,)X
7270 2229(an)X
7271 2346(O)X
7272 2410(\()X
7273 2462(\()X
7274 2495(M)X
7275 9 f
7276 2579(+)X
7277 1 f
7278 2636(N)X
7279 2700(\))X
7280 2740(lg)X
7281 2808(\()X
7282 2841(M)X
7283 9 f
7284 2925(+)X
7285 1 f
7286 2982(N)X
7287 3046(\))X
7288 9 f
7289 3112(+)X
7290 1 f
7291 3188(D)X
7292 7 s
7293 3250 1724(2)N
7294 10 s
7295 3309 1756(\))N
7296 3376(worst-case)X
7297 3760(time)X
7298 3942(variation)X
7299 4267(is)X
7300 576 1884(obtained)N
7301 873(by)X
7302 974(speeding)X
7303 1280(up)X
7304 1381(the)X
7305 1501(traversal)X
7306 1800(of)X
7307 1889(snakes)X
7308 2125(with)X
7309 2289(some)X
7310 2480(previously)X
7311 2840(developed)X
7312 3192(techniques)X
7313 3557([6,14].)X
7314 3813(The)X
7315 3960(variation)X
7316 4267(is)X
7317 576 2012(impractical)N
7318 960(due)X
7319 1099(to)X
7320 1184(the)X
7321 1305(sophistication)X
7322 1772(of)X
7323 1862(these)X
7324 2050(underlying)X
7325 2420(methods)X
7326 2714(but)X
7327 2839(its)X
7328 2936(superior)X
7329 3221(asymptotic)X
7330 3594(worst-case)X
7331 3960(complexity)X
7332 576 2140(is)N
7333 649(of)X
7334 736(theoretical)X
7335 1095(interest.)X
7336 3 f
7337 576 2396(4a.)N
7338 696(A)X
7339 774(Probabilistic)X
7340 1229(Analysis)X
7341 1 f
7342 696 2552(Consider)N
7343 1010(the)X
7344 1133(following)X
7345 1469(stochastic)X
7346 1810(model)X
7347 2035(for)X
7348 2154(the)X
7349 2277(sequences)X
7350 2628(A)X
7351 2712(and)X
7352 2854(B)X
7353 2933(in)X
7354 3021(a)X
7355 3083(shortest)X
7356 3358(edit)X
7357 3504(script)X
7358 3708(problem.)X
7359 4041(A)X
7360 4125(and)X
7361 4267(B)X
7362 576 2680(are)N
7363 696(sequences)X
7364 1043(over)X
7365 1207(an)X
7366 1304(alphabet)X
7367 9 f
7368 1597(S)X
7369 1 f
7370 1665(where)X
7371 1883(each)X
7372 2052(symbol)X
7373 2308(occurs)X
7374 2539(with)X
7375 2701(probability)X
7376 3072(p)X
7377 7 s
7378 9 f
7379 3121 2696(s)N
7380 10 s
7381 1 f
7382 3181 2680(for)N
7383 9 f
7384 3295(s)X
7385 3363(\316)X
7386 3440(S)X
7387 1 f
7388 3487(.)X
7389 3547(The)X
7390 3692(N)X
7391 3770(symbols)X
7392 4056(of)X
7393 4143(A)X
7394 4221(are)X
7395 576 2808(randomly)N
7396 906(and)X
7397 1045(independently)X
7398 1522(chosen)X
7399 1768(according)X
7400 2108(to)X
7401 2193(the)X
7402 2314(probability)X
7403 2688(densities,)X
7404 3012(p)X
7405 7 s
7406 9 f
7407 3061 2824(s)N
7408 10 s
7409 1 f
7410 3101 2808(.)N
7411 3165(The)X
7412 3314(M)X
7413 3409(=)X
7414 3478(N)X
7415 9 f
7416 3549(-)X
7417 3606(d)X
7418 3659(+)X
7419 3716(i)X
7420 1 f
7421 3766(symbol)X
7422 4025(sequence)X
7423 576 2936(B)N
7424 659(is)X
7425 742(obtained)X
7426 1048(by)X
7427 1158(randomly)X
7428 1495(deleting)X
7429 9 f
7430 1783(d)X
7431 1 f
7432 1853(symbols)X
7433 2149(from)X
7434 2335(A)X
7435 2423(and)X
7436 2569(randomly)X
7437 2906(inserting)X
7438 9 f
7439 3216(i)X
7440 1 f
7441 3272(randomly)X
7442 3608(chosen)X
7443 3860(symbols.)X
7444 4195(The)X
7445 576 3064(deletion)N
7446 858(and)X
7447 998(insertion)X
7448 1302(positions)X
7449 1614(are)X
7450 1737(chosen)X
7451 1984(with)X
7452 2150(uniform)X
7453 2432(probability.)X
7454 2847(An)X
7455 2969(equivalent)X
7456 3327(model)X
7457 3551(is)X
7458 3629(to)X
7459 3716(generate)X
7460 4014(a)X
7461 4075(random)X
7462 576 3192(sequence)N
7463 894(of)X
7464 984(length)X
7465 1207(L)X
7466 1279(=)X
7467 1347(N)X
7468 9 f
7469 1418(-)X
7470 1475(d)X
7471 1 f
7472 1537(and)X
7473 1675(then)X
7474 1835(randomly)X
7475 2164(insert)X
7476 9 f
7477 2364(d)X
7478 1 f
7479 2426(and)X
7480 9 f
7481 2564(i)X
7482 1 f
7483 2612(randomly)X
7484 2941(generated)X
7485 3276(symbols)X
7486 3564(to)X
7487 3648(this)X
7488 3785(sequence)X
7489 4102(to)X
7490 4186(pro-)X
7491 576 3320(duce)N
7492 748(A)X
7493 826(and)X
7494 962(B,)X
7495 1055(respectively.)X
7496 1503(Note)X
7497 1679(that)X
7498 1819(the)X
7499 1937(LCS)X
7500 2103(of)X
7501 2190(A)X
7502 2268(and)X
7503 2404(B)X
7504 2477(must)X
7505 2652(consist)X
7506 2894(of)X
7507 2981(at)X
7508 3059(least)X
7509 3226(L)X
7510 3295(symbols)X
7511 3581(but)X
7512 3703(may)X
7513 3861(be)X
7514 3957(longer.)X
7515 696 3476(An)N
7516 817(alternate)X
7517 1117(model)X
7518 1340(is)X
7519 1416(to)X
7520 1501(consider)X
7521 1796(A)X
7522 1877(and)X
7523 2016(B)X
7524 2093(as)X
7525 2184(randomly)X
7526 2515(generated)X
7527 2852(sequences)X
7528 3202(of)X
7529 3293(length)X
7530 3517(N)X
7531 3599(and)X
7532 3739(M)X
7533 3834(which)X
7534 4054(are)X
7535 4177(con-)X
7536 576 3604(strained)N
7537 851(to)X
7538 934(have)X
7539 1107(an)X
7540 1204(LCS)X
7541 1371(of)X
7542 1459(length)X
7543 1680(L.)X
7544 1790(This)X
7545 1953(model)X
7546 2174(is)X
7547 2248(not)X
7548 2371(equivalent)X
7549 2726(to)X
7550 2809(the)X
7551 2928(one)X
7552 3065(above)X
7553 3278(except)X
7554 3509(in)X
7555 3592(the)X
7556 3711(limit)X
7557 3882(when)X
7558 4077(the)X
7559 4195(size)X
7560 576 3732(of)N
7561 9 f
7562 663(S)X
7563 1 f
7564 730(becomes)X
7565 1031(arbitrarily)X
7566 1372(large)X
7567 1553(and)X
7568 1689(every)X
7569 1888(probability)X
7570 2259(p)X
7571 7 s
7572 9 f
7573 2308 3748(s)N
7574 10 s
7575 1 f
7576 2368 3732(goes)N
7577 2535(to)X
7578 2617(zero.)X
7579 2816(Nonetheless,)X
7580 3248(the)X
7581 3367(ensuing)X
7582 3637(treatment)X
7583 3961(can)X
7584 4094(also)X
7585 4244(be)X
7586 576 3860(applied)N
7587 839(to)X
7588 928(this)X
7589 1070(model)X
7590 1297(with)X
7591 1466(the)X
7592 1591(same)X
7593 1783(asymptotic)X
7594 2161(results.)X
7595 2437(The)X
7596 2589(\256rst)X
7597 2740(model)X
7598 2967(is)X
7599 3047(chosen)X
7600 3297(as)X
7601 3391(it)X
7602 3462(re\257ects)X
7603 3721(the)X
7604 3845(edit)X
7605 3991(scripts)X
7606 4226(for)X
7607 576 3988(mapping)N
7608 883(A)X
7609 968(into)X
7610 1119(B)X
7611 1199(that)X
7612 1346(are)X
7613 1472(assumed)X
7614 1775(by)X
7615 1882(the)X
7616 2007(SES)X
7617 2171(problem.)X
7618 2505(While)X
7619 2728(other)X
7620 2920(edit)X
7621 3067(script)X
7622 3272(commands)X
7623 3646(such)X
7624 3820(as)X
7625 3915 0.2404(``transfers'',)AX
7626 576 4116(``moves'',)N
7627 936(and)X
7628 1075 0.2812(``exchanges'')AX
7629 1541(are)X
7630 1663(more)X
7631 1851(re\257ective)X
7632 2173(of)X
7633 2263(actual)X
7634 2478(editing)X
7635 2723(sessions,)X
7636 3028(their)X
7637 3198(inclusion)X
7638 3513(results)X
7639 3744(in)X
7640 3828(distinct)X
7641 4085(optimi-)X
7642 576 4244(zation)N
7643 794(problems)X
7644 1114(from)X
7645 1292(the)X
7646 1412(SES)X
7647 1571(problem)X
7648 1860(discussed)X
7649 2189(here.)X
7650 2390(Hence)X
7651 2618(stochastic)X
7652 2956(models)X
7653 3210(based)X
7654 3416(on)X
7655 3519(such)X
7656 3689(edit)X
7657 3832(process)X
7658 4096(are)X
7659 4218(not)X
7660 576 4372(considered.)N
7661 696 4528(In)N
7662 785(the)X
7663 905(edit)X
7664 1047(graph)X
7665 1252(of)X
7666 1341(A)X
7667 1421(and)X
7668 1559(B)X
7669 1634(there)X
7670 1817(are)X
7671 1938(L)X
7672 2009(diagonal)X
7673 2307(edges)X
7674 2512(corresponding)X
7675 2993(to)X
7676 3077(the)X
7677 3198(randomly)X
7678 3528(generated)X
7679 3864(LCS)X
7680 4033(of)X
7681 4123(A)X
7682 4204(and)X
7683 576 4656(B.)N
7684 697(Any)X
7685 863(other)X
7686 1056(diagonal)X
7687 1360(edge,)X
7688 1560(ending)X
7689 1806(at)X
7690 1892(say)X
7691 2027(\(x,y\),)X
7692 2229(occurs)X
7693 2467(with)X
7694 2637(the)X
7695 2763(same)X
7696 2955(probability)X
7697 3333(that)X
7698 3480(a)X
7699 7 s
7700 3525 4672(x)N
7701 10 s
7702 3586 4656(=)N
7703 3658(b)X
7704 7 s
7705 3707 4672(y)N
7706 10 s
7707 3768 4656(as)N
7708 3862(these)X
7709 4054(symbols)X
7710 576 4784(were)N
7711 755(obtained)X
7712 1053(by)X
7713 1155(independent)X
7714 1569(random)X
7715 1836(trials.)X
7716 2058(Thus)X
7717 2240(the)X
7718 2360(probability)X
7719 2733(of)X
7720 2822(an)X
7721 2 f
7722 2921(off-LCS)X
7723 3192(diagonal)X
7724 1 f
7725 3499(is)X
7726 9 f
7727 3575(r)X
7728 3658(=)X
7729 7 s
7730 3748 4864 4.0938(s\316S)AN
7731 15 s
7732 3770 4808(S)N
7733 10 s
7734 1 f
7735 3888 4784(p)N
7736 7 s
7737 9 f
7738 3932 4799(s)N
7739 1 f
7740 3932 4752(2)N
7741 10 s
7742 3972 4784(.)N
7743 4035(The)X
7744 4183(SES)X
7745 576 4976(algorithm)N
7746 908(searches)X
7747 1202(by)X
7748 1303(extending)X
7749 1640(furthest)X
7750 1906(reaching)X
7751 2204(paths)X
7752 2394(until)X
7753 2561(the)X
7754 2680(point)X
7755 2865(\(N,M\))X
7756 3088(is)X
7757 3161(reached.)X
7758 3472(Each)X
7759 3653(extension)X
7760 3980(consists)X
7761 4253(of)X
7762 576 5104(a)N
7763 639(horizontal)X
7764 991(or)X
7765 1085(vertical)X
7766 1353(edge)X
7767 1532(followed)X
7768 1844(by)X
7769 1951(the)X
7770 2076(longest)X
7771 2334(possible)X
7772 2623(snake.)X
7773 2873(The)X
7774 3025(maximal)X
7775 3332(snakes)X
7776 3573(consist)X
7777 3822(of)X
7778 3916(a)X
7779 3980(number)X
7780 4253(of)X
7781 576 5232(LCS)N
7782 744(and)X
7783 882(off-LCS)X
7784 1171(diagonals.)X
7785 1539(The)X
7786 1685(probability)X
7787 2057(that)X
7788 2198(there)X
7789 2380(are)X
7790 2500(exactly)X
7791 2753(t)X
7792 2796(off-LCS)X
7793 3084(diagonals)X
7794 3412(in)X
7795 3495(a)X
7796 3552(given)X
7797 3751(extension's)X
7798 4137(snake)X
7799 576 5400(is)N
7800 9 f
7801 650(r)X
7802 7 s
7803 1 f
7804 698 5368(t)N
7805 10 s
7806 726 5400(\()N
7807 759(1)X
7808 9 f
7809 812(-)X
7810 869(r)X
7811 1 f
7812 919(\).)X
7813 1007(Thus)X
7814 1188(the)X
7815 1307(expected)X
7816 1614(number)X
7817 1880(of)X
7818 1968(off-LCS)X
7819 2256(diagonals)X
7820 2584(in)X
7821 2667(an)X
7822 2764(extension)X
7823 3093(is)X
7824 7 s
7825 3170 5480(t)N
7826 9 f
7827 3195(=)X
7828 1 f
7829 3235(0)X
7830 15 s
7831 9 f
7832 3181 5424(S)N
7833 7 s
7834 3197 5320(\245)N
7835 10 s
7836 1 f
7837 3290 5400(t)N
7838 9 f
7839 3318(r)X
7840 7 s
7841 1 f
7842 3366 5368(t)N
7843 10 s
7844 3394 5400(\()N
7845 3427(1)X
7846 9 f
7847 3480(-)X
7848 3537(r)X
7849 1 f
7850 3587(\))X
7851 3636(=)X
7852 9 f
7853 3703(r)X
7854 1 f
7855 3753(/)X
7856 3781(\()X
7857 3814(1)X
7858 9 f
7859 3867(-)X
7860 3924(r)X
7861 1 f
7862 3974(\).)X
7863 4063(At)X
7864 4165(most)X
7865 576 5592(d+1)N
7866 739(extensions)X
7867 1115(are)X
7868 1252(made)X
7869 1464(in)X
7870 1564(the)X
7871 1700(d)X
7872 7 s
7873 1744 5560(th)N
7874 10 s
7875 1832 5592(iteration)N
7876 2137(of)X
7877 2241(the)X
7878 2376(outer)X
7879 2 f
7880 2578(For)X
7881 1 f
7882 2735(loop)X
7883 2914(of)X
7884 3018(the)X
7885 3153(SES)X
7886 3327(algorithm.)X
7887 3715(Therefore)X
7888 4070(at)X
7889 4165(most)X
7890 576 5720(\()N
7891 609(D)X
7892 9 f
7893 680(+)X
7894 1 f
7895 737(1)X
7896 783(\))X
7897 816(\()X
7898 849(D)X
7899 9 f
7900 920(+)X
7901 1 f
7902 977(2)X
7903 1023(\))X
7904 9 f
7905 1063(r)X
7906 1 f
7907 1113(/)X
7908 1141(2)X
7909 1187(\()X
7910 1220(1)X
7911 9 f
7912 1273(-)X
7913 1330(r)X
7914 1 f
7915 1380(\))X
7916 1433(off-LCS)X
7917 1726(diagonals)X
7918 2059(are)X
7919 2184(traversed)X
7920 2505(in)X
7921 2593(the)X
7922 2717(expected)X
7923 3029(case.)X
7924 3235(Moreover,)X
7925 3599(at)X
7926 3684(most)X
7927 3866(L)X
7928 3942(LCS)X
7929 4115(diago-)X
7930 576 5848(nals)N
7931 730(are)X
7932 854(ever)X
7933 1018(traversed.)X
7934 1378(Consequently,)X
7935 1863(the)X
7936 1986(critical)X
7937 2 f
7938 2234(While)X
7939 1 f
7940 2446(loop)X
7941 2613(of)X
7942 2705(the)X
7943 2828(algorithm)X
7944 3164(is)X
7945 3242(executed)X
7946 3552(an)X
7947 3652(average)X
7948 3927(of)X
7949 4018(O\(L+D)X
7950 7 s
7951 4259 5816(2)N
7952 10 s
7953 4293 5848(\))N
7954 2381 6176(-)N
7955 2428(9)X
7956 2488(-)X
7957
7958 10 p
7959 %%Page: 10 10
7960 10 s 10 xH 0 xS 1 f
7961 576 704(times)N
7962 772(when)X
7963 9 f
7964 969(r)X
7965 1 f
7966 1036(is)X
7967 1112(bounded)X
7968 1411(away)X
7969 1604(from)X
7970 1783(1.)X
7971 1887(The)X
7972 2036(remainder)X
7973 2386(of)X
7974 2477(the)X
7975 2599(algorithm)X
7976 2934(has)X
7977 3065(already)X
7978 3326(been)X
7979 3502(observed)X
7980 3816(to)X
7981 3902(take)X
7982 4060(at)X
7983 4142(worst)X
7984 576 832(O)N
7985 640(\()X
7986 673(D)X
7987 7 s
7988 735 800(2)N
7989 10 s
7990 775 832(\))N
7991 827(time.)X
7992 1034(When)X
7993 9 f
7994 1251(r)X
7995 1 f
7996 1320(=)X
7997 1390(1,)X
7998 1475(there)X
7999 1661(is)X
8000 1739(only)X
8001 1906(one)X
8002 2047(letter)X
8003 2237(of)X
8004 2329(nonzero)X
8005 2612(probability)X
8006 2987(in)X
8007 3073(the)X
8008 3195(alphabet)X
8009 9 f
8010 3491(S)X
8011 1 f
8012 3538(,)X
8013 3582(so)X
8014 3677(A)X
8015 3759(and)X
8016 3899(B)X
8017 3976(consists)X
8018 4253(of)X
8019 576 960(repetitions)N
8020 934(of)X
8021 1021(that)X
8022 1161(letter,)X
8023 1366(with)X
8024 1528(probability)X
8025 1899(one.)X
8026 2075(In)X
8027 2162(this)X
8028 2297(case,)X
8029 2476(the)X
8030 2594(algorithm)X
8031 2925(runs)X
8032 3083(in)X
8033 3165(O\(M+N\))X
8034 3472(time.)X
8035 3675(Thus)X
8036 3856(the)X
8037 3975(SES)X
8038 4133(Algo-)X
8039 576 1088(rithm)N
8040 769(takes)X
8041 954(O)X
8042 1018(\()X
8043 1051(M)X
8044 9 f
8045 1135(+)X
8046 1 f
8047 1192(N)X
8048 9 f
8049 1263(+)X
8050 1 f
8051 1320(D)X
8052 7 s
8053 1382 1056(2)N
8054 10 s
8055 1422 1088(\))N
8056 1469(time)X
8057 1631(in)X
8058 1713(the)X
8059 1831(expected)X
8060 2137(case.)X
8061 3 f
8062 576 1344(4b.)N
8063 700(A)X
8064 778(Linear)X
8065 1029(Space)X
8066 1249(Re\256nement)X
8067 1 f
8068 696 1500(The)N
8069 844(LCS/SES)X
8070 1172(problem)X
8071 1462(is)X
8072 1538(symmetric)X
8073 1900(with)X
8074 2066(respect)X
8075 2318(to)X
8076 2404(the)X
8077 2526(orientation)X
8078 2897(of)X
8079 2988(edit)X
8080 3132(graph)X
8081 3339(edges.)X
8082 3586(Consider)X
8083 3899(reversing)X
8084 4222(the)X
8085 576 1628(direction)N
8086 883(of)X
8087 972(every)X
8088 1173(edge)X
8089 1347(in)X
8090 1431(the)X
8091 1551(edit)X
8092 1693(graph)X
8093 1898(for)X
8094 2014(sequences)X
8095 2362(A)X
8096 2442(and)X
8097 2580(B.)X
8098 2695(Subsequences)X
8099 3167(and)X
8100 3305(edit)X
8101 3446(scripts)X
8102 3676(for)X
8103 3791(A)X
8104 3870(and)X
8105 4007(B)X
8106 4081(are)X
8107 4201(still)X
8108 576 1756(modeled)N
8109 872(as)X
8110 959(paths)X
8111 1148(in)X
8112 1230(this)X
8113 1365(reverse)X
8114 1618(edit)X
8115 1758(graph)X
8116 1961(but)X
8117 2083(now)X
8118 2241(the)X
8119 2359(paths)X
8120 2548(start)X
8121 2706(at)X
8122 2785(\(N,M\))X
8123 3009(and)X
8124 3146(end)X
8125 3283(at)X
8126 3362(\(0,0\).)X
8127 3577(Also,)X
8128 3769(the)X
8129 3888(interpretation)X
8130 576 1884(of)N
8131 664(paths)X
8132 854(alters)X
8133 1049(just)X
8134 1185(slightly)X
8135 1445(to)X
8136 1528(re\257ect)X
8137 1750(the)X
8138 1869(reversal)X
8139 2145(of)X
8140 2233(direction.)X
8141 2579(Each)X
8142 2760(diagonal)X
8143 3056(edge)X
8144 2 f
8145 3228(beginning)X
8146 1 f
8147 3568(at)X
8148 3646(\(x,y\))X
8149 3820(gives)X
8150 4009(a)X
8151 4065(symbol,)X
8152 576 2012(a)N
8153 7 s
8154 621 2028(x)N
8155 10 s
8156 681 2012(\(=)N
8157 779(b)X
8158 7 s
8159 828 2028(y)N
8160 10 s
8161 862 2012(\),)N
8162 935(in)X
8163 1023(the)X
8164 1147(common)X
8165 1453(subsequence;)X
8166 1907(each)X
8167 2081(horizontal)X
8168 2432(edge)X
8169 2 f
8170 2610(from)X
8171 1 f
8172 2787(point)X
8173 2977(\(x,y\))X
8174 3157(corresponds)X
8175 3571(to)X
8176 3660(the)X
8177 3785(delete)X
8178 4004(command)X
8179 576 2140(``x)N
8180 695(D'';)X
8181 862(etc.)X
8182 1029(So)X
8183 1146(the)X
8184 1277(LCS/SES)X
8185 1614(problem)X
8186 1913(can)X
8187 2057(be)X
8188 2165(solved)X
8189 2406(by)X
8190 2518(starting)X
8191 2790(at)X
8192 2880(\(N,M\))X
8193 3115(and)X
8194 3263(progressively)X
8195 3727(extending)X
8196 4075(furthest)X
8197 576 2268(reaching)N
8198 878(paths)X
8199 1072(in)X
8200 1159(the)X
8201 1282(reverse)X
8202 1540(edit)X
8203 1685(graph)X
8204 1893(until)X
8205 2065(one)X
8206 2207(reaches)X
8207 2475(\(0,0\).)X
8208 2695 0.3472(Hereafter,)AX
8209 3046(forward)X
8210 3327(paths)X
8211 3522(will)X
8212 3672(refer)X
8213 3851(to)X
8214 3939(those)X
8215 4134(in)X
8216 4222(the)X
8217 576 2396(edit)N
8218 721(graph)X
8219 929(and)X
8220 1070(reverse)X
8221 1328(paths)X
8222 1522(will)X
8223 1671(refer)X
8224 1849(to)X
8225 1936(those)X
8226 2130(in)X
8227 2217(the)X
8228 2340(reverse)X
8229 2598(edit)X
8230 2743(graph.)X
8231 2991(Since)X
8232 3194(paths)X
8233 3388(in)X
8234 3475(opposing)X
8235 3793(directions)X
8236 4134(are)X
8237 4258(in)X
8238 576 2524(exact)N
8239 766 0.2232(correspondence,)AX
8240 1311(the)X
8241 1429(direction)X
8242 1734(of)X
8243 1821(a)X
8244 1877(path)X
8245 2035(is)X
8246 2108(distinguished)X
8247 2554(only)X
8248 2716(when)X
8249 2910(it)X
8250 2974(is)X
8251 3047(of)X
8252 3134(operational)X
8253 3515(importance.)X
8254 696 2680(As)N
8255 813(in)X
8256 903(the)X
8257 1029(linear)X
8258 1240(space)X
8259 1447(algorithm)X
8260 1786(of)X
8261 1881(Hirschberg)X
8262 2266([7],)X
8263 2408(a)X
8264 2472(divide-and-conquer)X
8265 3129(strategy)X
8266 3411(is)X
8267 3492(employed.)X
8268 3876(A)X
8269 3962(D-path)X
8270 4213(has)X
8271 576 2808(D+1)N
8272 748(snakes)X
8273 991(some)X
8274 1189(of)X
8275 1285(which)X
8276 1510(may)X
8277 1677(be)X
8278 1782(empty.)X
8279 2051(The)X
8280 2205(divide)X
8281 2434(step)X
8282 2592(requires)X
8283 2880(\256nding)X
8284 3135(the)X
8285 10 f
8286 3262 2800(R)N
8287 1 f
8288 3288 2808(D)N
8289 3352(/)X
8290 3380(2)X
8291 10 f
8292 3426 2800(H)N
8293 9 f
8294 3467 2808(+)N
8295 1 f
8296 3524(1)X
8297 3593(or)X
8298 3688(middle)X
8299 3938(snake)X
8300 4149(of)X
8301 4244(an)X
8302 576 2936(optimal)N
8303 843(D-path.)X
8304 1129(The)X
8305 1277(idea)X
8306 1434(for)X
8307 1551(doing)X
8308 1756(so)X
8309 1850(is)X
8310 1926(to)X
8311 2011(simultaneously)X
8312 2518(run)X
8313 2648(the)X
8314 2770(basic)X
8315 2959(algorithm)X
8316 3294(in)X
8317 3380(both)X
8318 3546(the)X
8319 3668(forward)X
8320 3947(and)X
8321 4087(reverse)X
8322 576 3064(directions)N
8323 916(until)X
8324 1086(furthest)X
8325 1355(reaching)X
8326 1656(forward)X
8327 1935(and)X
8328 2075(reverse)X
8329 2331(paths)X
8330 2523(starting)X
8331 2786(at)X
8332 2867(opposing)X
8333 3183(corners)X
8334 3443(``overlap''.)X
8335 3855(Lemma)X
8336 4123(3)X
8337 4186(pro-)X
8338 576 3192(vides)N
8339 765(the)X
8340 883(formal)X
8341 1117(observation)X
8342 1511(underlying)X
8343 1878(this)X
8344 2013(approach.)X
8345 3 f
8346 576 3348(Lemma)N
8347 859(3:)X
8348 1 f
8349 996(There)X
8350 1204(is)X
8351 1277(a)X
8352 1333(D-path)X
8353 1576(from)X
8354 1752(\(0,0\))X
8355 1926(to)X
8356 2008(\(N,M\))X
8357 2231(if)X
8358 2300(and)X
8359 2436(only)X
8360 2598(if)X
8361 2667(there)X
8362 2848(is)X
8363 2921(a)X
8364 10 f
8365 2978 3340(R)N
8366 1 f
8367 3004 3348(D)N
8368 3068(/)X
8369 3096(2)X
8370 10 f
8371 3142 3340(H)N
8372 1 f
8373 3170 3348(-path)N
8374 3356(from)X
8375 3533(\(0,0\))X
8376 3708(to)X
8377 3791(some)X
8378 3981(point)X
8379 4166(\(x,y\))X
8380 996 3476(and)N
8381 1132(a)X
8382 10 f
8383 1188(Q)X
8384 1 f
8385 1214(D)X
8386 1278(/)X
8387 1306(2)X
8388 10 f
8389 1352(P)X
8390 1 f
8391 1380(-path)X
8392 1565(from)X
8393 1741(some)X
8394 1930(point)X
8395 2114(\(u,v\))X
8396 2288(to)X
8397 2370(\(N,M\))X
8398 2593(such)X
8399 2760(that:)X
8400 3 f
8401 996 3668(\(feasibility\))N
8402 1572(u+v)X
8403 9 f
8404 1722(\263)X
8405 1 f
8406 10 f
8407 1786 3660(R)N
8408 1 f
8409 1812 3668(D)N
8410 1876(/)X
8411 1904(2)X
8412 10 f
8413 1950 3660(H)N
8414 3 f
8415 1998 3668(and)N
8416 2146(x+y)X
8417 9 f
8418 2292(\243)X
8419 3 f
8420 2356(N+M)X
8421 9 f
8422 2536(-)X
8423 1 f
8424 10 f
8425 2580(Q)X
8426 1 f
8427 2606(D)X
8428 2670(/)X
8429 2698(2)X
8430 10 f
8431 2744(P)X
8432 3 f
8433 2772(,)X
8434 2812(and)X
8435 996 3796(\(overlap\))N
8436 1572(x)X
8437 9 f
8438 (-)S
8439 3 f
8440 1656(y)X
8441 1716(=)X
8442 1782(u)X
8443 9 f
8444 1826(-)X
8445 3 f
8446 1870(v)X
8447 1930(and)X
8448 2078(x)X
8449 9 f
8450 2138(\263)X
8451 3 f
8452 2202(u.)X
8453 1 f
8454 996 4016(Moreover,)N
8455 1353(both)X
8456 1515(D/2-paths)X
8457 1851(are)X
8458 1970(contained)X
8459 2302(within)X
8460 2526(D-paths)X
8461 2800(from)X
8462 2976(\(0,0\))X
8463 3150(to)X
8464 3232(\(N,M\).)X
8465 3 f
8466 576 4172(Proof:)N
8467 1 f
8468 696 4328(Suppose)N
8469 989(there)X
8470 1172(is)X
8471 1247(a)X
8472 1305(D-path)X
8473 1550(from)X
8474 1728(\(0,0\))X
8475 1904(to)X
8476 1988(\(N,M\).)X
8477 2253(It)X
8478 2324(can)X
8479 2458(be)X
8480 2556(partitioned)X
8481 2925(at)X
8482 3005(the)X
8483 3125(start,)X
8484 3305(\(x,y\),)X
8485 3501(of)X
8486 3590(its)X
8487 3687(middle)X
8488 3931(snake)X
8489 4137(into)X
8490 4284(a)X
8491 10 f
8492 576 4448(R)N
8493 1 f
8494 602 4456(D)N
8495 666(/)X
8496 694(2)X
8497 10 f
8498 740 4448(H)N
8499 1 f
8500 768 4456(-path)N
8501 956(from)X
8502 1135(\(0,0\))X
8503 1312(to)X
8504 1396(\(x,y\))X
8505 1572(and)X
8506 1710(a)X
8507 10 f
8508 1768(Q)X
8509 1 f
8510 1794(D)X
8511 1858(/)X
8512 1886(2)X
8513 10 f
8514 1932(P)X
8515 1 f
8516 1960(-path)X
8517 2147(from)X
8518 2325(\(u,v\))X
8519 2501(to)X
8520 2585(\(N,M\))X
8521 2810(where)X
8522 3029(\(u,v\))X
8523 3205(=)X
8524 3272(\(x,y\).)X
8525 3488(A)X
8526 3568(path)X
8527 3728(from)X
8528 3906(\(0,0\))X
8529 4082(to)X
8530 4166(\(u,v\))X
8531 576 4584(can)N
8532 708(have)X
8533 880(at)X
8534 958(most)X
8535 1133(u+v)X
8536 1278(non-diagonal)X
8537 1722(edges)X
8538 1926(and)X
8539 2063(there)X
8540 2245(is)X
8541 2319(a)X
8542 10 f
8543 2376 4576(R)N
8544 1 f
8545 2402 4584(D)N
8546 2466(/)X
8547 2494(2)X
8548 10 f
8549 2540 4576(H)N
8550 1 f
8551 2568 4584(-path)N
8552 2754(to)X
8553 2837(\(u,v\))X
8554 3012(implying)X
8555 3321(that)X
8556 3462(u+v)X
8557 9 f
8558 3608(\263)X
8559 10 f
8560 3673 4576(R)N
8561 1 f
8562 3699 4584(D)N
8563 3763(/)X
8564 3791(2)X
8565 10 f
8566 3837 4576(H)N
8567 1 f
8568 3865 4584(.)N
8569 3926(A)X
8570 4005(path)X
8571 4164(from)X
8572 576 4712(\(x,y\))N
8573 755(to)X
8574 842(\(N,M\))X
8575 1070(can)X
8576 1207(have)X
8577 1384(at)X
8578 1467(most)X
8579 1647(\(N+M\))X
8580 9 f
8581 1875(-)X
8582 1 f
8583 1919(\(x+y\))X
8584 2123(non-diagonal)X
8585 2571(edges)X
8586 2779(and)X
8587 2920(there)X
8588 3106(is)X
8589 3183(a)X
8590 10 f
8591 3243(Q)X
8592 1 f
8593 3269(D)X
8594 3333(/)X
8595 3361(2)X
8596 10 f
8597 3407(P)X
8598 1 f
8599 3435(-path)X
8600 3624(to)X
8601 3710(\(x,y\))X
8602 3888(implying)X
8603 4200(that)X
8604 576 4840(x+y)N
8605 9 f
8606 721(\243)X
8607 1 f
8608 785(N+M)X
8609 9 f
8610 (-)S
8611 10 f
8612 1003(Q)X
8613 1 f
8614 1029(D)X
8615 1093(/)X
8616 1121(2)X
8617 10 f
8618 1167(P)X
8619 1 f
8620 1195(.)X
8621 1255(Finally,)X
8622 1521(u)X
8623 9 f
8624 (-)S
8625 1 f
8626 1605(v)X
8627 1665(=)X
8628 1730(x)X
8629 9 f
8630 (-)S
8631 1 f
8632 1814(y)X
8633 1874(and)X
8634 2010(u)X
8635 9 f
8636 (\243)S
8637 1 f
8638 2094(x)X
8639 2154(as)X
8640 2241(\(x,y\))X
8641 2415(=)X
8642 2480(\(u,v\).)X
8643 696 4996(Conversely,)N
8644 1111(suppose)X
8645 1399(the)X
8646 10 f
8647 1527 4988(R)N
8648 1 f
8649 1553 4996(D)N
8650 1617(/)X
8651 1645(2)X
8652 10 f
8653 1691 4988(H)N
8654 1 f
8655 1719 4996(-)N
8656 1776(and)X
8657 10 f
8658 1922(Q)X
8659 1 f
8660 1948(D)X
8661 2012(/)X
8662 2040(2)X
8663 10 f
8664 2086(P)X
8665 1 f
8666 2114(-paths)X
8667 2340(exist.)X
8668 2561(But)X
8669 2706(u)X
8670 9 f
8671 (\243)S
8672 1 f
8673 2790(x)X
8674 2860(implies)X
8675 3125(there)X
8676 3316(is)X
8677 3399(a)X
8678 3465(k-path)X
8679 3701(from)X
8680 3888(\(0,0\))X
8681 4073(to)X
8682 4166(\(u,v\))X
8683 576 5124(where)N
8684 800(k)X
8685 9 f
8686 (\243)S
8687 10 f
8688 884 5116(R)N
8689 1 f
8690 910 5124(D)N
8691 974(/)X
8692 1002(2)X
8693 10 f
8694 1048 5116(H)N
8695 1 f
8696 1076 5124(.)N
8697 1143(By)X
8698 1263(Lemma)X
8699 1534(1,)X
8700 9 f
8701 1620(D)X
8702 1 f
8703 1695(=)X
8704 10 f
8705 1766 5116(R)N
8706 1 f
8707 1792 5124(D)N
8708 1856(/)X
8709 1884(2)X
8710 10 f
8711 1930 5116(H)N
8712 9 f
8713 1958 5124(-)N
8714 1 f
8715 2002(k)X
8716 2068(is)X
8717 2147(a)X
8718 2209(multiple)X
8719 2501(of)X
8720 2594(2)X
8721 2660(as)X
8722 2753(both)X
8723 2921(the)X
8724 3045(k-path)X
8725 3276(and)X
8726 10 f
8727 3418 5116(R)N
8728 1 f
8729 3444 5124(D)N
8730 3508(/)X
8731 3536(2)X
8732 10 f
8733 3582 5116(H)N
8734 1 f
8735 3610 5124(-path)N
8736 3801(end)X
8737 3943(in)X
8738 4031(the)X
8739 4155(same)X
8740 576 5252(diagonal.)N
8741 920(Moreover,)X
8742 1285(the)X
8743 1411(k-path)X
8744 1644(has)X
8745 1779(\(u+v)X
8746 9 f
8747 1931(-)X
8748 1 f
8749 1975(k\)/2)X
8750 9 f
8751 2132(\263)X
8752 2204(D)X
8753 1 f
8754 2253(/2)X
8755 2343(diagonals)X
8756 2679(as)X
8757 2775(u+v)X
8758 9 f
8759 2929(\243)X
8760 10 f
8761 3002 5244(R)N
8762 1 f
8763 3028 5252(D)N
8764 3092(/)X
8765 3120(2)X
8766 10 f
8767 3166 5244(H)N
8768 1 f
8769 3194 5252(.)N
8770 3263(By)X
8771 3385(replacing)X
8772 3713(each)X
8773 3890(of)X
8774 9 f
8775 3986(D)X
8776 1 f
8777 4035(/2)X
8778 4126(of)X
8779 4222(the)X
8780 576 5380(diagonals)N
8781 904(in)X
8782 987(the)X
8783 1106(k-path)X
8784 1332(with)X
8785 1495(a)X
8786 1552(pair)X
8787 1698(of)X
8788 1786(horizontal)X
8789 2132(and)X
8790 2269(vertical)X
8791 2531(edges,)X
8792 2755(a)X
8793 10 f
8794 2812 5372(R)N
8795 1 f
8796 2838 5380(D)N
8797 2902(/)X
8798 2930(2)X
8799 10 f
8800 2976 5372(H)N
8801 1 f
8802 3004 5380(-path)N
8803 3190(from)X
8804 3366(\(0,0\))X
8805 3540(to)X
8806 3622(\(u,v\))X
8807 3796(is)X
8808 3869(obtained.)X
8809 4205(But)X
8810 576 5508(then)N
8811 737(there)X
8812 921(is)X
8813 997(a)X
8814 1056(D-path)X
8815 1303(from)X
8816 1483(\(0,0\))X
8817 1661(to)X
8818 1747(\(N,M\))X
8819 1974(consisting)X
8820 2322(of)X
8821 2413(this)X
8822 10 f
8823 2552 5500(R)N
8824 1 f
8825 2578 5508(D)N
8826 2642(/)X
8827 2670(2)X
8828 10 f
8829 2716 5500(H)N
8830 1 f
8831 2744 5508(-path)N
8832 2933(to)X
8833 3019(\(u,v\))X
8834 3197(and)X
8835 3337(the)X
8836 3459(the)X
8837 3581(given)X
8838 10 f
8839 3783(Q)X
8840 1 f
8841 3809(D)X
8842 3873(/)X
8843 3901(2)X
8844 10 f
8845 3947(P)X
8846 1 f
8847 3975(-path)X
8848 4164(from)X
8849 576 5636(\(u,v\))N
8850 758(to)X
8851 848(\(N,M\).)X
8852 1119(Note)X
8853 1303(that)X
8854 1451(the)X
8855 10 f
8856 1577(Q)X
8857 1 f
8858 1603(D)X
8859 1667(/)X
8860 1695(2)X
8861 10 f
8862 1741(P)X
8863 1 f
8864 1769(-path)X
8865 1962(is)X
8866 2043(part)X
8867 2196(of)X
8868 2291(this)X
8869 2434(D-path.)X
8870 2724(By)X
8871 2844(a)X
8872 2907(symmetric)X
8873 3272(argument)X
8874 3602(the)X
8875 10 f
8876 3727 5628(R)N
8877 1 f
8878 3753 5636(D)N
8879 3817(/)X
8880 3845(2)X
8881 10 f
8882 3891 5628(H)N
8883 1 f
8884 3919 5636(-path)N
8885 4111(is)X
8886 4191(also)X
8887 576 5764(part)N
8888 721(of)X
8889 808(a)X
8890 864(D-path)X
8891 1107(from)X
8892 1283(\(0,0\))X
8893 1457(to)X
8894 1539(\(N,M\).)X
8895 16 s
8896 10 f
8897 1842 5844(`)N
8898 10 s
8899 1 f
8900 2361 6176(-)N
8901 2408(10)X
8902 2508(-)X
8903
8904 11 p
8905 %%Page: 11 11
8906 10 s 10 xH 0 xS 1 f
8907 696 704(The)N
8908 842(outline)X
8909 1085(below)X
8910 1302(gives)X
8911 1492(the)X
8912 1611(procedure)X
8913 1954(for)X
8914 2069(\256nding)X
8915 2316(the)X
8916 2435(middle)X
8917 2678(snake)X
8918 2882(of)X
8919 2970(an)X
8920 3067(optimal)X
8921 3332(path.)X
8922 3532(For)X
8923 3665(successive)X
8924 4026(values)X
8925 4253(of)X
8926 576 832(D,)N
8927 678(compute)X
8928 978(the)X
8929 1100(endpoints)X
8930 1435(of)X
8931 1526(the)X
8932 1648(furthest)X
8933 1917(reaching)X
8934 2218(forward)X
8935 2497(D-paths)X
8936 2774(from)X
8937 2953(\(0,0\))X
8938 3130(and)X
8939 3269(then)X
8940 3430(compute)X
8941 3729(the)X
8942 3850(furthest)X
8943 4118(reach-)X
8944 576 960(ing)N
8945 698(reverse)X
8946 951(D-paths)X
8947 1225(from)X
8948 1401(\(N,M\).)X
8949 1664(Do)X
8950 1782(so)X
8951 1873(in)X
8952 1955(V)X
8953 2033(vectors,)X
8954 2305(one)X
8955 2441(for)X
8956 2555(each)X
8957 2724(direction,)X
8958 3050(as)X
8959 3138(in)X
8960 3221(the)X
8961 3340(basic)X
8962 3526(algorithm.)X
8963 3898(As)X
8964 4008(each)X
8965 4177(end-)X
8966 576 1088(point)N
8967 764(is)X
8968 841(computed,)X
8969 1201(check)X
8970 1413(to)X
8971 1499(see)X
8972 1626(if)X
8973 1699(it)X
8974 1767(overlaps)X
8975 2063(with)X
8976 2229(the)X
8977 2351(path)X
8978 2513(in)X
8979 2599(the)X
8980 2721(same)X
8981 2909(diagonal)X
8982 3208(but)X
8983 3333(opposite)X
8984 3627(direction.)X
8985 3975(A)X
8986 4056(check)X
8987 4267(is)X
8988 576 1216(needed)N
8989 830(to)X
8990 918(ensure)X
8991 1154(that)X
8992 1300(there)X
8993 1487(is)X
8994 1566(an)X
8995 1668(opposing)X
8996 1987(path)X
8997 2151(in)X
8998 2239(the)X
8999 2364(given)X
9000 2569(diagonal)X
9001 2872(because)X
9002 3154(forward)X
9003 3436(paths)X
9004 3632(are)X
9005 3758(in)X
9006 3847(diagonals)X
9007 4181(cen-)X
9008 576 1344(tered)N
9009 764(about)X
9010 969(0)X
9011 1036(and)X
9012 1179(reverse)X
9013 1439(paths)X
9014 1635(are)X
9015 1761(in)X
9016 1850(diagonals)X
9017 2184(centered)X
9018 2484(around)X
9019 9 f
9020 2734(D)X
9021 1 f
9022 2810(=)X
9023 2882(N)X
9024 9 f
9025 2940(-)X
9026 1 f
9027 2984(M.)X
9028 3122(Moreover,)X
9029 3486(by)X
9030 3593(Lemma)X
9031 3865(1,)X
9032 3952(the)X
9033 4076(optimal)X
9034 576 1472(edit)N
9035 720(script)X
9036 922(length)X
9037 1146(is)X
9038 1223(odd)X
9039 1368(or)X
9040 1460(even)X
9041 1637(as)X
9042 9 f
9043 1729(D)X
9044 1 f
9045 1803(is)X
9046 1881(odd)X
9047 2026(or)X
9048 2118(even.)X
9049 2335(Thus)X
9050 2520(when)X
9051 9 f
9052 2719(D)X
9053 1 f
9054 2793(is)X
9055 2871(odd,)X
9056 3036(check)X
9057 3249(for)X
9058 3368(overlap)X
9059 3634(only)X
9060 3801(while)X
9061 4004(extending)X
9062 576 1600(forward)N
9063 862(paths)X
9064 1062(and)X
9065 1209(when)X
9066 9 f
9067 1414(D)X
9068 1 f
9069 1494(is)X
9070 1578(even,)X
9071 1781(check)X
9072 2000(for)X
9073 2125(overlap)X
9074 2397(only)X
9075 2570(while)X
9076 2779(extending)X
9077 3126(reverse)X
9078 3390(paths.)X
9079 3630(As)X
9080 3750(soon)X
9081 3932(as)X
9082 4030(a)X
9083 4097(pair)X
9084 4253(of)X
9085 576 1728(opposing)N
9086 902(and)X
9087 1051(furthest)X
9088 1329(reaching)X
9089 1639(paths)X
9090 1841(overlap,)X
9091 2135(stop)X
9092 2301(and)X
9093 2450(report)X
9094 2675(the)X
9095 2806(overlapping)X
9096 3222(snake)X
9097 3438(as)X
9098 3538(the)X
9099 3670(middle)X
9100 3926(snake)X
9101 4143(of)X
9102 4244(an)X
9103 576 1856(optimal)N
9104 845(path.)X
9105 1048(Note)X
9106 1229(that)X
9107 1374(the)X
9108 1497(endpoints)X
9109 1833(of)X
9110 1925(this)X
9111 2065(snake)X
9112 2273(can)X
9113 2410(be)X
9114 2511(readily)X
9115 2759(delivered)X
9116 3083(as)X
9117 3175(the)X
9118 3298(snake)X
9119 3506(was)X
9120 3656(just)X
9121 3796(computed)X
9122 4136(in)X
9123 4222(the)X
9124 576 1984(previous)N
9125 872(step.)X
9126 3 f
9127 9 f
9128 776 2176(D)N
9129 845 MX
9130 (<-)172 1768 oc
9131 3 f
9132 944(N)X
9133 9 f
9134 1002(-)X
9135 3 f
9136 1046(M)X
9137 776 2304(For)N
9138 921(D)X
9139 9 f
9140 999 MX
9141 (<-)172 1768 oc
9142 3 f
9143 1098(0)X
9144 1158(to)X
9145 1 f
9146 10 f
9147 1245 2296(R)N
9148 1 f
9149 1271 2304(\()N
9150 1304(M)X
9151 9 f
9152 1388(+)X
9153 1 f
9154 1445(N)X
9155 1509(\))X
9156 1542(/)X
9157 1570(2)X
9158 10 f
9159 1616 2296(H)N
9160 3 f
9161 1664 2304(Do)N
9162 948 2432(For)N
9163 1093(k)X
9164 9 f
9165 1157 MX
9166 (<-)172 1768 oc
9167 1256(-)X
9168 3 f
9169 1300(D)X
9170 1378(to)X
9171 1465(D)X
9172 1543(in)X
9173 1629(steps)X
9174 1818(of)X
9175 1905(2)X
9176 1965(Do)X
9177 1121 2560(Find)N
9178 1300(the)X
9179 1427(end)X
9180 1571(of)X
9181 1658(the)X
9182 1785(furthest)X
9183 2077(reaching)X
9184 2395(forward)X
9185 2696(D-path)X
9186 2956(in)X
9187 3042(diagonal)X
9188 3354(k.)X
9189 1121 2688(If)N
9190 9 f
9191 1199(D)X
9192 3 f
9193 1268(is)X
9194 1341(odd)X
9195 1489(and)X
9196 1 f
9197 1637(k)X
9198 9 f
9199 1702(\316)X
9200 1 f
9201 1784([)X
9202 9 f
9203 1817(D)X
9204 1879(-)X
9205 1 f
9206 1936(\()X
9207 1969(D)X
9208 9 f
9209 2040(-)X
9210 1 f
9211 2097(1)X
9212 2143(\))X
9213 2183(,)X
9214 9 f
9215 2209(D)X
9216 2271(+)X
9217 1 f
9218 2328(\()X
9219 2361(D)X
9220 9 f
9221 2432(-)X
9222 1 f
9223 2489(1)X
9224 2535(\))X
9225 2568(])X
9226 3 f
9227 2615(Then)X
9228 1294 2816(If)N
9229 1372(the)X
9230 1499(path)X
9231 1674(overlaps)X
9232 1983(the)X
9233 2110(furthest)X
9234 2402(reaching)X
9235 2720(reverse)X
9236 1 f
9237 2991(\()X
9238 3024(D)X
9239 9 f
9240 3095(-)X
9241 1 f
9242 3152(1)X
9243 3198(\))X
9244 3 f
9245 3225(-path)X
9246 3427(in)X
9247 3513(diagonal)X
9248 3825(k)X
9249 3889(Then)X
9250 1467 2944(Length)N
9251 1731(of)X
9252 1818(an)X
9253 1922(SES)X
9254 2083(is)X
9255 2156(2D)X
9256 9 f
9257 2254(-)X
9258 3 f
9259 2298(1.)X
9260 1467 3072(The)N
9261 1620(last)X
9262 1760(snake)X
9263 1975(of)X
9264 2062(the)X
9265 2189(forward)X
9266 2490(path)X
9267 2665(is)X
9268 2738(the)X
9269 2865(middle)X
9270 3120(snake.)X
9271 948 3200(For)N
9272 1093(k)X
9273 9 f
9274 1157 MX
9275 (<-)172 1768 oc
9276 1256(-)X
9277 3 f
9278 1300(D)X
9279 1378(to)X
9280 1465(D)X
9281 1543(in)X
9282 1629(steps)X
9283 1818(of)X
9284 1905(2)X
9285 1965(Do)X
9286 1121 3328(Find)N
9287 1300(the)X
9288 1427(end)X
9289 1571(of)X
9290 1658(the)X
9291 1785(furthest)X
9292 2077(reaching)X
9293 2395(reverse)X
9294 2666(D-path)X
9295 2926(in)X
9296 3012(diagonal)X
9297 3324(k+)X
9298 9 f
9299 3414(D)X
9300 3 f
9301 3463(.)X
9302 1121 3456(If)N
9303 9 f
9304 1199(D)X
9305 3 f
9306 1268(is)X
9307 1341(even)X
9308 1517(and)X
9309 1 f
9310 1665(k)X
9311 9 f
9312 1718(+)X
9313 1775(D)X
9314 1849(\316)X
9315 1 f
9316 1931([)X
9317 9 f
9318 1971(-)X
9319 1 f
9320 2028(D)X
9321 2092(,)X
9322 2118(D)X
9323 2182(])X
9324 3 f
9325 2229(Then)X
9326 1294 3584(If)N
9327 1372(the)X
9328 1499(path)X
9329 1674(overlaps)X
9330 1983(the)X
9331 2110(furthest)X
9332 2402(reaching)X
9333 2720(forward)X
9334 3021(D-path)X
9335 3281(in)X
9336 3367(diagonal)X
9337 3679(k+)X
9338 9 f
9339 3769(D)X
9340 3 f
9341 3838(Then)X
9342 1467 3712(Length)N
9343 1731(of)X
9344 1818(an)X
9345 1922(SES)X
9346 2083(is)X
9347 2156(2D.)X
9348 1467 3840(The)N
9349 1620(last)X
9350 1760(snake)X
9351 1975(of)X
9352 2062(the)X
9353 2189(reverse)X
9354 2460(path)X
9355 2635(is)X
9356 2708(the)X
9357 2835(middle)X
9358 3090(snake.)X
9359 1 f
9360 696 4060(The)N
9361 841(correctness)X
9362 1223(of)X
9363 1310(this)X
9364 1445(procedure)X
9365 1787(relies)X
9366 1981(heavily)X
9367 2237(on)X
9368 2337(Lemma)X
9369 2602(3.)X
9370 2702(Without)X
9371 2984(loss)X
9372 3129(of)X
9373 3217(generality)X
9374 3559(suppose)X
9375 9 f
9376 3838(D)X
9377 1 f
9378 3908(is)X
9379 3982(even.)X
9380 4195(The)X
9381 576 4188(algorithm)N
9382 911(stops)X
9383 1099(as)X
9384 1190(soon)X
9385 1365(as)X
9386 1456(the)X
9387 1578(smallest)X
9388 1864(D)X
9389 1946(is)X
9390 2023(encountered)X
9391 2440(for)X
9392 2558(which)X
9393 2778(furthest)X
9394 3047(reaching)X
9395 3348(D-paths)X
9396 3625(in)X
9397 3710(opposite)X
9398 4004(directions)X
9399 576 4316(overlap.)N
9400 883(First,)X
9401 1075(the)X
9402 1199(overlapping)X
9403 1608(paths)X
9404 1804(must)X
9405 1986(be)X
9406 2089(shown)X
9407 2325(to)X
9408 2414(satisfy)X
9409 2650(the)X
9410 2775(feasibility)X
9411 3122(condition)X
9412 3451(of)X
9413 3545(Lemma)X
9414 3817(3.)X
9415 3924(Suppose)X
9416 4222(the)X
9417 576 4444(reverse)N
9418 836(furthest)X
9419 1108(reaching)X
9420 1412(path)X
9421 1577(ends)X
9422 1751(at)X
9423 1836(\(u,v\))X
9424 2017(where)X
9425 2241(u+v)X
9426 2393(=)X
9427 2465(k.)X
9428 2572(There)X
9429 2787(is)X
9430 2867(always)X
9431 3117(a)X
9432 3180(k-path)X
9433 3412(of)X
9434 3506(non-diagonal)X
9435 3955(edges)X
9436 4164(from)X
9437 576 4572(\(0,0\))N
9438 753(to)X
9439 838(\(u,v\))X
9440 1015(which)X
9441 1234(when)X
9442 1431(combined)X
9443 1770(with)X
9444 1936(the)X
9445 2058(reverse)X
9446 2315(D-path)X
9447 2562(forms)X
9448 2773(a)X
9449 2833(k+D-path)X
9450 3165(from)X
9451 3345(\(0,0\))X
9452 3523(to)X
9453 3609(\(N,M\).)X
9454 3876(This)X
9455 4042(path)X
9456 4204(and)X
9457 576 4700(Lemma)N
9458 844(3)X
9459 907(imply)X
9460 1116(there)X
9461 1300(are)X
9462 1422(overlapping)X
9463 1828(h-paths)X
9464 2087(where)X
9465 2307(h)X
9466 2370(=)X
9467 2438(\(k+D\)/2)X
9468 2720(\(k+D)X
9469 2913(is)X
9470 2989(divisible)X
9471 3287(by)X
9472 3390(2)X
9473 3453(as)X
9474 9 f
9475 3543(D)X
9476 1 f
9477 3615(is)X
9478 3691(even\).)X
9479 3933(So)X
9480 4039(certainly)X
9481 576 4828(there)N
9482 767(are)X
9483 896(overlapping)X
9484 1309(furthest)X
9485 1584(reaching)X
9486 1891(h-or-less)X
9487 2203(paths.)X
9488 2443(If)X
9489 2528(k)X
9490 2599(<)X
9491 2675(D,)X
9492 2784(then)X
9493 2953(h)X
9494 3024(<)X
9495 3100(D)X
9496 3189(contradicting)X
9497 3643(the)X
9498 3772(fact)X
9499 3924(that)X
9500 4075(furthest)X
9501 576 4956(reaching)N
9502 876(D-paths)X
9503 1153(are)X
9504 1275(the)X
9505 1396(\256rst)X
9506 1543(to)X
9507 1628(overlap.)X
9508 1932(So)X
9509 2039(u+v)X
9510 9 f
9511 2187(\263)X
9512 1 f
9513 2254(D)X
9514 2335(as)X
9515 2424(desired.)X
9516 2718(A)X
9517 2798(similar)X
9518 3042(argument)X
9519 3367(shows)X
9520 3589(that)X
9521 3731(the)X
9522 3851(furthest)X
9523 4118(reach-)X
9524 576 5084(ing)N
9525 701(forward)X
9526 979(D-path)X
9527 1225(also)X
9528 1377(satis\256es)X
9529 1653(the)X
9530 1775(feasibility)X
9531 2119(constraint)X
9532 2459(of)X
9533 2550(Lemma)X
9534 2819(3.)X
9535 2923(Now)X
9536 3103(the)X
9537 3225(feasible,)X
9538 3519(overlapping)X
9539 3926(D-paths)X
9540 4204(and)X
9541 576 5212(Lemma)N
9542 844(3)X
9543 907(imply)X
9544 1116(that)X
9545 1259(there)X
9546 1443(is)X
9547 1519(a)X
9548 1578(solution)X
9549 1858(path)X
9550 2019(of)X
9551 2109(length)X
9552 2332(2D.)X
9553 2493(This)X
9554 2658(must)X
9555 2836(be)X
9556 2935(optimal)X
9557 3202(for)X
9558 3319(if)X
9559 3391(there)X
9560 3575(is)X
9561 3651(a)X
9562 3710(2k-path,)X
9563 3997(k<D,)X
9564 4182(then)X
9565 576 5340(the)N
9566 696(lemma)X
9567 936(implies)X
9568 1193(there)X
9569 1376(are)X
9570 1497(k-paths)X
9571 1755(that)X
9572 1898(overlap.)X
9573 2202(But)X
9574 2340(this)X
9575 2478(implies)X
9576 2736(that)X
9577 2879(there)X
9578 3063(are)X
9579 3185(overlapping)X
9580 3591(furthest)X
9581 3859(reaching)X
9582 4159(k-or-)X
9583 576 5468(less)N
9584 722(paths,)X
9585 936(contradicting)X
9586 1384(the)X
9587 1507(fact)X
9588 1653(that)X
9589 1798(there)X
9590 1984(are)X
9591 2108(no)X
9592 2213(overlapping)X
9593 2621(paths)X
9594 2815(for)X
9595 2934(smaller)X
9596 3195(D.)X
9597 3318(Thus)X
9598 3503(by)X
9599 3608(Lemma)X
9600 3878(3,)X
9601 3963(both)X
9602 4130(of)X
9603 4222(the)X
9604 576 5596(overlapping)N
9605 980(paths)X
9606 1170(are)X
9607 1290(parts)X
9608 1468(of)X
9609 1557(optimal)X
9610 1823(2D-paths)X
9611 2139(from)X
9612 2317(\(0,0\))X
9613 2493(to)X
9614 2577(\(N,M\).)X
9615 2842(The)X
9616 2989(same)X
9617 3176(conclusion)X
9618 3545(can)X
9619 3679(be)X
9620 3777(drawn)X
9621 4000(when)X
9622 9 f
9623 4196(D)X
9624 1 f
9625 4267(is)X
9626 576 5724(odd.)N
9627 761(It)X
9628 835(remains)X
9629 1114(to)X
9630 1201(show)X
9631 1395(that)X
9632 1540(the)X
9633 1662(chosen)X
9634 1909(snake)X
9635 2116(is)X
9636 2193(the)X
9637 2315(middle)X
9638 2561(snake)X
9639 2768(of)X
9640 2859(the)X
9641 2981(optimal)X
9642 3249(path)X
9643 3411(of)X
9644 3502(which)X
9645 3722(it)X
9646 3790(is)X
9647 3867(a)X
9648 3927(part.)X
9649 4116(If)X
9650 9 f
9651 4194(D)X
9652 1 f
9653 4267(is)X
9654 2361 6176(-)N
9655 2408(11)X
9656 2508(-)X
9657
9658 12 p
9659 %%Page: 12 12
9660 10 s 10 xH 0 xS 1 f
9661 576 704(odd\(even\))N
9662 927(then)X
9663 1090(this)X
9664 1230(snake)X
9665 1439(is)X
9666 1518(the)X
9667 1642(D)X
9668 9 f
9669 1713(+)X
9670 1 f
9671 1770(1)X
9672 7 s
9673 1814 672(st)N
9674 10 s
9675 1884 704(of)N
9676 1977(a)X
9677 2039 0.3167(forward\(reverse\))AX
9678 2607(path)X
9679 2771(which)X
9680 2993(is)X
9681 3072(part)X
9682 3223(of)X
9683 3316(an)X
9684 3418(optimal)X
9685 3688(2D)X
9686 9 f
9687 3786(-)X
9688 1 f
9689 3830(1\(2D\)-path.)X
9690 4253(In)X
9691 576 832(either)N
9692 779(case)X
9693 938(the)X
9694 1056(snake)X
9695 1259(is)X
9696 1332(the)X
9697 10 f
9698 1450 824(R)N
9699 1 f
9700 1476 832(k)N
9701 1522(/)X
9702 1550(2)X
9703 10 f
9704 1596 824(H)N
9705 9 f
9706 1637 832(+)N
9707 1 f
9708 1694(1)X
9709 7 s
9710 1738 800(st)N
9711 10 s
9712 1802 832(of)N
9713 1889(an)X
9714 1985(optimal)X
9715 2249(k-path)X
9716 2474(containing)X
9717 2832(it.)X
9718 696 988(The)N
9719 847(procedure)X
9720 1195(for)X
9721 1315(\256nding)X
9722 1567(the)X
9723 1691(middle)X
9724 1939(snake)X
9725 2148(of)X
9726 2241(an)X
9727 2343(optimal)X
9728 2614(D-path)X
9729 2864(requires)X
9730 3150(a)X
9731 3213(total)X
9732 3382(of)X
9733 3476(O\(D\))X
9734 3673(working)X
9735 3967(storage)X
9736 4226(for)X
9737 576 1116(the)N
9738 700(two)X
9739 846(V)X
9740 930(vectors.)X
9741 1228(The)X
9742 1379(procedure)X
9743 1727(only)X
9744 1894(requires)X
9745 2178(O\(\(M+N\)D\))X
9746 2601(time)X
9747 2768(because)X
9748 3048(the)X
9749 3171(forward)X
9750 3451(and)X
9751 3592(reverse)X
9752 3850(path)X
9753 4013(extension)X
9754 576 1244(portions)N
9755 860(both)X
9756 1024(consume)X
9757 1331(O\(\(M+N\)D\))X
9758 1751(time)X
9759 1915(by)X
9760 2017(the)X
9761 2137(same)X
9762 2324(argument)X
9763 2649(used)X
9764 2818(for)X
9765 2934(the)X
9766 3054(basic)X
9767 3241(algorithm.)X
9768 3614(In)X
9769 3703(fact,)X
9770 3866(the)X
9771 3986(number)X
9772 4253(of)X
9773 576 1372(snakes)N
9774 818(traversed)X
9775 1141(in)X
9776 1231(extending)X
9777 1575(forward)X
9778 1858(and)X
9779 2002(reverse)X
9780 2263(paths)X
9781 2460(can)X
9782 2599(be)X
9783 2 f
9784 2702(half)X
9785 1 f
9786 2853(that)X
9787 3000(of)X
9788 3094(the)X
9789 3219(basic)X
9790 3411(algorithm)X
9791 3749(because)X
9792 4031(only)X
9793 4200(D/2)X
9794 576 1500(diagonals)N
9795 903(are)X
9796 1022(searched.)X
9797 1364(This)X
9798 1527(feature)X
9799 1772(is)X
9800 1846(of)X
9801 1934(practical)X
9802 2232(import)X
9803 2466(\320)X
9804 2567(experiments)X
9805 2980(reveal)X
9806 3198(that)X
9807 3339(this)X
9808 3475(procedure)X
9809 3818(for)X
9810 3933(determining)X
9811 576 1628(the)N
9812 706(length)X
9813 938(of)X
9814 1037(an)X
9815 1145(SES)X
9816 1314(is)X
9817 1399(as)X
9818 1497(ef\256cient)X
9819 1791(as)X
9820 1889(the)X
9821 2018(basic)X
9822 2214(algorithm)X
9823 2556(when)X
9824 2761(D)X
9825 2850(=)X
9826 2926(0)X
9827 2997(and)X
9828 3144(rapidly)X
9829 3402(becomes)X
9830 3714(twice)X
9831 3919(as)X
9832 4017(fast)X
9833 4164(as)X
9834 4262(D)X
9835 576 1756(increases.)N
9836 696 1912(Given)N
9837 913(the)X
9838 1032(middle)X
9839 1275(snake)X
9840 1479(procedure,)X
9841 1842(a)X
9842 1899(linear)X
9843 2103(space)X
9844 2303(algorithm)X
9845 2635(for)X
9846 2750(\256nding)X
9847 2997(an)X
9848 3094(optimal)X
9849 3359(path)X
9850 3518(through)X
9851 3788(the)X
9852 3907(edit)X
9853 4048(graph)X
9854 4253(of)X
9855 576 2040(A)N
9856 657(and)X
9857 796(B)X
9858 872(of)X
9859 962(sizes)X
9860 1140(N)X
9861 1220(and)X
9862 1358(M)X
9863 1451(can)X
9864 1585(be)X
9865 1683(devised.)X
9866 1990(For)X
9867 2123(simplicity,)X
9868 2484(the)X
9869 2604(divide-and-conquer)X
9870 3255(algorithm)X
9871 3588(below)X
9872 3806(just)X
9873 3943(lists)X
9874 4093(a)X
9875 4151(long-)X
9876 576 2168(est)N
9877 686(common)X
9878 987(subsequence)X
9879 1414(of)X
9880 1502(A)X
9881 1581(and)X
9882 1718(B.)X
9883 1832(\(Producing)X
9884 2209(a)X
9885 2266(shortest)X
9886 2536(edit)X
9887 2677(script)X
9888 2876(is)X
9889 2950(left)X
9890 3078(as)X
9891 3166(an)X
9892 3263(exercise.\))X
9893 3616(First,)X
9894 3804(divide)X
9895 4026(the)X
9896 4146(prob-)X
9897 576 2296(lem)N
9898 725(by)X
9899 834(\256nding)X
9900 1089(a)X
9901 1154(middle)X
9902 1405(snake)X
9903 1616(from,)X
9904 1820(say,)X
9905 1975(\(x,y\))X
9906 2157(to)X
9907 2247(\(u,v\))X
9908 2429(of)X
9909 2524(an)X
9910 2628(optimal)X
9911 2900(D-path.)X
9912 3191(Begin)X
9913 3410(conquering)X
9914 3799(the)X
9915 3925(problem,)X
9916 4240(by)X
9917 576 2424(recursively)N
9918 968(\256nding)X
9919 1229(a)X
9920 10 f
9921 1300 2416(R)N
9922 1 f
9923 1326 2424(D)N
9924 1390(/)X
9925 1418(2)X
9926 10 f
9927 1464 2416(H)N
9928 1 f
9929 1492 2424(-path)N
9930 1692(from)X
9931 1883(\(0,0\))X
9932 2072(to)X
9933 2169(\(x,y\))X
9934 2358(and)X
9935 2509(listing)X
9936 2743(its)X
9937 2853(LCS.)X
9938 3074(Then)X
9939 3274(list)X
9940 3406(the)X
9941 3540(middle)X
9942 3798(snake)X
9943 4017(\(``Output)X
9944 576 2552(A[x..u]'')N
9945 887(lists)X
9946 1040(nothing)X
9947 1309(if)X
9948 1383(u)X
9949 1448(<)X
9950 1518(x\).)X
9951 1650(Finally,)X
9952 1921(recursively)X
9953 2303(\256nd)X
9954 2451(the)X
9955 10 f
9956 2573(Q)X
9957 1 f
9958 2599(D)X
9959 2663(/)X
9960 2691(2)X
9961 10 f
9962 2737(P)X
9963 1 f
9964 2765(-path)X
9965 2954(from)X
9966 3134(\(u,v\))X
9967 3312(to)X
9968 3398(\(N,M\))X
9969 3625(and)X
9970 3765(list)X
9971 3886(its)X
9972 3985(LCS.)X
9973 4195(The)X
9974 576 2680(recursion)N
9975 898(ends)X
9976 1068(in)X
9977 1153(two)X
9978 1296(ways.)X
9979 1524(If)X
9980 1601(N=0)X
9981 1767(or)X
9982 1857(M=0)X
9983 2036(then)X
9984 2197(L=0)X
9985 2355(and)X
9986 2495(there)X
9987 2680(is)X
9988 2757(nothing)X
9989 3025(to)X
9990 3111(list.)X
9991 3272(In)X
9992 3363(the)X
9993 3485(other)X
9994 3674(case,)X
9995 3857(N>0)X
9996 4024(and)X
9997 4164(M>0)X
9998 576 2808(and)N
9999 716(D)X
10000 9 f
10001 774(\243)X
10002 1 f
10003 818(1.)X
10004 921(If)X
10005 998(D)X
10006 9 f
10007 1056(\243)X
10008 1 f
10009 1100(1)X
10010 1163(then)X
10011 1324(B)X
10012 1400(is)X
10013 1476(obtained)X
10014 1775(from)X
10015 1954(A)X
10016 2035(by)X
10017 2138(either)X
10018 2344(deleting)X
10019 2625(or)X
10020 2715(inserting)X
10021 3018(at)X
10022 3099(most)X
10023 3277(one)X
10024 3416(symbol.)X
10025 3714(But)X
10026 3852(then)X
10027 4013(it)X
10028 4080(follows)X
10029 576 2936(that)N
10030 716(the)X
10031 834(shorter)X
10032 1077(of)X
10033 1164(A)X
10034 1242(and)X
10035 1378(B)X
10036 1451(is)X
10037 1524(the)X
10038 1642(LCS)X
10039 1808(and)X
10040 1944(should)X
10041 2177(be)X
10042 2273(listed.)X
10043 3 f
10044 1184 3256(LCS\(A,N,B,M\))N
10045 1356 3384(If)N
10046 1434(N>0)X
10047 1598(and)X
10048 1746(M>0)X
10049 1928(Then)X
10050 1529 3512(Find)N
10051 1708(the)X
10052 1835(middle)X
10053 2090(snake)X
10054 2305(and)X
10055 2453(length)X
10056 2686(of)X
10057 2773(an)X
10058 2877(optimal)X
10059 3159(path)X
10060 3334(for)X
10061 3457(A)X
10062 3535(and)X
10063 3683(B.)X
10064 1529 3640(Suppose)N
10065 1832(it)X
10066 1901(is)X
10067 1974(from)X
10068 2164(\(x,y\))X
10069 2338(to)X
10070 2425(\(u,v\).)X
10071 1529 3768(If)N
10072 1607(D)X
10073 1685(>)X
10074 1751(1)X
10075 1811(Then)X
10076 1702 3896(LCS\(A[1..x],x,B[1..y],y\))N
10077 1702 4024(Output)N
10078 1970(A[x+1..u].)X
10079 1702 4152(LCS\(A[u+1..N],N)N
10080 9 f
10081 2302(-)X
10082 3 f
10083 2346(u,B[v+1..M],M)X
10084 9 f
10085 2855(-)X
10086 3 f
10087 2899(v\))X
10088 1529 4280(Else)N
10089 1691(If)X
10090 1769(M)X
10091 1865(>)X
10092 1931(N)X
10093 2009(Then)X
10094 1702 4408(Output)N
10095 1970(A[1..N].)X
10096 1529 4536(Else)N
10097 1702 4664(Output)N
10098 1970(B[1..M].)X
10099 1 f
10100 696 4884(Let)N
10101 829(T\(P,D\))X
10102 1080(be)X
10103 1182(the)X
10104 1306(time)X
10105 1474(taken)X
10106 1674(by)X
10107 1780(the)X
10108 1904(algorithm)X
10109 2241(where)X
10110 2464(P)X
10111 2535(is)X
10112 2615(N+M.)X
10113 2856(It)X
10114 2932(follows)X
10115 3199(that)X
10116 3346(T)X
10117 3422(satis\256es)X
10118 3702(the)X
10119 3827 0.4028(recurrence)AX
10120 4195(ine-)X
10121 576 5012(quality:)N
10122 1515 5272(T)N
10123 1570(\()X
10124 1603(P)X
10125 1653(,)X
10126 1679(D)X
10127 1743(\))X
10128 9 f
10129 1809(\243)X
10130 10 f
10131 1891 5202(I)N
10132 1891 5282(K)N
10133 1891 5362(L)N
10134 9 f
10135 5344(b)Y
10136 1 f
10137 1961(P)X
10138 9 f
10139 1911 5216(a)N
10140 1 f
10141 1967(PD)X
10142 9 f
10143 2082(+)X
10144 1 f
10145 2139(T)X
10146 2194(\()X
10147 2227(P)X
10148 7 s
10149 2280 5232(1)N
10150 10 s
10151 2320 5216(,)N
10152 10 f
10153 2346 5208(R)N
10154 1 f
10155 2372 5216(D)N
10156 2436(/)X
10157 2464(2)X
10158 10 f
10159 2510 5208(H)N
10160 1 f
10161 2544 5216(\))N
10162 9 f
10163 2584(+)X
10164 1 f
10165 2641(T)X
10166 2696(\()X
10167 2729(P)X
10168 7 s
10169 2782 5232(2)N
10170 10 s
10171 2822 5216(,)N
10172 10 f
10173 2848(Q)X
10174 1 f
10175 2874(D)X
10176 2938(/)X
10177 2966(2)X
10178 10 f
10179 3012(P)X
10180 1 f
10181 3046(\))X
10182 3131 5344(if)N
10183 3212(D)X
10184 9 f
10185 3276(\243)X
10186 1 f
10187 3326(1)X
10188 3131 5232(if)N
10189 3212(D)X
10190 3283(>)X
10191 3341(1)X
10192 576 5576(where)N
10193 798(P)X
10194 7 s
10195 851 5592(1)N
10196 10 s
10197 9 f
10198 898 5576(+)N
10199 1 f
10200 955(P)X
10201 7 s
10202 1008 5592(2)N
10203 10 s
10204 9 f
10205 1067 5576(\243)N
10206 1 f
10207 1136(P)X
10208 1205(and)X
10209 9 f
10210 1346(a)X
10211 1 f
10212 1421(and)X
10213 9 f
10214 1562(b)X
10215 1 f
10216 1632(are)X
10217 1757(suitably)X
10218 2036(large)X
10219 2223(constants.)X
10220 2587(Noting)X
10221 2835(that)X
10222 10 f
10223 2981 5568(R)N
10224 1 f
10225 3007 5576(D)N
10226 3071(/)X
10227 3099(2)X
10228 10 f
10229 3145 5568(H)N
10230 9 f
10231 3199 5576(\243)N
10232 1 f
10233 3269(2D/3)X
10234 3455(for)X
10235 3575(D)X
10236 9 f
10237 3633(\263)X
10238 1 f
10239 3677(2,)X
10240 3763(a)X
10241 3825(straightforward)X
10242 576 5704(induction)N
10243 924(argument)X
10244 1273(shows)X
10245 1519(that)X
10246 1684(T\(P,D\))X
10247 9 f
10248 1954(\243)X
10249 1 f
10250 2043(3)X
10251 9 f
10252 (a)S
10253 1 f
10254 2133(PD+)X
10255 9 f
10256 2280(b)X
10257 1 f
10258 2324(P.)X
10259 2453(Thus)X
10260 2658(the)X
10261 2801(divide-and-conquer)X
10262 3475(algorithm)X
10263 3831(still)X
10264 3995(takes)X
10265 4205(just)X
10266 576 5832(O\(\(M+N\)D\))N
10267 996(time)X
10268 1160(despite)X
10269 1409(the)X
10270 10 f
10271 1529 5824(R)N
10272 1 f
10273 1555 5832(lg)N
10274 1642(D)X
10275 10 f
10276 1706 5824(H)N
10277 1 f
10278 1756 5832(levels)N
10279 1965(of)X
10280 2054(recursion)X
10281 2375(through)X
10282 2646(which)X
10283 2864(it)X
10284 2930(descends.)X
10285 3282(Furthermore,)X
10286 3725(the)X
10287 3845(algorithm)X
10288 4178(only)X
10289 2361 6176(-)N
10290 2408(12)X
10291 2508(-)X
10292
10293 13 p
10294 %%Page: 13 13
10295 10 s 10 xH 0 xS 1 f
10296 576 704(requires)N
10297 862(O\(D\))X
10298 1059(working)X
10299 1353(storage.)X
10300 1652(The)X
10301 1804(middle)X
10302 2053(snake)X
10303 2263(procedure)X
10304 2612(requires)X
10305 2898(two)X
10306 3045(O\(D\))X
10307 3242(space)X
10308 3448(V)X
10309 3532(vectors.)X
10310 3830(But)X
10311 3971(this)X
10312 4112(step)X
10313 4267(is)X
10314 576 832(completed)N
10315 931(before)X
10316 1158(engaging)X
10317 1473(in)X
10318 1556(the)X
10319 1675(recursion.)X
10320 2035(Thus)X
10321 2216(only)X
10322 2379(one)X
10323 2516(pair)X
10324 2662(of)X
10325 2750(global)X
10326 2971(V)X
10327 3051(vectors)X
10328 3305(are)X
10329 3426(shared)X
10330 3658(by)X
10331 3760(all)X
10332 3862(invocations)X
10333 4253(of)X
10334 576 960(the)N
10335 695(procedure.)X
10336 1078(Moreover,)X
10337 1436(only)X
10338 1599(O\(lgD\))X
10339 1852(levels)X
10340 2060(of)X
10341 2148(recursion)X
10342 2468(are)X
10343 2588(traversed)X
10344 2904(implying)X
10345 3213(that)X
10346 3353(only)X
10347 3515(O\(lgD\))X
10348 3767(storage)X
10349 4019(is)X
10350 4092(needed)X
10351 576 1088(on)N
10352 676(the)X
10353 794(recursion)X
10354 1113(stack.)X
10355 1338(Unfortunately,)X
10356 1828(the)X
10357 1946(input)X
10358 2130(sequences)X
10359 2476(A)X
10360 2554(and)X
10361 2690(B)X
10362 2763(must)X
10363 2938(be)X
10364 3034(kept)X
10365 3192(in)X
10366 3275(memory,)X
10367 3583(implying)X
10368 3892(that)X
10369 4033(a)X
10370 4090(total)X
10371 4253(of)X
10372 576 1216(O\(M+N\))N
10373 882(space)X
10374 1081(is)X
10375 1154(needed.)X
10376 3 f
10377 576 1472(4c.)N
10378 692(An)X
10379 814(O)X
10380 882(\()X
10381 934(\()X
10382 967(M)X
10383 9 f
10384 1056(+)X
10385 3 f
10386 1113(N)X
10387 1177(\))X
10388 1217(lg)X
10389 1285(\()X
10390 1318(M)X
10391 9 f
10392 1407(+)X
10393 3 f
10394 1464(N)X
10395 1528(\))X
10396 9 f
10397 1594(+)X
10398 3 f
10399 1670(D)X
10400 7 s
10401 1732 1440(2)N
10402 10 s
10403 1791 1472(\))N
10404 1838(Worst-Case)X
10405 2264(Variation)X
10406 1 f
10407 696 1628(The)N
10408 842(\256nal)X
10409 1005(topic)X
10410 1186(involves)X
10411 1478(two)X
10412 1619(previous)X
10413 1916(results,)X
10414 2166(each)X
10415 2335(of)X
10416 2423(which)X
10417 2640(are)X
10418 2760(just)X
10419 2896(sketched)X
10420 3198(here.)X
10421 3399(First,)X
10422 3587(suf\256x)X
10423 3791(trees)X
10424 3965([12,14])X
10425 4221(are)X
10426 576 1756(used)N
10427 760(to)X
10428 859(ef\256ciently)X
10429 1220(record)X
10430 1462(the)X
10431 1596(common)X
10432 1912(sublists)X
10433 2187(of)X
10434 2290(the)X
10435 2424(sequences)X
10436 2786(being)X
10437 3000(compared.)X
10438 3393(The)X
10439 3554(term)X
10440 3737(sublist)X
10441 3981(is)X
10442 4070(used)X
10443 4253(as)X
10444 576 1884(opposed)N
10445 863(to)X
10446 945(subsequence)X
10447 1371(to)X
10448 1453(emphasize)X
10449 1812(that)X
10450 1953(the)X
10451 2072(symbols)X
10452 2359(must)X
10453 2535(be)X
10454 2632(contiguous.)X
10455 3044(Second,)X
10456 3321(a)X
10457 3378(recent)X
10458 3596(RAM-based)X
10459 4009(algorithm)X
10460 576 2012(for)N
10461 695(anwering)X
10462 1019(Q)X
10463 1101(on-line)X
10464 1352(queries)X
10465 1608(for)X
10466 1726(the)X
10467 1848(lowest)X
10468 2081(common)X
10469 2385(ancestors)X
10470 2708(of)X
10471 2799(vertices)X
10472 3073(in)X
10473 3159(a)X
10474 3219(\256xed)X
10475 3403(V-vertex)X
10476 3713(tree)X
10477 3858(takes)X
10478 4047(O\(V+Q\))X
10479 576 2140(time)N
10480 746([6].)X
10481 908(The)X
10482 1061(ef\256cient)X
10483 1352(variation)X
10484 1665(centers)X
10485 1921(on)X
10486 2029(quickly)X
10487 2297(\256nding)X
10488 2551(the)X
10489 2677(length)X
10490 2906(or)X
10491 3002(endpoint)X
10492 3311(of)X
10493 3407(a)X
10494 3472(maximal)X
10495 3781(snake)X
10496 3993(starting)X
10497 4262(at)X
10498 576 2268(point)N
10499 763(\(x,y\).)X
10500 980(This)X
10501 1145(is)X
10502 1221(shown)X
10503 1453(to)X
10504 1538(reduce)X
10505 1776(to)X
10506 1861(\256nding)X
10507 2110(the)X
10508 2231(lowest)X
10509 2463(common)X
10510 2766(ancestor)X
10511 3057(of)X
10512 3147(two)X
10513 3290(leaves)X
10514 3514(in)X
10515 3599(a)X
10516 3657(suf\256x)X
10517 3861(tree.)X
10518 4044(This)X
10519 4208(can)X
10520 576 2396(be)N
10521 678(done)X
10522 860(in)X
10523 948(O\(\(M+N\)lg\(M+N\)\))X
10524 1604(pre-processing)X
10525 2103(time)X
10526 2271(and)X
10527 2413(O\(1\))X
10528 2591(time)X
10529 2759(per)X
10530 2888(query)X
10531 3097(using)X
10532 3296(the)X
10533 3420(two)X
10534 3566(techniques)X
10535 3936(above.)X
10536 4195(The)X
10537 576 2524(ensuing)N
10538 845(paragraphs)X
10539 1218(embellish)X
10540 1549(these)X
10541 1734(ideas.)X
10542 696 2680(A)N
10543 777(suf\256x)X
10544 982(or)X
10545 1072(Patricia)X
10546 1340(tree)X
10547 1484([12,14])X
10548 1741(for)X
10549 1858(a)X
10550 1917(sequence)X
10551 2235(S)X
10552 2303(of)X
10553 2394(length)X
10554 2618(L)X
10555 2691(has)X
10556 2822(edges)X
10557 3029(labelled)X
10558 3307(with)X
10559 3473(sublists)X
10560 3736(of)X
10561 3827(S,)X
10562 3915(has)X
10563 4046(L)X
10564 4119(leaves)X
10565 576 2808(labelled)N
10566 850(with)X
10567 1012(the)X
10568 1130(positions)X
10569 1438(of)X
10570 1525(S,)X
10571 1609(and)X
10572 1745(satis\256es)X
10573 2018(the)X
10574 2136(following)X
10575 2467(three)X
10576 2648(properties.)X
10577 616 2964(1.)N
10578 776(Concatenating)X
10579 1265(the)X
10580 1389(edge)X
10581 1567(labels)X
10582 1780(traversed)X
10583 2101(on)X
10584 2207(the)X
10585 2332(path)X
10586 2497(from)X
10587 2680(the)X
10588 2805(root)X
10589 2961(to)X
10590 3050(the)X
10591 3175(leaf)X
10592 3323(for)X
10593 3444(position)X
10594 3728(j,)X
10595 3797(gives)X
10596 3993(the)X
10597 4118(suf\256x,)X
10598 776 3092(S[j..L],)N
10599 1025(of)X
10600 1112(S)X
10601 1176(starting)X
10602 1436(at)X
10603 1514(j.)X
10604 1596(Thus)X
10605 1776(every)X
10606 1975(path)X
10607 2133(within)X
10608 2357(the)X
10609 2475(tree)X
10610 2616(denotes)X
10611 2881(a)X
10612 2937(sublist)X
10613 3165(of)X
10614 3252(S.)X
10615 616 3248(2.)N
10616 776(Every)X
10617 988(interior)X
10618 1244(vertex)X
10619 1465(has)X
10620 1592(out-degree)X
10621 1956(greater)X
10622 2200(than)X
10623 2358(one.)X
10624 616 3404(3.)N
10625 776(The)X
10626 921(labels)X
10627 1128(of)X
10628 1215(the)X
10629 1333(out-edges)X
10630 1665(of)X
10631 1752(every)X
10632 1951(vertex)X
10633 2172(begin)X
10634 2370(with)X
10635 2532(distinct)X
10636 2787(symbols.)X
10637 576 3560(These)N
10638 788(properties)X
10639 1129(can)X
10640 1261(only)X
10641 1423(be)X
10642 1519(satis\256ed)X
10643 1801(if)X
10644 1870(the)X
10645 1988(last)X
10646 2119(symbol)X
10647 2374(of)X
10648 2461(S)X
10649 2525(is)X
10650 2598(distinct)X
10651 2853(from)X
10652 3029(every)X
10653 3228(other)X
10654 3413(symbol)X
10655 3668(in)X
10656 3750(S.)X
10657 3855(This)X
10658 4018(condition)X
10659 576 3688(is)N
10660 659(usually)X
10661 919(met)X
10662 1068(by)X
10663 1177(appending)X
10664 1540(a)X
10665 1605(special)X
10666 1857(symbol)X
10667 2121(to)X
10668 2212(the)X
10669 2339(target)X
10670 2551(sequence)X
10671 2875(and)X
10672 3020(once)X
10673 3201(satis\256ed,)X
10674 3512(the)X
10675 3639(suf\256x)X
10676 3850(tree)X
10677 4000(is)X
10678 4082(unique.)X
10679 576 3816(Property)N
10680 879(2)X
10681 946(guarantees)X
10682 1317(that)X
10683 1464(there)X
10684 1652(are)X
10685 1778(less)X
10686 1925(than)X
10687 2090(L)X
10688 2166(interior)X
10689 2429(vertices.)X
10690 2746(Moreover,)X
10691 3110(the)X
10692 3235(substrings)X
10693 3586(labelling)X
10694 3893(edges)X
10695 4104(can)X
10696 4244(be)X
10697 576 3944(represented)N
10698 977(by)X
10699 1087(just)X
10700 1232(storing)X
10701 1484(indices)X
10702 1741(to)X
10703 1833(their)X
10704 2010(\256rst)X
10705 2164(and)X
10706 2310(last)X
10707 2451(characters)X
10708 2808(in)X
10709 2900(S.)X
10710 3014(Thus)X
10711 3204(suf\256x)X
10712 3416(trees)X
10713 3597(can)X
10714 3738(be)X
10715 3843(stored)X
10716 4068(in)X
10717 4159(O\(L\))X
10718 576 4072(space.)N
10719 817(The)X
10720 964(ef\256cient)X
10721 1249(construction)X
10722 1667(of)X
10723 1757(suf\256x)X
10724 1962(trees)X
10725 2137(is)X
10726 2213(beyond)X
10727 2472(the)X
10728 2593(scope)X
10729 2799(of)X
10730 2889(this)X
10731 3027(paper.)X
10732 3269(The)X
10733 3417(reader)X
10734 3642(is)X
10735 3718(referred)X
10736 3997(to)X
10737 4082(a)X
10738 4141(paper)X
10739 576 4200(by)N
10740 679(McCreight)X
10741 1049([14])X
10742 1206(giving)X
10743 1433(an)X
10744 1532(algorithm)X
10745 1866(that)X
10746 2009(constructs)X
10747 2357(a)X
10748 2416(suf\256x)X
10749 2621(tree)X
10750 2765(in)X
10751 2850(O\(L\))X
10752 3034(steps.)X
10753 3257(Most)X
10754 3443(of)X
10755 3532(the)X
10756 3652(steps)X
10757 3834(are)X
10758 3955(easily)X
10759 4164(done)X
10760 576 4328(in)N
10761 664(O\(1\))X
10762 842(time)X
10763 1010(but)X
10764 1138(some)X
10765 1333(require)X
10766 1587(selecting)X
10767 1898(an)X
10768 2000(out-edge)X
10769 2307(based)X
10770 2516(on)X
10771 2622(its)X
10772 2723(\256rst)X
10773 2873(symbol.)X
10774 3174(When)X
10775 3392(the)X
10776 3516(alpabet)X
10777 3775(is)X
10778 3855(\256nite,)X
10779 4066(the)X
10780 4191(out-)X
10781 576 4456(degree)N
10782 821(of)X
10783 918(vertices)X
10784 1198(is)X
10785 1281(\256nite)X
10786 1475(and)X
10787 1621(the)X
10788 1748(selection)X
10789 2062(takes)X
10790 2256(O\(1\))X
10791 2437(time.)X
10792 2648(When)X
10793 2869(the)X
10794 2996(alphabet)X
10795 3297(is)X
10796 3379(unrestricted,)X
10797 3807(height-balanced)X
10798 576 4584(trees)N
10799 749(or)X
10800 837(some)X
10801 1027(other)X
10802 1213(worst-case)X
10803 1578(ef\256cient)X
10804 1862(search)X
10805 2089(structure)X
10806 2391(permits)X
10807 2652(selection)X
10808 2959(in)X
10809 3043(O\(lgL\))X
10810 3288(time.)X
10811 3492(Thus)X
10812 3674(suf\256x)X
10813 3878(tree)X
10814 4021(construc-)X
10815 576 4712(tion)N
10816 720(takes)X
10817 905(O\(L\))X
10818 1086(time)X
10819 1248(for)X
10820 1362(\256nite)X
10821 1546(alphabets)X
10822 1869(and)X
10823 2005(O\(LlgL\))X
10824 2297(time)X
10825 2459(otherwise.)X
10826 696 4868(Consider)N
10827 1009(the)X
10828 1131(two)X
10829 1275(paths)X
10830 1468(from)X
10831 1648(the)X
10832 1771(root)X
10833 1925(of)X
10834 2017(S's)X
10835 2144(suf\256x)X
10836 2351(tree)X
10837 2497(to)X
10838 2584(leaves)X
10839 2810(i)X
10840 2857(and)X
10841 2998(j.)X
10842 3085(Each)X
10843 3271(path)X
10844 3434(from)X
10845 3615(the)X
10846 3738(root)X
10847 3892(to)X
10848 3979(a)X
10849 4040(common)X
10850 576 4996(ancestor)N
10851 868(of)X
10852 959(i)X
10853 1005(and)X
10854 1145(j,)X
10855 1211(denotes)X
10856 1480(a)X
10857 1540(common)X
10858 1844(pre\256x)X
10859 2055(of)X
10860 2146(the)X
10861 2268(suf\256xes)X
10862 2541(S[i..L])X
10863 2774(and)X
10864 2914(S[j..L].)X
10865 3187(From)X
10866 3384(Property)X
10867 3684(3)X
10868 3748(it)X
10869 3816(follows)X
10870 4079(that)X
10871 4222(the)X
10872 576 5124(path)N
10873 736(to)X
10874 820(the)X
10875 940(lowest)X
10876 1171(common)X
10877 1474(ancestor)X
10878 1765(of)X
10879 1855(i)X
10880 1900(and)X
10881 2039(j,)X
10882 2104(denotes)X
10883 2372(the)X
10884 2 f
10885 2493(longest)X
10886 1 f
10887 2747(pre\256x)X
10888 2957(of)X
10889 3047(their)X
10890 3217(respective)X
10891 3566(suf\256xes.)X
10892 3878(This)X
10893 4043(observa-)X
10894 576 5252(tion)N
10895 721(motivates)X
10896 1053(the)X
10897 1172(following)X
10898 1504(suf\256x)X
10899 1707(tree)X
10900 1849 0.2167(characterization)AX
10901 2384(of)X
10902 2472(the)X
10903 2591(maximal)X
10904 2892(snake)X
10905 3096(starting)X
10906 3357(at)X
10907 3436(point)X
10908 3621(\(x,y\))X
10909 3796(in)X
10910 3879(the)X
10911 3997(edit)X
10912 4137(graph)X
10913 576 5380(of)N
10914 664(A)X
10915 743(and)X
10916 880(B)X
10917 954(of)X
10918 1042(lengths)X
10919 1294(N)X
10920 1373(and)X
10921 1510(M)X
10922 1602(respectively.)X
10923 2051(Form)X
10924 2245(the)X
10925 2364(position)X
10926 2642(tree)X
10927 2784(for)X
10928 2899(the)X
10929 3018(sequence)X
10930 3334(S)X
10931 3399(=)X
10932 3465(A.$)X
10933 7 s
10934 3592 5396(1)N
10935 10 s
10936 3626 5380(.B.$)N
10937 7 s
10938 3768 5396(2)N
10939 10 s
10940 3823 5380(where)N
10941 4041(the)X
10942 4160(sym-)X
10943 576 5508(bols)N
10944 732($)X
10945 7 s
10946 781 5524(1)N
10947 10 s
10948 838 5508(and)N
10949 977($)X
10950 7 s
10951 1026 5524(2)N
10952 10 s
10953 1083 5508(are)N
10954 1205(not)X
10955 1330(equal)X
10956 1526(to)X
10957 1610(each)X
10958 1780(other)X
10959 1967(or)X
10960 2056(any)X
10961 2194(symbol)X
10962 2451(in)X
10963 2535(A)X
10964 2615(or)X
10965 2704(B.)X
10966 2819(The)X
10967 2966(maximal)X
10968 3268(snake)X
10969 3473(starting)X
10970 3735(at)X
10971 3815(\(x,y\))X
10972 3991(is)X
10973 4066(denoted)X
10974 576 5636(by)N
10975 679(the)X
10976 800(path)X
10977 961(from)X
10978 1140(the)X
10979 1261(root)X
10980 1413(of)X
10981 1503(S's)X
10982 1628(suf\256x)X
10983 1833(tree)X
10984 1978(to)X
10985 2064(the)X
10986 2186(lowest)X
10987 2419(common)X
10988 2723(ancestor)X
10989 3015(of)X
10990 3106(positions)X
10991 3418(x)X
10992 3482(and)X
10993 3622(y+N+1.)X
10994 3914(This)X
10995 4080(follows)X
10996 576 5764(because)N
10997 871(neither)X
10998 1134($)X
10999 7 s
11000 1183 5780(1)N
11001 10 s
11002 1257 5764(or)N
11003 1364($)X
11004 7 s
11005 1413 5780(2)N
11006 10 s
11007 1487 5764(can)N
11008 1639(be)X
11009 1755(a)X
11010 1831(part)X
11011 1996(of)X
11012 2103(this)X
11013 2258(longest)X
11014 2529(common)X
11015 2849(pre\256x)X
11016 3076(for)X
11017 3210(the)X
11018 3348(suf\256xes)X
11019 3636(A[x..N].$)X
11020 7 s
11021 3955 5780(1)N
11022 10 s
11023 3989 5764(.B.$)N
11024 7 s
11025 4131 5780(2)N
11026 10 s
11027 4204 5764(and)N
11028 2361 6176(-)N
11029 2408(13)X
11030 2508(-)X
11031
11032 14 p
11033 %%Page: 14 14
11034 10 s 10 xH 0 xS 1 f
11035 576 704(B[y..M].$)N
11036 7 s
11037 903 720(2)N
11038 10 s
11039 937 704(.)N
11040 1003(So)X
11041 1113(to)X
11042 1201(\256nd)X
11043 1351(the)X
11044 1475(endpoint)X
11045 1781(of)X
11046 1875(a)X
11047 1938(snake)X
11048 2148(starting)X
11049 2415(at)X
11050 2500(\(x,y\),)X
11051 2701(\256nd)X
11052 2852(the)X
11053 2977(lowest)X
11054 3213(common)X
11055 3520(ancestor)X
11056 3815(of)X
11057 3909(leaves)X
11058 4137(x)X
11059 4204(and)X
11060 576 832(y+N+1)N
11061 825(in)X
11062 907(the)X
11063 1025(suf\256x)X
11064 1227(tree)X
11065 1368(and)X
11066 1504(return)X
11067 1716(\(x+m,y+m\))X
11068 2104(where)X
11069 2321(m)X
11070 2403(is)X
11071 2476(the)X
11072 2594(length)X
11073 2814(of)X
11074 2901(the)X
11075 3019(sublist)X
11076 3247(denoted)X
11077 3521(by)X
11078 3621(the)X
11079 3739(path)X
11080 3897(to)X
11081 3979(this)X
11082 4114(ances-)X
11083 576 960(tor.)N
11084 736(In)X
11085 834(a)X
11086 901(linear)X
11087 1115(preprocessing)X
11088 1593(pass)X
11089 1763(the)X
11090 1893(sublist)X
11091 2133(lengths)X
11092 2396(to)X
11093 2490(every)X
11094 2701(vertex)X
11095 2934(are)X
11096 3065(computed)X
11097 3413(and)X
11098 3561(the)X
11099 3691(auxiliary)X
11100 4008(structures)X
11101 576 1088(needed)N
11102 833(for)X
11103 956(the)X
11104 1083(O\(V+Q\))X
11105 1385(lowest)X
11106 1623(common)X
11107 1932(ancestor)X
11108 2229(algorithm)X
11109 2569(of)X
11110 2665(Harel)X
11111 2872(and)X
11112 3016(Tarjan)X
11113 3254([6])X
11114 3376(are)X
11115 3503(constructed.)X
11116 3941(This)X
11117 4111(RAM-)X
11118 576 1216(based)N
11119 782(algorithm)X
11120 1116(requires)X
11121 1398(O\(V\))X
11122 1591(preprocessing)X
11123 2060(time)X
11124 2225(but)X
11125 2350(can)X
11126 2485(then)X
11127 2646(answer)X
11128 2897(each)X
11129 3068(on-line)X
11130 3319(query)X
11131 3526(in)X
11132 3612(O\(1\))X
11133 3788(time.)X
11134 3994(Thus)X
11135 4178(with)X
11136 576 1344(O\(\(M+N\)lg\(M+N\)\))N
11137 1228(preprocessing)X
11138 1696(time)X
11139 1860(\(building)X
11140 2175(the)X
11141 2295(suf\256x)X
11142 2499(tree)X
11143 2642(is)X
11144 2717(the)X
11145 2837(dominant)X
11146 3161(cost\),)X
11147 3358(a)X
11148 3415(collection)X
11149 3752(of)X
11150 3840(on-line)X
11151 4088(queries)X
11152 576 1472(for)N
11153 690(the)X
11154 808(endpoints)X
11155 1139(of)X
11156 1226(maximal)X
11157 1526(snakes)X
11158 1760(can)X
11159 1892(be)X
11160 1988(answered)X
11161 2312(in)X
11162 2394(O\(1\))X
11163 2566(time)X
11164 2728(per)X
11165 2851(query.)X
11166 696 1628(Modify)N
11167 956(the)X
11168 1074(basic)X
11169 1260(algorithm)X
11170 1592(of)X
11171 1680(Section)X
11172 1941(3)X
11173 2002(by)X
11174 2103(\(a\))X
11175 2214(prefacing)X
11176 2539(it)X
11177 2604(with)X
11178 2767(the)X
11179 2886(preprocessing)X
11180 3353(needed)X
11181 3602(for)X
11182 3717(the)X
11183 3836(maximal)X
11184 4137(snake)X
11185 576 1756(queries)N
11186 833(and)X
11187 974(\(b\))X
11188 1093(replacing)X
11189 1417(Line)X
11190 1589(9)X
11191 1654(with)X
11192 1821(the)X
11193 1944(O\(1\))X
11194 2121(query)X
11195 2329(primitives.)X
11196 2717(Recall)X
11197 2946(that)X
11198 3090(every)X
11199 3293(line)X
11200 3437(in)X
11201 3523(the)X
11202 3645(innermost)X
11203 3989(loop)X
11204 4155(other)X
11205 576 1884(than)N
11206 737(Line)X
11207 907(9)X
11208 970(is)X
11209 1046(O\(1\))X
11210 1221(and)X
11211 1360(that)X
11212 1503(the)X
11213 1624(loop)X
11214 1789(is)X
11215 1865(repeated)X
11216 2161(O)X
11217 2225(\()X
11218 2258(D)X
11219 7 s
11220 2320 1852(2)N
11221 10 s
11222 2360 1884(\))N
11223 2410(times.)X
11224 2646(Now)X
11225 2825(that)X
11226 2968(Line)X
11227 3138(9)X
11228 3201(takes)X
11229 3389(O\(1\))X
11230 3564(time)X
11231 3729(it)X
11232 3797(follows)X
11233 4061(that)X
11234 4205(this)X
11235 576 2012(modi\256cation)N
11236 1003(results)X
11237 1235(in)X
11238 1320(an)X
11239 1419(algorithm)X
11240 1753(that)X
11241 1896(runs)X
11242 2057(in)X
11243 2142(O)X
11244 2206(\()X
11245 2258(\()X
11246 2291(M)X
11247 9 f
11248 2375(+)X
11249 1 f
11250 2432(N)X
11251 2496(\))X
11252 2536(lg)X
11253 2604(\()X
11254 2637(M)X
11255 9 f
11256 2721(+)X
11257 1 f
11258 2778(N)X
11259 2842(\))X
11260 9 f
11261 2908(+)X
11262 1 f
11263 2984(D)X
11264 7 s
11265 3046 1980(2)N
11266 10 s
11267 3105 2012(\))N
11268 3155(time.)X
11269 3360(Note)X
11270 3539(that)X
11271 3682(this)X
11272 3820(variation)X
11273 4128(is)X
11274 4204(pri-)X
11275 576 2140(marily)N
11276 822(of)X
11277 926(theoretical)X
11278 1302(interest.)X
11279 1615(The)X
11280 1777(coef\256cients)X
11281 2184(of)X
11282 2288(proportionality)X
11283 2805(are)X
11284 2941(much)X
11285 3156(larger)X
11286 3382(for)X
11287 3514(the)X
11288 3650(algorithm)X
11289 3999(fragments)X
11290 576 2268(employed)N
11291 913(implying)X
11292 1222(that)X
11293 1363(problems)X
11294 1682(will)X
11295 1827(have)X
11296 2000(to)X
11297 2083(be)X
11298 2179(very)X
11299 2342(large)X
11300 2523(before)X
11301 2749(the)X
11302 2867(variation)X
11303 3172(becomes)X
11304 3473(faster.)X
11305 3712(But)X
11306 3847(suf\256x)X
11307 4049(trees)X
11308 4221(are)X
11309 576 2396(particularly)N
11310 971(space)X
11311 1175(inef\256cient)X
11312 1525(and)X
11313 1667(two)X
11314 1813(auxiliary)X
11315 2124(trees)X
11316 2302(of)X
11317 2395(equal)X
11318 2595(size)X
11319 2746(are)X
11320 2871(needed)X
11321 3125(for)X
11322 3245(the)X
11323 3369(fast)X
11324 3511(lowest)X
11325 3746(common)X
11326 4052(ancestor)X
11327 576 2524(algorithm.)N
11328 960(Thus)X
11329 1152(for)X
11330 1278(problems)X
11331 1608(large)X
11332 1801(enough)X
11333 2069(to)X
11334 2163(make)X
11335 2369(the)X
11336 2499(time)X
11337 2673(savings)X
11338 2945(worthwhile)X
11339 3342(it)X
11340 3418(is)X
11341 3503(likely)X
11342 3717(that)X
11343 3869(there)X
11344 4062(will)X
11345 4218(not)X
11346 576 2652(enough)N
11347 832(memory)X
11348 1119(to)X
11349 1201(accomodate)X
11350 1605(these)X
11351 1790(additional)X
11352 2130(structures.)X
11353 3 f
11354 576 2908(Acknowledgements)N
11355 1 f
11356 576 3064(Webb)N
11357 792(Miller)X
11358 1016(originally)X
11359 1351(proposed)X
11360 1669(the)X
11361 1791(problem)X
11362 2083(of)X
11363 2175(\256nding)X
11364 2426(an)X
11365 2527(O\(ND\))X
11366 2780(algorithm.)X
11367 3156(The)X
11368 3306(author)X
11369 3536(would)X
11370 3761(like)X
11371 3906(to)X
11372 3993(thank)X
11373 4196(him)X
11374 576 3192(for)N
11375 701(nurturing)X
11376 1030(this)X
11377 1176(work)X
11378 1372(and)X
11379 1519(his)X
11380 1643(many)X
11381 1852(helpful)X
11382 2109(suggestions.)X
11383 2552(The)X
11384 2707(referees)X
11385 2993(comments)X
11386 3352(and)X
11387 3498(corrections)X
11388 3885(improved)X
11389 4222(the)X
11390 576 3320(paper)N
11391 775(greatly.)X
11392 3 f
11393 576 3544(References)N
11394 1 f
11395 576 3668(1.)N
11396 736(Aho,)X
11397 920(A.V.,)X
11398 1122(Hirschberg,)X
11399 1525(D.S.,)X
11400 1713(and)X
11401 1855(Ullman,)X
11402 2141(J.D.)X
11403 2316(``Bounds)X
11404 2640(on)X
11405 2746(the)X
11406 2870(Complexity)X
11407 3274(of)X
11408 3368(the)X
11409 3493(Longest)X
11410 3778(Common)X
11411 4102(Subse-)X
11412 736 3764(quence)N
11413 984(Problem.'')X
11414 2 f
11415 1369(Journal)X
11416 1638(of)X
11417 1720(ACM)X
11418 1909(23)X
11419 1 f
11420 (,)S
11421 2029(1)X
11422 2089(\(1976\),)X
11423 2343(1-12.)X
11424 576 3888(2.)N
11425 736(Aho,)X
11426 929(A.V.,)X
11427 1140(Hopcroft,)X
11428 1485(J.E.,)X
11429 1660(and)X
11430 1811(Ullman,)X
11431 2106(J.D.)X
11432 2 f
11433 2290(Data)X
11434 2486(Structures)X
11435 2851(and)X
11436 3007(Algorithms.)X
11437 1 f
11438 3438(Addison-Wesley,)X
11439 4033(Reading,)X
11440 736 3984(Mass.)N
11441 945(\(1983\),)X
11442 1199(203-208.)X
11443 576 4108(3.)N
11444 736(Dijkstra,)X
11445 1042(E.W.)X
11446 1255(``A)X
11447 1395(Note)X
11448 1580(on)X
11449 1689(Two)X
11450 1865(Problems)X
11451 2196(in)X
11452 2287(Connexion)X
11453 2667(with)X
11454 2838(Graphs.'')X
11455 2 f
11456 3193(Numerische)X
11457 3605(Mathematik)X
11458 4017(1)X
11459 1 f
11460 4086(\(1959\),)X
11461 736 4204(269-271.)N
11462 576 4328(4.)N
11463 736(Gosling,)X
11464 1037(J.)X
11465 1136(``A)X
11466 1276(Redisplay)X
11467 1625(Algorithm.'')X
11468 2 f
11469 2081(Proceedings)X
11470 2511(ACM)X
11471 2709(SIGPLAN/SIGOA)X
11472 3312(Symposium)X
11473 3706(on)X
11474 3815(Text)X
11475 3982(Manipula-)X
11476 736 4424(tion)N
11477 1 f
11478 880(\(1981\),)X
11479 1134(123-129.)X
11480 576 4548(5.)N
11481 736(Hall,)X
11482 914(P.A.V.)X
11483 1154(and)X
11484 1290(Dowling,)X
11485 1610(G.R.)X
11486 1801(``Approximate)X
11487 2298(String)X
11488 2513(Matching.'')X
11489 2 f
11490 2934(Computing)X
11491 3309(Surveys)X
11492 3579(12)X
11493 1 f
11494 (,)S
11495 3699(4)X
11496 3759(\(1980\),)X
11497 4013(381-402.)X
11498 576 4672(6.)N
11499 736(Harel,)X
11500 966(D.)X
11501 1075(and)X
11502 1222(Tarjan,)X
11503 1483(R.E.)X
11504 1676(``Fast)X
11505 1894(Algorithms)X
11506 2289(for)X
11507 2414(Finding)X
11508 2693(Nearest)X
11509 2970(Common)X
11510 3298(Ancestors.'')X
11511 2 f
11512 3744(SIAM)X
11513 3959(Journal)X
11514 4240(on)X
11515 736 4768(Computing)N
11516 1111(13)X
11517 1 f
11518 (,)S
11519 1231(2)X
11520 1291(\(1984\),)X
11521 1545(338-355.)X
11522 576 4892(7.)N
11523 736(Hirschberg,)X
11524 1138(D.S.)X
11525 1325(``A)X
11526 1462(Linear)X
11527 1697(Space)X
11528 1914(Algorithm)X
11529 2272(for)X
11530 2391(Computing)X
11531 2775(Maximal)X
11532 3089(Common)X
11533 3412(Subsequences.'')X
11534 2 f
11535 3982(Communi-)X
11536 736 4988(cations)N
11537 987(of)X
11538 1069(ACM)X
11539 1258(18)X
11540 1 f
11541 (,)S
11542 1378(6)X
11543 1438(\(1975\),)X
11544 1692(341-343.)X
11545 576 5112(8.)N
11546 736(Hirschberg,)X
11547 1149(D.S.)X
11548 1347(``Algorithms)X
11549 1801(for)X
11550 1931(the)X
11551 2065(Longest)X
11552 2360(Common)X
11553 2694(Subsequence)X
11554 3150(Problem.'')X
11555 2 f
11556 3552(Journal)X
11557 3838(of)X
11558 3937(ACM)X
11559 4143(24)X
11560 1 f
11561 (,)S
11562 4280(4)X
11563 736 5208(\(1977\),)N
11564 990(664-675.)X
11565 576 5332(9.)N
11566 736(Hirschberg,)X
11567 1134(D.S.)X
11568 1318(``An)X
11569 1492(Information-Theoretic)X
11570 2232(Lower)X
11571 2464(Bound)X
11572 2699(for)X
11573 2815(the)X
11574 2935(Longest)X
11575 3215(Common)X
11576 3534(Subsequence)X
11577 3975(Problem.'')X
11578 2 f
11579 736 5428(Information)N
11580 1138(Processing)X
11581 1514(Letters)X
11582 1756(7)X
11583 1 f
11584 (,)S
11585 1836(1)X
11586 1896(\(1978\),)X
11587 2150(40-41.)X
11588 576 5552(10.)N
11589 736(Hunt,)X
11590 936(J.W.)X
11591 1103(and)X
11592 1239(McIlroy,)X
11593 1542(M.D.)X
11594 1752(``An)X
11595 1925(Algorithm)X
11596 2279(for)X
11597 2394(Differential)X
11598 2790(File)X
11599 2935(Comparison.'')X
11600 3441(Computing)X
11601 3821(Science)X
11602 4092(Techn-)X
11603 736 5648(ical)N
11604 872(Report)X
11605 1110(41,)X
11606 1230(Bell)X
11607 1383(Laboratories)X
11608 1809(\(1975\).)X
11609 2361 6144(-)N
11610 2408(14)X
11611 2508(-)X
11612
11613 15 p
11614 %%Page: 15 15
11615 10 s 10 xH 0 xS 1 f
11616 576 672(11.)N
11617 736(Hunt,)X
11618 938(J.W.)X
11619 1107(and)X
11620 1245(Szymanski,)X
11621 1638(T.G.)X
11622 1828(``A)X
11623 1963(Fast)X
11624 2119(Algorithm)X
11625 2475(for)X
11626 2592(Computing)X
11627 2974(Longest)X
11628 3255(Common)X
11629 3575(Subsequences.'')X
11630 2 f
11631 4142(Com-)X
11632 736 768(munications)N
11633 1147(of)X
11634 1229(ACM)X
11635 1418(20)X
11636 1 f
11637 (,)S
11638 1538(5)X
11639 1598(\(1977\),)X
11640 1852(350-353.)X
11641 576 892(12.)N
11642 736(Knuth,)X
11643 983(D.E.)X
11644 2 f
11645 1177(The)X
11646 1324(Art)X
11647 1453(of)X
11648 1543(Computer)X
11649 1891(Programming,)X
11650 2388(Vol.)X
11651 2547(3:)X
11652 2642(Sorting)X
11653 2905(and)X
11654 3053(Searching.)X
11655 1 f
11656 3446(Addison-Wesley,)X
11657 4033(Reading,)X
11658 736 988(Mass.)N
11659 945(\(1983\),)X
11660 1199(490-493.)X
11661 576 1112(13.)N
11662 736(Masek,)X
11663 993(W.J.)X
11664 1163(and)X
11665 1302(Paterson,)X
11666 1621(M.S.)X
11667 1819(``A)X
11668 1954(Faster)X
11669 2173(Algorithm)X
11670 2529(for)X
11671 2646(Computing)X
11672 3028(String)X
11673 3247(Edit)X
11674 3404(Distances.'')X
11675 2 f
11676 3834(J.)X
11677 3914(of)X
11678 4000(Computer)X
11679 736 1208(and)N
11680 876(Systems)X
11681 1150(Sciences)X
11682 1447(20)X
11683 1 f
11684 (,)S
11685 1567(1)X
11686 1627(\(1980\),)X
11687 1881(18-31.)X
11688 576 1332(14.)N
11689 736(McCreight,)X
11690 1125(E.M.)X
11691 1327(``A)X
11692 1461(Space-Economical)X
11693 2085(Suf\256x)X
11694 2302(Tree)X
11695 2472(Construction)X
11696 2907(Algorithm.'')X
11697 2 f
11698 3356(Journal)X
11699 3627(of)X
11700 3711(ACM)X
11701 3902(23)X
11702 1 f
11703 (,)S
11704 4024(2)X
11705 4086(\(1976\),)X
11706 736 1428(262-272.)N
11707 576 1552(15.)N
11708 736(Miller,)X
11709 988(W.,)X
11710 1137(and)X
11711 1286(Myers,)X
11712 1544(E.W.)X
11713 1762(``A)X
11714 1907(File)X
11715 2064(Comparison)X
11716 2488(Program.'')X
11717 2 f
11718 2891(Software)X
11719 3208(\320)X
11720 3312(Practice)X
11721 3617(&)X
11722 3712(Experience)X
11723 4107(15)X
11724 1 f
11725 (,)S
11726 4240(11)X
11727 736 1648(\(1985\),)N
11728 990(1025-1040.)X
11729 576 1772(16.)N
11730 736(Nakatsu,)X
11731 1053(N.,)X
11732 1185(Kambayashi,)X
11733 1641(Y.,)X
11734 1774(and)X
11735 1925(Yajima,)X
11736 2216(S.)X
11737 2335(``A)X
11738 2482(Longest)X
11739 2775(Common)X
11740 3107(Subsequence)X
11741 3561(Algorithm)X
11742 3929(Suitable)X
11743 4226(for)X
11744 736 1868(Similar)N
11745 991(Text)X
11746 1158(Strings.'')X
11747 2 f
11748 1498(Acta)X
11749 1665(Informatica)X
11750 2063(18)X
11751 1 f
11752 2163(\(1982\),)X
11753 2417(171-179.)X
11754 576 1992(17.)N
11755 736(Rochkind,)X
11756 1105(M.J.)X
11757 1305(``The)X
11758 1522(Source)X
11759 1783(Code)X
11760 1990(Control)X
11761 2272(System.'')X
11762 2 f
11763 2639(IEEE)X
11764 2851(Transactions)X
11765 3306(on)X
11766 3424(Software)X
11767 3746(Engineering)X
11768 4181(1)X
11769 1 f
11770 (,)S
11771 4280(4)X
11772 736 2088(\(1975\),)N
11773 990(364-370.)X
11774 576 2212(18.)N
11775 736(Sankoff,)X
11776 1041(D.)X
11777 1150(and)X
11778 1297(Kruskal,)X
11779 1602(J.B.)X
11780 2 f
11781 1777(Time)X
11782 1968(Warps,)X
11783 2228(String)X
11784 2454(Edits)X
11785 2649(and)X
11786 2800(Macromolecules:)X
11787 3393(The)X
11788 3544(Theory)X
11789 3802(and)X
11790 3954(Practice)X
11791 4258(of)X
11792 736 2308(Sequence)N
11793 1060(Comparison.)X
11794 1 f
11795 1515(Addison-Wesley,)X
11796 2094(Reading,)X
11797 2401(Mass.)X
11798 2610(\(1983\).)X
11799 576 2432(19.)N
11800 736(Tichy,)X
11801 970(W.)X
11802 1113(``The)X
11803 1319(String-to-String)X
11804 1852(Correction)X
11805 2222(Problem)X
11806 2521(with)X
11807 2691(Block)X
11808 2910(Moves.'')X
11809 2 f
11810 3250(ACM)X
11811 3447(Transactions)X
11812 3892(on)X
11813 4000(Computer)X
11814 736 2528(Systems)N
11815 1010(2)X
11816 1 f
11817 (,)S
11818 1090(4)X
11819 1150(\(1984\),)X
11820 1404(309-321.)X
11821 576 2652(20.)N
11822 736(Wagner,)X
11823 1037(R.A.)X
11824 1215(and)X
11825 1358(Fischer,)X
11826 1641(M.J.)X
11827 1830(``The)X
11828 2036(String-to-String)X
11829 2569(Correction)X
11830 2939(Problem.'')X
11831 2 f
11832 3331(Journal)X
11833 3607(of)X
11834 3696(ACM)X
11835 3892(21)X
11836 1 f
11837 (,)S
11838 4019(1)X
11839 4086(\(1974\),)X
11840 736 2748(168-173.)N
11841 2361 6144(-)N
11842 2408(15)X
11843 2508(-)X
11844
11845 15 p
11846 %%Trailer
11847 xt
11848 %%Pages: 15
11849 %%DocumentNeededResources: font Times-Roman Times-Italic Times-Bold
11850 %%+ Times-BoldItalic Helvetica Helvetica-Bold Courier Courier-Bold Symbol
11851
11852 xs