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@menu
* Introduction to atensor::
* Functions and Variables for atensor::
@end menu

@node Introduction to atensor, Functions and Variables for atensor, atensor, atensor
@section Introduction to atensor

@code{atensor}は、代数テンソル操作パッケージです。
@code{atensor}を使うには、@code{load(atensor)}をタイプしてください。
続いて、@code{init_atensor}関数コールしてください。

@code{atensor}の本質は非可換(ドット)積演算子 ("@code{.}")の整理ルール一式です
@code{atensor}はいくつかの代数型を認識します;
@code{init_atensor}関数がコールされた時、
対応する整理ルールが有効になります。

@code{atensor}の能力は、
四元数代数を2つの基底ベクトルを持つClifford代数 Cl(0,2)として
定義することで実演することができます。
3つの四元数虚数単位は2つの基底ベクトルとその積、すなわち以下の通りです:

@example
    i = v     j = v     k = v  . v
         1         2         1    2
@end example

@code{atensor}パッケージは
四元数代数に関する組み込みの定義を持ちますが、
この例では使わず、四元数乗算表を行列として組むよう試みます:

@example
(%i1) load(atensor);
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
(%o2)                                done
(%i3) atensimp(v[1].v[1]);
(%o3)                                 - 1
(%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
(%o4)                                 - 1
(%i5) q:zeromatrix(4,4);
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%o5)                           [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%i6) q[1,1]:1;
(%o6)                                  1
(%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
(%o7)                                done
(%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
(%o8)                               v  . v
                                     1    2
(%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
      q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
(%o9)                                done
(%i10) q;
@group
                   [    1        v         v      v  . v  ]
                   [              1         2      1    2 ]
                   [                                      ]
                   [   v         - 1     v  . v    - v    ]
                   [    1                 1    2      2   ]
(%o10)             [                                      ]
                   [   v      - v  . v     - 1      v     ]
                   [    2        1    2              1    ]
                   [                                      ]
                   [ v  . v      v        - v       - 1   ]
                   [  1    2      2          1            ]
@end group
@end example

@code{atensor}は
添字付きシンボルを基底ベクトルと認識します。
シンボルは@code{asymbol}の中に記憶されたものであり、
添字は1から@code{adim}まで間です。
添字付きシンボルだけに関して
双一次形式
@code{sf}, @code{af}, @code{av}が評価されます。
評価は
@code{fun(v[i],v[j])}に
@code{aform[i,j]}の値を代入します
ここで、@code{v}は @code{asymbol}の値を表し、
@code{fun}は @code{af}か @code{sf}を示します;
あるいは、
@code{av(v[i],v[j])}に @code{v[aform[i,j]]}を代入します。

言うまでもなく、関数 @code{sf}, @code{af}, @code{av}は再定義するこができます。

@code{atensor}パッケージがロードされる時、以下のフラグが設定されます:

@example
dotscrules:true;
dotdistrib:true;
dotexptsimp:false;
@end example

もし非結合代数で実験したいなら、
@code{dotassoc}を @code{false}に設定することも考えるかもしれません。
しかし、この場合、
@code{atensimp}はいつも
望みの整理を得ることができるわけではありません。

@opencatbox
@category{Tensors} @category{Share packages} @category{Package atensor}
@closecatbox

@c end concepts atensor
@node Functions and Variables for atensor,  , Introduction to atensor, atensor

@section Functions and Variables for atensor

@deffn {関数} init_atensor (@var{alg_type}, @var{opt_dims})
@deffnx {関数} init_atensor (@var{alg_type})

特定の代数型で
@code{atensor}パッケージを初期化します。
@var{alg_type}は以下のいずれかであり得ます:

@code{universal}: 普遍代数は交換規則を持ちません。

@code{grassmann}: Grassman代数は交換関係 @code{u.v+v.u=0}で定義されます。

@code{clifford}: Clifford代数は
交換関係 @code{u.v+v.u=-2*sf(u,v)}で定義されます。
ここで、 @code{sf}は対称スカラ値函数です。
この代数では、 @var{opt_dims}は、
代数の正の次元数、縮退次元数、負の次元数をそれぞれ表す3つの非負整数までありえます。
もしいずれかの @var{opt_dims}値が供給されたら、
@code{atensor}は
@code{adim}と @code{aform}の値を適切に構成します。
そうでなければ、
@code{adim}はデフォルトが0で、 @code{aform}は未定義です。

@code{symmetric}: 対称代数は交換関係 @code{u.v-v.u=0}で定義されます。

@code{symplectic}: シンプレクティック代数は
交換関係 @code{u.v-v.u=2*af(u,v)}で定義されます。
ここで、 @code{af}は反対称スカラ値函数です。
シンプレクティック代数では、
@var{opt_dims}は
非縮退次元数、縮退次元数をそれぞれ表す2つの非負整数までありえます。
もしいずれかの @var{opt_dims}値が供給されたら、
@code{atensor}は
@code{adim}と @code{aform}の値を適切に構成します。
そうでなければ、
@code{adim}はデフォルトが0で、 @code{aform}は未定義です。

@code{lie_envelop}: Lie包絡代数は交換関係 @code{u.v-v.u=2*av(u,v)}で定義されます。
ここで、 @code{av}は反対称函数です。

@code{init_atensor}関数はいくつかの予め定義された代数型も認識します:

@code{complex}は複素数代数をClifford代数 Cl(0,1)として実装します。
@code{init_atensor(complex)}をコールすることは
@code{init_atensor(clifford,0,0,1)}と同値です。

@code{quaternion}は四元数代数を実装します。
@code{init_atensor (quaternion)}をコールすることは
@code{init_atensor (clifford,0,0,2)}と同値です。

@code{pauli}はPauliスピノール代数をClifford代数 Cl(3,0)として実装します。
@code{init_atensor(pauli)}をコールすることは
@code{init_atensor(clifford,3)}と同値です。

@code{dirac}はDiracスピノール代数をClifford代数 Cl(3,1)として実装します。
@code{init_atensor(dirac)}をコールすることは
@code{init_atensor(clifford,3,0,1)}と同値です。

@opencatbox
@category{Package atensor}
@closecatbox
@end deffn


@deffn {関数} atensimp (@var{expr})

@code{init_atensor}のコールで構成された規則に従って、
代数テンソル式 @var{expr}を整理します。
整理は、
適用可能な場所への
交換関係の再帰的な適用と@code{sf}, @code{af}, @code{av}のコールの決定を含みます。
複雑な式に関してさえ、
関数がいつでも終了することを確実にするために
保護手段が使われます。

@opencatbox
@category{Package atensor} @category{Simplification functions}
@closecatbox

@end deffn

@c @deffn {関数} alg_type
@c 
@c 代数型。有効な値は @code{universal}, @code{grassmann},
@c @code{clifford}, @code{symmetric}, @code{symplectic}, @code{lie_envelop}です。
@c 
@c @opencatbox
@c @category{Package atensor}
@c @closecatbox
@c 
@c @end deffn

@defvr {変数} adim
デフォルト値: 0

代数の次元。
@code{atensor}は
添字付きオブジェクトが有効な基底ベクトルか決定するのに
@code{adim}の値を使います。
@code{abasep}を参照してください。

@opencatbox
@category{Package atensor} @category{Global variables}
@closecatbox

@end defvr

@defvr {変数} aform
デフォルト値: @code{ident(3)}

双一次形式@code{sf}, @code{af}, @code{av}のデフォルト値。
デフォルトは、単位行列 @code{ident(3)}です。

@opencatbox
@category{Package atensor} @category{Global variables}
@closecatbox

@end defvr

@defvr {変数} asymbol
デフォルト値: @code{v}

基底ベクトルのシンボル。

@opencatbox
@category{Package atensor} @category{Global variables}
@closecatbox

@end defvr

@deffn {関数} sf (@var{u}, @var{v})

交換関係で使われる対称スカラ関数。
デフォルトの実装は
両方の引数が@code{abasep}を使った基底ベクトルかチェックし、
もしそうなら、行列 @code{aform}から対応する値を代入します。

@opencatbox
@category{Package atensor}
@closecatbox

@end deffn

@deffn {関数} af (@var{u}, @var{v})

交換関係で使われる反対称スカラ関数。
デフォルトの実装は
両方の引数が@code{abasep}を使った基底ベクトルかチェックし、
もしそうなら、行列 @code{aform}から対応する値を代入します。

@opencatbox
@category{Package atensor}
@closecatbox

@end deffn

@deffn {関数} av (@var{u}, @var{v})

交換関係で使われる反対称スカラ関数。
デフォルトの実装は
両方の引数が@code{abasep}を使った基底ベクトルかチェックし、
もしそうなら、行列 @code{aform}から対応する値を代入します。

例えば:

@example
(%i1) load(atensor);
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) adim:3;
(%o2)                                  3
(%i3) aform:matrix([0,3,-2],[-3,0,1],[2,-1,0]);
                               [  0    3   - 2 ]
                               [               ]
(%o3)                          [ - 3   0    1  ]
                               [               ]
                               [  2   - 1   0  ]
(%i4) asymbol:x;
(%o4)                                  x
(%i5) av(x[1],x[2]);
(%o5)                                 x
                                       3
@end example

@opencatbox
@category{Package atensor}
@closecatbox

@end deffn


@deffn {関数} abasep (@var{v})

引数が @code{atensor}基底ベクトルかチェックします。
すなわち、@code{asymbol}の値と同じシンボルと
1と @code{adim}の間の数値の添字を持つ添字付きシンボルかどうか、チェックします。

@opencatbox
@category{Package atensor} @category{Predicate functions}
@closecatbox

@end deffn