| blob | 8cfcad45460e047e6fd559541539660968c29b82 |
1 @menu
2 * Sums and Products::
3 * Introduction to Series::
4 * Functions and Variables for Series::
5 * Poisson series::
6 @end menu
8 @c -----------------------------------------------------------------------------
9 @node Sums and Products, Introduction to Series, Sums Products and Series, Sums Products and Series
10 @section Sums and Products
11 @c -----------------------------------------------------------------------------
13 @c -----------------------------------------------------------------------------
14 @anchor{bashindices}
15 @deffn {関数} bashindices (@var{expr})
16 それぞれの和や積に独自のインデックスを与えることで、
17 式@var{expr}を変換します。
18 これは、
19 和や積と一緒に機能する時
20 @code{changevar}によりよい精度を与えます。
21 独自のインデックスの形式は@code{j@var{number}}です。
22 量@var{number}は、@code{gensumnum}に参照することで決定されます。
23 これを、ユーザーは変更することができます。
24 例えば、@code{gensumnum:0$}はそれを再設定します。
26 @opencatbox
27 @category{Sums and products}
28 @closecatbox
29 @end deffn
31 @c -----------------------------------------------------------------------------
32 @anchor{lsum}
33 @deffn {関数} lsum (@var{expr}, @var{x}, @var{L})
35 @var{L}の中のそれぞれの要素@var{x}に関する@var{expr}の和を表します。
36 もし引数@var{L}がリストに評価されなければ、名詞形@code{'lsum}が返されます。
38 例:
40 @c ===beg===
41 @c lsum (x^i, i, [1, 2, 7]);
42 @c lsum (i^2, i, rootsof (x^3 - 1));
43 @c ===end===
44 @example
45 (%i1) lsum (x^i, i, [1, 2, 7]);
46 7 2
47 (%o1) x + x + x
48 (%i2) lsum (i^2, i, rootsof (x^3 - 1));
49 @group
50 ====
51 \ 2
52 (%o2) > i
53 /
54 ====
55 3
56 i in rootsof(x - 1)
57 @end group
58 @end example
60 @opencatbox
61 @category{Sums and products}
62 @closecatbox
63 @end deffn
65 @c NEEDS CLARIFICATION, EXAMPLES
67 @c -----------------------------------------------------------------------------
68 @anchor{intosum}
69 @deffn {関数} intosum (@var{expr})
71 和の外側の掛け算因子を内側に移動します。
72 もし外側の式でインデックスが使われているなら、
73 関数は、@code{sumcontract}に関してするのと同じように、合理的なインデックスを見つけようとします。
74 これは、本質的に、和の@code{outative}プロパティの逆の考えですが、
75 このプロパティを取り除かず、ただ無視するだけであることに注意してください。
77 @c WHAT ARE THESE CASES ??
78 いくつかの場合、
79 @code{intosum}の前に、@code{scanmap (multthru, @var{expr})}が必要になるかもしれません。
81 @opencatbox
82 @category{Expressions}
83 @closecatbox
84 @end deffn
86 @c -----------------------------------------------------------------------------
87 @anchor{product}
88 @deffn {関数} product (@var{expr}, @var{i}, @var{i_0}, @var{i_1})
90 インデックス@var{i}が@var{i_0}から@var{i_1}まで変えた@var{expr}の値の積を返します。
91 名詞形@code{'product}は、大文字Πとして表示されます。
93 @code{product}は、@var{expr}と下限上限@var{i_0}、@var{i_1}を評価し、
94 @code{product}は、インデックス@var{i}をクォートします（評価しません）。
96 もし上限と下限が整数差だけ違うなら、
97 @var{expr}は、インデックス@var{i}のそれぞれの値に関して評価され、
98 結果は陽な積です。
100 そうでなければ、インデックスの範囲は不定です。
101 積を整理するためにいくつかの規則が適用されます。
102 グローバル変数@code{simpproduct}が@code{true}の時、
103 更なる規則が適用されます。
104 いくつかの場合、式整理は、積でない結果を出力します;
105 そうでなければ、結果は名詞形@code{'product}です。
107 @code{nouns}と@code{evflag}も参照してください。
109 例:
111 @c ===beg===
112 @c product (x + i*(i+1)/2, i, 1, 4);
113 @c product (i^2, i, 1, 7);
114 @c product (a[i], i, 1, 7);
115 @c product (a(i), i, 1, 7);
116 @c product (a(i), i, 1, n);
117 @c product (k, k, 1, n);
118 @c product (k, k, 1, n), simpproduct;
119 @c product (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
120 @c product (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
121 @c ===end===
123 @example
124 (%i1) product (x + i*(i+1)/2, i, 1, 4);
125 (%o1) (x + 1) (x + 3) (x + 6) (x + 10)
126 (%i2) product (i^2, i, 1, 7);
127 (%o2) 25401600
128 (%i3) product (a[i], i, 1, 7);
129 (%o3) a a a a a a a
130 1 2 3 4 5 6 7
131 (%i4) product (a(i), i, 1, 7);
132 (%o4) a(1) a(2) a(3) a(4) a(5) a(6) a(7)
133 (%i5) product (a(i), i, 1, n);
134 n
135 /===\
136 ! !
137 (%o5) ! ! a(i)
138 ! !
139 i = 1
140 (%i6) product (k, k, 1, n);
141 n
142 /===\
143 ! !
144 (%o6) ! ! k
145 ! !
146 k = 1
147 (%i7) product (k, k, 1, n), simpproduct;
148 (%o7) n!
149 (%i8) product (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
150 n
151 /===\
152 ! ! 1
153 (%o8) ! ! -----
154 ! ! k + 1
155 k = 1
156 (%i9) product (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
157 15 40
158 (%o9) a b
159 @end example
161 @opencatbox
162 @category{Sums and products}
163 @closecatbox
164 @end deffn
166 @c NEEDS CLARIFICATION, EXAMPLES
168 @c -----------------------------------------------------------------------------
169 @anchor{simpsum}
170 @defvr {オプション変数} simpsum
171 デフォルト値: @code{false}
173 @code{simpsum}が@code{true}の時、
174 @code{sum}の結果は、整理されます。
175 この整理は、時々、閉形式を生成することができるかもしれません。
176 もし@code{simpsum}が@code{false}もしくは、もしクォートされた形@code{'sum}が使われたなら、
177 値は、数学で使われるΣ表示の表現である和の名詞形です。
179 @opencatbox
180 @category{Sums and products} @category{Simplification flags and variables}
181 @closecatbox
182 @end defvr
184 @c -----------------------------------------------------------------------------
185 @anchor{sum}
186 @deffn {関数} sum (@var{expr}, @var{i}, @var{i_0}, @var{i_1})
188 インデックス@var{i}が@var{i_0}から@var{i_1}まで変えた@var{expr}の値の和を返します。
189 名詞形@code{'sum}は、大文字Σとして表示されます。
191 @code{sum}は、被和@var{expr}と下限上限@var{i_0}、@var{i_1}を評価し、
192 @code{sum}は、インデックス@var{i}をクォートします（評価しません）。
194 もし上限と下限が整数差だけ違うなら、
195 被和@var{expr}は、インデックス@var{i}のそれぞれの値に関して評価され、
196 結果は陽な和です。
198 そうでなければ、インデックスの範囲は不定です。
199 積を整理するためにいくつかの規則が適用されます。
200 グローバル変数@code{simpsum}が@code{true}の時、
201 更なる規則が適用されます。
202 いくつかの場合、式整理は、和でない結果を出力します;
203 そうでなければ、結果は名詞形@code{'sum}です。
205 @code{evflag}(評価フラグ) @code{cauchysum}が@code{true}の時、
206 和の積は、コーシー積として表現されます。
207 コーシー積では、内側の和のインデックスは、独立に変化するのではなく、外側の和のインデックスの関数になります。
209 グローバル変数@code{genindex}は、
210 和の次のインデックスを生成するのに使われるアルファベット前置です。
212 @code{gensumnum}は、
213 自動生成されるインデックスが必要な時、
214 和の次のインデックスを生成するのに使われる数値接尾です。
215 @code{gensumnum}が@code{false}の時,
216 自動生成されるインデックスは、接尾なしの@code{genindex}のみです。
218 @code{sumcontract}, @code{intosum}, @code{bashindices}, @code{niceindices},
219 @code{nouns}, @code{evflag}, @code{zeilberger}も参照してください。
221 例:
223 @c ===beg===
224 @c sum (i^2, i, 1, 7);
225 @c sum (a[i], i, 1, 7);
226 @c sum (a(i), i, 1, 7);
227 @c sum (a(i), i, 1, n);
228 @c sum (2^i + i^2, i, 0, n);
229 @c sum (2^i + i^2, i, 0, n), simpsum;
230 @c sum (1/3^i, i, 1, inf);
231 @c sum (1/3^i, i, 1, inf), simpsum;
232 @c sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf);
233 @c sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf), simpsum;
234 @c sum (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
235 @c sum (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
236 @c ===end===
238 @example
239 (%i1) sum (i^2, i, 1, 7);
240 (%o1) 140
241 (%i2) sum (a[i], i, 1, 7);
242 (%o2) a + a + a + a + a + a + a
243 7 6 5 4 3 2 1
244 (%i3) sum (a(i), i, 1, 7);
245 (%o3) a(7) + a(6) + a(5) + a(4) + a(3) + a(2) + a(1)
246 (%i4) sum (a(i), i, 1, n);
247 n
248 ====
249 \
250 (%o4) > a(i)
251 /
252 ====
253 i = 1
254 (%i5) sum (2^i + i^2, i, 0, n);
255 n
256 ====
257 \ i 2
258 (%o5) > (2 + i )
259 /
260 ====
261 i = 0
262 (%i6) sum (2^i + i^2, i, 0, n), simpsum;
263 3 2
264 n + 1 2 n + 3 n + n
265 (%o6) 2 + --------------- - 1
266 6
267 (%i7) sum (1/3^i, i, 1, inf);
268 inf
269 ====
270 \ 1
271 (%o7) > --
272 / i
273 ==== 3
274 i = 1
275 (%i8) sum (1/3^i, i, 1, inf), simpsum;
276 1
277 (%o8) -
278 2
279 (%i9) sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf);
280 inf
281 ====
282 \ 1
283 (%o9) 30 > --
284 / 2
285 ==== i
286 i = 1
287 (%i10) sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf), simpsum;
288 2
289 (%o10) 5 %pi
290 (%i11) sum (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
291 n
292 ====
293 \ 1
294 (%o11) > -----
295 / k + 1
296 ====
297 k = 1
298 (%i12) sum (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
299 10 9 8 7 6 5 4 3 2
300 (%o12) b + b + b + b + b + a + a + a + a + a
301 @end example
303 @opencatbox
304 @category{Sums and products}
305 @closecatbox
306 @end deffn
308 @c NEEDS CLARIFICATION, EXAMPLES
310 @c -----------------------------------------------------------------------------
311 @anchor{sumcontract}
312 @deffn {関数} sumcontract (@var{expr})
313 定数だけ異なる上限と下限を持つ足し算の和すべてを結合します。
314 結果は、
315 そんな和のそれぞれの集合が、この和を形成するよう抽出されなければならないすべての適切な余分の項に加えられた１つの和を含む式です。
316 @code{sumcontract}は、互換性のある和すべてを結合し、
317 可能なら和の１つからインデックスの１つを使い、もし供給されたどれもが使えないなら、合理的なインデックスを形成するよう試みます。
319 @c WHEN IS intosum NECESSARY BEFORE sumcontract ??
320 @code{sumcontract}の前に、@code{intosum (@var{expr})}を実行する必要があるかもしれません。
322 @opencatbox
323 @category{Sums and products}
324 @closecatbox
325 @end deffn
327 @c -----------------------------------------------------------------------------
328 @anchor{sumexpand}
329 @defvr {オプション変数} sumexpand
330 デフォルト値: @code{false}
332 @code{sumexpand}が@code{true}の時、
333 和の積と、指数和は、入れ子の和に整理されます。
335 @code{cauchysum}も参照してください。
337 例:
339 @example
340 (%i1) sumexpand: true$
341 (%i2) sum (f (i), i, 0, m) * sum (g (j), j, 0, n);
342 @group
343 m n
344 ==== ====
345 \ \
346 (%o2) > > f(i1) g(i2)
347 / /
348 ==== ====
349 i1 = 0 i2 = 0
350 @end group
351 (%i3) sum (f (i), i, 0, m)^2;
352 m m
353 ==== ====
354 \ \
355 (%o3) > > f(i3) f(i4)
356 / /
357 ==== ====
358 i3 = 0 i4 = 0
359 @end example
361 @opencatbox
362 @category{Sums and products} @category{Simplification flags and variables}
363 @closecatbox
364 @end defvr
366 @c -----------------------------------------------------------------------------
367 @node Introduction to Series, Functions and Variables for Series, Sums and Products, Sums Products and Series
368 @section Introduction to Series
369 @c -----------------------------------------------------------------------------
371 Maximaは、微分可能な関数の級数を見つけるために、
372 関数@code{taylor}と@code{powerseries}を含みます。
373 ある級数の閉形式を見つける性能がある@code{nusum}のようなツールも持ちます。
374 足し算や掛け算のような演算は、級数上で普通に機能します。
375 この節は、展開を制御するグローバル変数を提供します。
377 @c end concepts Series
379 @c -----------------------------------------------------------------------------
380 @node Functions and Variables for Series, Poisson series, Introduction to Series, Sums Products and Series
381 @section Functions and Variables for Series
382 @c -----------------------------------------------------------------------------
384 @c -----------------------------------------------------------------------------
385 @anchor{cauchysum}
386 @defvr {オプション変数} cauchysum
387 デフォルト値: @code{false}
389 @c REPHRASE
390 上限として@code{inf}を持つ和同士を掛ける時、
391 もし@code{sumexpand}が@code{true}、かつ、@code{cauchysum}が@code{true}なら、
392 通常の積ではなくCauchy積が使われます。
393 Cauchy積では、
394 内側の和のインデックスは、独立に変化するのではなく、外側のインデックスの関数です。
396 例:
398 @example
399 (%i1) sumexpand: false$
400 (%i2) cauchysum: false$
401 (%i3) s: sum (f(i), i, 0, inf) * sum (g(j), j, 0, inf);
402 inf inf
403 ==== ====
404 \ \
405 (%o3) ( > f(i)) > g(j)
406 / /
407 ==== ====
408 i = 0 j = 0
409 (%i4) sumexpand: true$
410 (%i5) cauchysum: true$
411 (%i6) ''s;
412 inf i1
413 ==== ====
414 \ \
415 (%o6) > > g(i1 - i2) f(i2)
416 / /
417 ==== ====
418 i1 = 0 i2 = 0
419 @end example
421 @opencatbox
422 @category{Sums and products}
423 @closecatbox
424 @end defvr
426 @c -----------------------------------------------------------------------------
427 @anchor{deftaylor}
428 @deffn {関数} deftaylor (@var{f_1}(@var{x_1}), @var{expr_1}, @dots{}, @var{f_n}(@var{x_n}), @var{expr_n})
430 @code{deftaylor}は、
431 ある変数@var{x_i}の関数@var{f_i}それぞれに関して、
432 @var{expr_i}をゼロの回りのTaylor級数と定義します。
433 @var{expr_i}は、典型的には、@var{x_i}の多項式か和です;
434 @code{deftaylor}は、もっと一般的な式も問題なく受け付けます。
436 @code{powerseries (@var{f_i}(@var{x_i}), @var{x_i}, 0)}は、
437 @code{deftaylor}で定義された級数を返します。
439 @code{deftaylor}は、
440 関数@var{f_1}, ..., @var{f_n}のリストを返します。
441 @code{deftaylor}は、引数を評価します。
443 例:
445 @example
446 (%i1) deftaylor (f(x), x^2 + sum(x^i/(2^i*i!^2), i, 4, inf));
447 (%o1) [f]
448 (%i2) powerseries (f(x), x, 0);
449 inf
450 ==== i1
451 \ x 2
452 (%o2) > -------- + x
453 / i1 2
454 ==== 2 i1!
455 i1 = 4
456 (%i3) taylor (exp (sqrt (f(x))), x, 0, 4);
457 2 3 4
458 x 3073 x 12817 x
459 (%o3)/T/ 1 + x + -- + ------- + -------- + . . .
460 2 18432 307200
461 @end example
463 @opencatbox
464 @category{Power series}
465 @closecatbox
466 @end deffn
468 @c -----------------------------------------------------------------------------
469 @anchor{maxtayorder}
470 @defvr {オプション変数} maxtayorder
471 デフォルト値: @code{true}
473 @c REPHRASE
474 @code{maxtayorder}が@code{true}の時、
475 (切り詰められた)Taylor級数の代数操作の間、
476 @code{taylor}は、厳密とわかっているできるだけ多くの項を保とうとします。
478 @opencatbox
479 @category{Power series}
480 @closecatbox
481 @end defvr
483 @c -----------------------------------------------------------------------------
484 @anchor{niceindices}
485 @deffn {関数} niceindices (@var{expr})
487 @var{expr}の中の和や積のインデックスを改名します。
488 @code{niceindices}は、
489 その名前が被加数や非積数の中に現れないなら、
490 インデックスそれぞれを@code{niceindicespref[1]}の値に改名しようとします。
491 現れた場合、
492 @code{niceindices}は、
493 未使用の変数が見つかるまで@code{niceindicespref}の次の要素を順に試します。
494 もしリスト全部が使い果たされたら、
495 例えば, @code{i0}, @code{i1}, @code{i2}, ....というように、
496 @code{niceindicespref[1]}の値に整数を追加することで、
497 追加のインデックスが構成されます。
499 @code{niceindices}は式を返します。
500 @code{niceindices}は引数を評価します。
502 例:
504 @example
505 (%i1) niceindicespref;
506 (%o1) [i, j, k, l, m, n]
507 (%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
508 inf inf
509 /===\ ====
510 ! ! \
511 (%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
512 ! ! /
513 bar = 1 ====
514 foo = 1
515 (%i3) niceindices (%);
516 @group
517 inf inf
518 /===\ ====
519 ! ! \
520 (%o3) ! ! > f(i j l + k)
521 ! ! /
522 l = 1 ====
523 k = 1
524 @end group
525 @end example
527 @opencatbox
528 @category{Sums and products}
529 @closecatbox
530 @end deffn
532 @c -----------------------------------------------------------------------------
533 @anchor{niceindicespref}
534 @defvr {オプション変数} niceindicespref
535 デフォルト値: @code{[i, j, k, l, m, n]}
537 @code{niceindicespref}は、
538 @code{niceindices}が和や積のインデックスの名前を取ってくる
539 リストです。
541 The elements of
542 @code{niceindicespref}の要素は、
543 @code{niceindices}によって強制されませんが、
544 通常、変数名です。
546 例:
548 @example
549 (%i1) niceindicespref: [p, q, r, s, t, u]$
550 (%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
551 inf inf
552 /===\ ====
553 ! ! \
554 (%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
555 ! ! /
556 bar = 1 ====
557 foo = 1
558 (%i3) niceindices (%);
559 inf inf
560 /===\ ====
561 ! ! \
562 (%o3) ! ! > f(i j q + p)
563 ! ! /
564 q = 1 ====
565 p = 1
566 @end example
568 @opencatbox
569 @category{Sums and products}
570 @closecatbox
571 @end defvr
573 @c -----------------------------------------------------------------------------
574 @anchor{nusum}
575 @deffn {関数} nusum (@var{expr}, @var{x}, @var{i_0}, @var{i_1})
577 R.W. Gosperによる決定手続きを使って、
578 @var{x}に関する@var{expr}の不定超幾何総和を実行します。
579 @var{expr}と結果は、
580 整数べき、階乗、二項式、有理関数の積として表現可能でなければいけません。
582 @c UMM, DO WE REALLY NEED TO DEFINE "DEFINITE" AND "INDEFINITE" SUMMATION HERE ??
583 @c (CAN'T WE MAKE THE POINT WITHOUT DRAGGING IN SOME NONSTANDARD TERMINOLOGY ??)
584 用語「定」と「不定和」は、
585 「定」と「不定積分」へ類似して使われています。
586 不定に和を取ることは、
587 ただ、例えば0からinfまででなく、
588 変数の長さの区間上の和に関して、シンボリックな結果を与えることを意味します。
589 例えば、二項級数の一般的な部分和に関する公式はないので、
590 @code{nusum}はそれができません。
592 @code{nusum}と@code{unsum}は、有限積の和と差について少し知っています。
593 @code{unsum}も参照してください。
595 例:
597 @example
598 (%i1) nusum (n*n!, n, 0, n);
600 Dependent equations eliminated: (1)
601 (%o1) (n + 1)! - 1
602 (%i2) nusum (n^4*4^n/binomial(2*n,n), n, 0, n);
603 4 3 2 n
604 2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
605 (%o2) ------------------------------------------------ - ------
606 693 binomial(2 n, n) 3 11 7
607 (%i3) unsum (%, n);
608 4 n
609 n 4
610 (%o3) ----------------
611 binomial(2 n, n)
612 (%i4) unsum (prod (i^2, i, 1, n), n);
613 n - 1
614 /===\
615 ! ! 2
616 (%o4) ( ! ! i ) (n - 1) (n + 1)
617 ! !
618 i = 1
619 (%i5) nusum (%, n, 1, n);
621 Dependent equations eliminated: (2 3)
622 n
623 /===\
624 ! ! 2
625 (%o5) ! ! i - 1
626 ! !
627 i = 1
628 @end example
630 @opencatbox
631 @category{Sums and products}
632 @closecatbox
633 @end deffn
635 @c THIS ITEM NEEDS SERIOUS WORK
637 @c -----------------------------------------------------------------------------
638 @anchor{pade}
639 @deffn {関数} pade (@var{taylor_series}, @var{numer_deg_bound}, @var{denom_deg_bound})
641 分子と分母の次数の和がべき級数の切り詰めレベル以下の
642 与えられたTaylor級数展開、すなわち、「最良」近似を持ち
643 加えて指定された次数範囲を満たす、有理関数すべてのリストを返します。
645 @var{taylor_series}は１変数Taylor級数です。
646 @var{numer_deg_bound}と@var{denom_deg_bound}は、
647 分子と分母上の次数範囲を指定する
648 正の整数です。
650 @var{taylor_series}は
651 Laurent級数も可能です。
652 次数範囲は、@code{inf}も可能で、
653 総次数が、冪級数の長さ以下の有理関数すべてを返すことになります。
654 総次数は
655 @code{@var{numer_deg_bound} + @var{denom_deg_bound}}として定義されます。
656 べき級数の長さは
657 @code{"truncation level" + 1 - min(0, "order of series")}として定義されます。
659 @example
660 (%i1) taylor (1 + x + x^2 + x^3, x, 0, 3);
661 2 3
662 (%o1)/T/ 1 + x + x + x + . . .
663 (%i2) pade (%, 1, 1);
664 1
665 (%o2) [- -----]
666 x - 1
667 (%i3) t: taylor(-(83787*x^10 - 45552*x^9 - 187296*x^8
668 + 387072*x^7 + 86016*x^6 - 1507328*x^5
669 + 1966080*x^4 + 4194304*x^3 - 25165824*x^2
670 + 67108864*x - 134217728)
671 /134217728, x, 0, 10);
672 2 3 4 5 6 7
673 x 3 x x 15 x 23 x 21 x 189 x
674 (%o3)/T/ 1 - - + ---- - -- - ----- + ----- - ----- - ------
675 2 16 32 1024 2048 32768 65536
677 8 9 10
678 5853 x 2847 x 83787 x
679 + ------- + ------- - --------- + . . .
680 4194304 8388608 134217728
681 (%i4) pade (t, 4, 4);
682 (%o4) []
683 @end example
685 このべき級数展開を持つ次数4の 分子/分母の有理関数はありません。
686 一般的に、
687 解くのに十分な数の未知の係数を持つために、
688 その和が少なくともべき級数の次数になるまで
689 分子の次数と分母の次数を増やさなければいけません。
691 @example
692 (%i5) pade (t, 5, 5);
693 5 4 3
694 (%o5) [- (520256329 x - 96719020632 x - 489651410240 x
696 2
697 - 1619100813312 x - 2176885157888 x - 2386516803584)
699 5 4 3
700 /(47041365435 x + 381702613848 x + 1360678489152 x
702 2
703 + 2856700692480 x + 3370143559680 x + 2386516803584)]
704 @end example
706 @opencatbox
707 @category{Power series}
708 @closecatbox
709 @end deffn
711 @c -----------------------------------------------------------------------------
712 @anchor{powerseries}
713 @deffn {関数} powerseries (@var{expr}, @var{x}, @var{a})
715 変数@var{x}に関する点@var{a}
716 (無限大のためには@code{inf}かもしれません)
717 の回りの@var{expr}のべき級数展開の一般形式を返します:
718 @example
719 @group
720 inf
721 ====
722 \ n
723 > b (x - a)
724 / n
725 ====
726 n = 0
727 @end group
728 @end example
730 もし@code{powerseries}が@var{expr}を展開することができないなら、
731 @code{taylor}が、級数の最初のいくつかの項を与えることができます。
733 @code{verbose}が@code{true}の時、
734 @code{powerseries}は進捗メッセージを印字します。
736 @example
737 (%i1) verbose: true$
738 (%i2) powerseries (log(sin(x)/x), x, 0);
739 can't expand
740 log(sin(x))
741 so we'll try again after applying the rule:
742 d
743 / -- (sin(x))
744 [ dx
745 log(sin(x)) = i ----------- dx
746 ] sin(x)
747 /
748 in the first simplification we have returned:
749 /
750 [
751 i cot(x) dx - log(x)
752 ]
753 /
754 inf
755 ==== i1 2 i1 2 i1
756 \ (- 1) 2 bern(2 i1) x
757 > ------------------------------
758 / i1 (2 i1)!
759 ====
760 i1 = 1
761 (%o2) -------------------------------------
762 2
763 @end example
765 @opencatbox
766 @category{Power series}
767 @closecatbox
768 @end deffn
770 @c -----------------------------------------------------------------------------
771 @anchor{psexpand}
772 @defvr {オプション変数} psexpand
773 デフォルト値: @code{false}
775 @code{psexpand}が@code{true}の時、
776 拡張有理関数展開が完全に展開されて表示されます。
777 スイッチ@code{ratexpand}は同じ効果を持ちます。
779 @c WE NEED TO BE EXPLICIT HERE
780 @code{psexpand}が@code{false}の時、
781 多変数式がちょうど有理関数パッケージにあるかのように表示されます。
783 @c TERMS OF WHAT ??
784 @code{psexpand}が@code{multi}の時、
785 変数に関する同じ総次数の項は一緒にまとめられます。
787 @opencatbox
788 @category{Display flags and variables}
789 @closecatbox
791 @end defvr
793 @c -----------------------------------------------------------------------------
794 @anchor{revert}
795 @deffn {関数} revert (@var{expr}, @var{x})
796 @deffnx {関数} revert2 (@var{expr}, @var{x}, @var{n})
797 これらの関数は、
798 変数@var{x}に関するゼロの回りのTaylor級数@var{expr}の反転を返します。
799 @code{revert}は、
800 @var{expr}の最高次数と等しい次数の多項式を返します。
801 @code{revert2}は、次数@var{n}の多項式を返します。
802 @var{n}は、@var{expr}の次数よりも大きい値も小さい値も同じ値も取り得ます。
804 @code{load ("revert")}はこれらの関数をロードします。
806 例:
808 @example
809 (%i1) load ("revert")$
810 (%i2) t: taylor (exp(x) - 1, x, 0, 6);
811 2 3 4 5 6
812 x x x x x
813 (%o2)/T/ x + -- + -- + -- + --- + --- + . . .
814 2 6 24 120 720
815 (%i3) revert (t, x);
816 6 5 4 3 2
817 10 x - 12 x + 15 x - 20 x + 30 x - 60 x
818 (%o3)/R/ - --------------------------------------------
819 60
820 (%i4) ratexpand (%);
821 6 5 4 3 2
822 x x x x x
823 (%o4) - -- + -- - -- + -- - -- + x
824 6 5 4 3 2
825 (%i5) taylor (log(x+1), x, 0, 6);
826 2 3 4 5 6
827 x x x x x
828 (%o5)/T/ x - -- + -- - -- + -- - -- + . . .
829 2 3 4 5 6
830 (%i6) ratsimp (revert (t, x) - taylor (log(x+1), x, 0, 6));
831 (%o6) 0
832 (%i7) revert2 (t, x, 4);
833 4 3 2
834 x x x
835 (%o7) - -- + -- - -- + x
836 4 3 2
837 @end example
839 @opencatbox
840 @category{Power series}
841 @closecatbox
842 @end deffn
844 @c -----------------------------------------------------------------------------
845 @anchor{taylor}
846 @deffn {関数} taylor (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{n})
847 @deffnx {関数} taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], @var{a}, @var{n})
848 @deffnx {関数} taylor (@var{expr}, [@var{x}, @var{a}, @var{n}, 'asymp])
849 @deffnx {関数} taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], [@var{a_1}, @var{a_2}, ...], [@var{n_1}, @var{n_2}, ...])
850 @deffnx {関数} taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{a_1}, @var{n_1}], [@var{x_2}, @var{a_2}, @var{n_2}], ...)
852 @code{taylor (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{n})}は、
853 式@var{expr}を、変数@var{x}の@var{a}の周りのTaylorもしくはLaurent級数を
854 @code{(@var{x} - @var{a})^@var{n}}まで展開します。
856 もし@var{expr}が形式@code{@var{f}(@var{x})/@var{g}(@var{x})} の形であり、
857 @code{@var{g}(@var{x})}が@var{n}次まで項を持たないなら、
858 @code{taylor}は@code{@var{g}(@var{x})}を@code{2 @var{n}}次まで展開しようとします。
859 もしまだ0でない項がないなら、
860 @code{taylor}は、展開の次数が@code{@var{n} 2^taylordepth}以下である限り
861 @code{@var{g}(@var{x})}の展開の次数を倍にしていきます。
863 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], @var{a}, @var{n})}
864 は、すべての変数@var{x_1}, @var{x_2}, ...について
865 点@code{(@var{a}, @var{a}, , ...)}の周りで@var{n}次までのべき級数を返します。
867 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{a_1}, @var{n_1}], [@var{x_2}, @var{a_2}, @var{n_2}], ...)}は、変数@var{x_1}, @var{x_2}, ...について
868 点@code{(@var{a_1}, @var{a_2}, ...)}の回りで
869 @var{n_1}次, @var{n_2}次, ....まで展開したべき級数を返します。
871 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], [@var{a_1}, @var{a_2}, ...], [@var{n_1}, @var{n_2}, ...])}は、
872 変数@var{x_1}, @var{x_2}, ...について、
873 点@code{(@var{a_1}, @var{a_2}, ...)}の回りで
874 @var{n_1}次, @var{n_2}次, ....まで展開したべき級数を返します。
876 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x}, @var{a}, @var{n}, 'asymp])}は、
877 @var{expr}の@code{@var{x} - @var{a}}の負のべき乗展開を返します。
878 最高次の項は@code{(@var{x} - @var{a})^@var{-n}}です。
880 @code{maxtaylorder}が@code{true}の時、
881 （丸められた）Taylor級数の代数操作の間、
882 @code{talyor}は正確とわかっている限り多くの項を保とうとします。
884 @code{psexpand}が@code{true}の時、
885 拡張有理関数式は、フルに展開されて表示されます。
886 スイッチ@code{ratexpand}は同じ効果を持ちます。
887 @code{psexpand}が@code{false}の時、
888 有理関数パッケージかのように多変数式が表示されます。
889 @code{psexpand}が@code{multi}なら、同じ総次数の項が一緒にグループ化されます。
891 展開を制御するには、@code{taylor_logexpand}スイッチも参照してください。
893 例:
895 @c EXAMPLES ADAPTED FROM example (taylor)
896 @c taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
897 @c %^2;
898 @c taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
899 @c %^2;
900 @c product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
901 @c ev (taylor(%, x, 0, 3), keepfloat);
902 @c taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
903 @c taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);
904 @c taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
905 @c taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
906 @c taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
907 @c taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
908 @c taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
909 @c taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);
910 @c taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
911 @c taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
912 @example
913 (%i1) taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
914 2 2
915 (a + 1) x (a + 2 a + 1) x
916 (%o1)/T/ 1 + --------- - -----------------
917 2 8
919 3 2 3
920 (3 a + 9 a + 9 a - 1) x
921 + -------------------------- + . . .
922 48
923 (%i2) %^2;
924 3
925 x
926 (%o2)/T/ 1 + (a + 1) x - -- + . . .
927 6
928 (%i3) taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
929 2 3 4 5
930 x x x 5 x 7 x
931 (%o3)/T/ 1 + - - -- + -- - ---- + ---- + . . .
932 2 8 16 128 256
933 (%i4) %^2;
934 (%o4)/T/ 1 + x + . . .
935 (%i5) product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
936 @group
937 inf
938 /===\
939 ! ! i 2.5
940 ! ! (x + 1)
941 ! !
942 i = 1
943 (%o5) -----------------
944 2
945 x + 1
946 @end group
947 (%i6) ev (taylor(%, x, 0, 3), keepfloat);
948 2 3
949 (%o6)/T/ 1 + 2.5 x + 3.375 x + 6.5625 x + . . .
950 (%i7) taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
951 2 3
952 1 1 x x 19 x
953 (%o7)/T/ - + - - -- + -- - ----- + . . .
954 x 2 12 24 720
955 (%i8) taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);
956 4
957 2 x
958 (%o8)/T/ - x - -- + . . .
959 6
960 (%i9) taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
961 (%o9)/T/ 0 + . . .
962 (%i10) taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
963 2 4
964 1 1 11 347 6767 x 15377 x
965 (%o10)/T/ - -- + ---- + ------ - ----- - ------- - --------
966 6 4 2 15120 604800 7983360
967 x 2 x 120 x
969 + . . .
970 (%i11) taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
971 2 2 4 2 4
972 k x (3 k - 4 k ) x
973 (%o11)/T/ 1 - ----- - ----------------
974 2 24
976 6 4 2 6
977 (45 k - 60 k + 16 k ) x
978 - -------------------------- + . . .
979 720
980 (%i12) taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
981 @group
982 2 2 3 2 3
983 (n - n) x (n - 3 n + 2 n) x
984 (%o12)/T/ 1 + n x + ----------- + --------------------
985 2 6
987 4 3 2 4
988 (n - 6 n + 11 n - 6 n) x
989 + ---------------------------- + . . .
990 24
991 @end group
992 (%i13) taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
993 3 2
994 y y
995 (%o13)/T/ y - -- + . . . + (1 - -- + . . .) x
996 6 2
998 3 2
999 y y 2 1 y 3
1000 + (- - + -- + . . .) x + (- - + -- + . . .) x + . . .
1001 2 12 6 12
1002 (%i14) taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);
1003 3 2 2 3
1004 x + 3 y x + 3 y x + y
1005 (%o14)/T/ y + x - ------------------------- + . . .
1006 6
1007 (%i15) taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
1008 1 y 1 1 1 2
1009 (%o15)/T/ - + - + . . . + (- -- + - + . . .) x + (-- + . . .) x
1010 y 6 2 6 3
1011 y y
1013 1 3
1014 + (- -- + . . .) x + . . .
1015 4
1016 y
1017 (%i16) taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
1018 3 2 2 3
1019 1 x + y 7 x + 21 y x + 21 y x + 7 y
1020 (%o16)/T/ ----- + ----- + ------------------------------- + . . .
1021 x + y 6 360
1022 @end example
1024 @opencatbox
1025 @category{Power series}
1026 @closecatbox
1027 @end deffn
1029 @c -----------------------------------------------------------------------------
1030 @anchor{taylordepth}
1031 @defvr {オプション変数} taylordepth
1032 デフォルト値: 3
1034 @c UM, THE CONTEXT FOR THIS REMARK NEEDS TO BE ESTABLISHED
1035 もしまだ非ゼロ項がないなら、
1036 展開の次数が@code{@var{n} 2^taylordepth}以下である限り、
1037 @code{taylor}は、
1038 @code{@var{g}(@var{x})}の展開の次数を倍にします。
1040 @opencatbox
1041 @category{Power series}
1042 @closecatbox
1043 @end defvr
1045 @c -----------------------------------------------------------------------------
1046 @anchor{taylorinfo}
1047 @deffn {関数} taylorinfo (@var{expr})
1049 Taylor級数@var{expr}についての情報を返します。
1050 戻り値はリストのリストです。
1051 リストそれぞれは、変数名、展開点、展開次数から成ります。
1053 もし@var{expr}がTaylor級数でないなら、
1054 @code{taylorinfo}は@code{false}を返します。
1056 例:
1058 @example
1059 (%i1) taylor ((1 - y^2)/(1 - x), x, 0, 3, [y, a, inf]);
1060 2 2
1061 (%o1)/T/ - (y - a) - 2 a (y - a) + (1 - a )
1063 2 2
1064 + (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
1066 2 2 2
1067 + (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
1069 2 2 3
1070 + (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x + . . .
1071 (%i2) taylorinfo(%);
1072 (%o2) [[y, a, inf], [x, 0, 3]]
1073 @end example
1075 @opencatbox
1076 @category{Power series}
1077 @closecatbox
1078 @end deffn
1080 @c -----------------------------------------------------------------------------
1081 @anchor{taylorp}
1082 @deffn {関数} taylorp (@var{expr})
1084 もし@var{expr}がTaylor級数なら、@code{true}を、
1085 そうでないなら、@code{false}を返します。
1087 @opencatbox
1088 @category{Predicate functions} @category{Power series}
1089 @closecatbox
1090 @end deffn
1092 @c WHAT IS THIS ABOUT EXACTLY ??
1094 @c -----------------------------------------------------------------------------
1095 @anchor{taylor_logexpand}
1096 @defvr {オプション変数} taylor_logexpand
1097 デフォルト値: @code{true}
1099 @code{taylor_logexpand}は、
1100 @code{taylor}級数の中の対数の展開を制御します。
1102 @code{taylor_logexpand}が@code{true}の時、
1103 対数すべては完全に展開されるので、対数的恒等式を含むゼロ認識問題は
1104 展開プロセスを邪魔しません。
1105 しかしながら、分岐情報を無視するので、この方法はいつも数学的にただしいわけではありません。
1107 @code{taylor_logexpand}が@code{false}に設定されている時、
1108 生じる対数の唯一の展開は、
1109 形式的なべき級数を得るのに必要なものです。
1111 @c NEED EXAMPLES HERE
1112 @opencatbox
1113 @category{Power series} @category{Exponential and logarithm functions}
1114 @closecatbox
1115 @end defvr
1117 @c -----------------------------------------------------------------------------
1118 @anchor{taylor_order_coefficients}
1119 @defvr {オプション変数} taylor_order_coefficients
1120 デフォルト値: @code{true}
1122 @code{taylor_order_coefficients}は、
1123 Taylor級数の中の係数の順序付けを制御します。
1125 @code{taylor_order_coefficients}が@code{true}の時、
1126 Taylor級数の係数は標準に順序付けられます。
1127 @c IS MAXIMA'S NOTION OF "CANONICALLY" DESCRIBED ELSEWHERE ??
1128 @c AND WHAT HAPPENS WHEN IT IS FALSE ??
1130 @c NEED EXAMPLES HERE
1131 @opencatbox
1132 @category{Power series}
1133 @closecatbox
1134 @end defvr
1136 @c -----------------------------------------------------------------------------
1137 @anchor{taylor_simplifier}
1138 @deffn {関数} taylor_simplifier (@var{expr})
1140 べき級数@var{expr}の係数を整理します。
1141 @code{taylor}はこの関数をコールします。
1143 @opencatbox
1144 @category{Power series}
1145 @closecatbox
1146 @end deffn
1148 @c -----------------------------------------------------------------------------
1149 @anchor{taylor_truncate_polynomials}
1150 @defvr {オプション変数} taylor_truncate_polynomials
1151 デフォルト値: @code{true}
1153 @c WHAT IS THE "INPUT TRUNCATION LEVEL" ?? THE ARGUMENT n OF taylor ??
1154 @code{taylor_truncate_polynomials}が@code{true}の時、
1155 多項式は入力切り詰めレベルを基礎に切り詰められます。
1157 そうでないなら、
1158 @code{taylor}への多項式入力は、
1159 不定の精度を持つと考えられます。
1160 @c WHAT IS "INFINITE PRECISION" IN THIS CONTEXT ??
1162 @opencatbox
1163 @category{Power series}
1164 @closecatbox
1165 @end defvr
1167 @c -----------------------------------------------------------------------------
1168 @anchor{taytorat}
1169 @deffn {関数} taytorat (@var{expr})
1170 @code{taylor}形式から標準有理式(CRE)形式に
1171 @var{expr}を変換します。
1172 効果は@code{rat (ratdisrep (@var{expr}))}と同じですが、より速いです。
1174 @opencatbox
1175 @category{Power series} @category{Rational expressions}
1176 @closecatbox
1177 @end deffn
1179 @c -----------------------------------------------------------------------------
1180 @anchor{trunc}
1181 @deffn {関数} trunc (@var{expr})
1183 一般式@var{expr}の内部表現をアノテートするので、まるでその和が切り詰められたTaylor級数かのように表示されます。
1184 @var{expr}は別に変更されません。
1186 例:
1188 @example
1189 (%i1) expr: x^2 + x + 1;
1190 2
1191 (%o1) x + x + 1
1192 (%i2) trunc (expr);
1193 2
1194 (%o2) 1 + x + x + . . .
1195 (%i3) is (expr = trunc (expr));
1196 (%o3) true
1197 @end example
1199 @opencatbox
1200 @category{Power series}
1201 @closecatbox
1202 @end deffn
1204 @c -----------------------------------------------------------------------------
1205 @anchor{unsum}
1206 @deffn {関数} unsum (@var{f}, @var{n})
1208 最初の後方差@code{@var{f}(@var{n}) - @var{f}(@var{n} - 1)}を返します。
1209 従って、
1210 @code{unsum}は、ある意味、@code{sum}の逆です。
1212 @code{nusum}も参照してください。
1214 例:
1215 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING INPUTS
1216 @c g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
1217 @c g(n^4);
1218 @c nusum (%, n, 0, n);
1219 @c unsum (%, n);
1221 @example
1222 (%i1) g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
1223 n
1224 p 4
1225 (%o1) g(p) := ----------------
1226 binomial(2 n, n)
1227 (%i2) g(n^4);
1228 4 n
1229 n 4
1230 (%o2) ----------------
1231 binomial(2 n, n)
1232 (%i3) nusum (%, n, 0, n);
1233 4 3 2 n
1234 2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
1235 (%o3) ------------------------------------------------ - ------
1236 693 binomial(2 n, n) 3 11 7
1237 (%i4) unsum (%, n);
1238 4 n
1239 n 4
1240 (%o4) ----------------
1241 binomial(2 n, n)
1242 @end example
1244 @opencatbox
1245 @category{Sums and products}
1246 @closecatbox
1247 @end deffn
1249 @c -----------------------------------------------------------------------------
1250 @anchor{verbose}
1251 @defvr {オプション変数} verbose
1252 デフォルト値: @code{false}
1254 @code{verbose}が@code{true}の時、
1255 @code{powerseries}は進捗メッセージを印字します。
1257 @opencatbox
1258 @category{Power series}
1259 @closecatbox
1261 @end defvr
1263 @c -----------------------------------------------------------------------------
1264 @node Poisson series, , Functions and Variables for Series, Sums Products and Series
1265 @section Poisson series
1266 @c -----------------------------------------------------------------------------
1268 @c NEED EXAMPLES HERE
1270 @c -----------------------------------------------------------------------------
1271 @anchor{intopois}
1272 @deffn {関数} intopois (@var{a})
1273 @var{a}をPoisson符号に変換します。
1275 @opencatbox
1276 @category{Poisson series}
1277 @closecatbox
1278 @end deffn
1280 @c NEED EXAMPLES HERE
1282 @c -----------------------------------------------------------------------------
1283 @anchor{outopois}
1284 @deffn {関数} outofpois (@var{a})
1286 @var{a}をPoisson符号から一般表現に変換します。
1287 もし@var{a}がPoisson形式でないなら、
1288 @code{outofpois}は変換を実行し、
1289 すなわち、その戻り値は、@code{outofpois (intopois (@var{a}))}です。
1290 例えば、この関数は、
1291 特定のタイプのサインやコサイン項のべきの和に関する
1292 標準整理器です。
1294 @opencatbox
1295 @category{Poisson series}
1296 @closecatbox
1297 @end deffn
1299 @c NEED MORE INFO HERE
1300 @c NEED EXAMPLES HERE
1302 @c -----------------------------------------------------------------------------
1303 @anchor{poisdiff}
1304 @deffn {関数} poisdiff (@var{a}, @var{b})
1306 @var{a}を@var{b}に関して微分します。
1307 @var{b}は三角関数の引数の中だけ、または係数の中だけにいなければいけません。
1309 @opencatbox
1310 @category{Poisson series}
1311 @closecatbox
1312 @end deffn
1314 @c LOOKING AT THE CODE IN src/pois3.lisp, THIS FCN SEEMS TO COMPUTE THE EXPONENT BY MULTIPLYING IN A LOOP
1315 @c DUNNO HOW WE WANT TO EXPLAIN THAT
1316 @c REPHRASE WITHOUT USING THE TERM "FUNCTIONALLY IDENTICAL"
1318 @c -----------------------------------------------------------------------------
1319 @anchor{poisexpt}
1320 @deffn {関数} poisexpt (@var{a}, @var{b})
1322 関数的に@code{intopois (@var{a}^@var{b})}と同一です。
1323 @var{b}は正の整数でなければいけません。
1325 @opencatbox
1326 @category{Poisson series}
1327 @closecatbox
1328 @end deffn
1330 @c WHAT IS THIS ABOUT ??
1332 @c -----------------------------------------------------------------------------
1333 @anchor{poisint}
1334 @deffn {関数} poisint (@var{a}, @var{b})
1336 (@code{poisdiffと})似て制限された意味で積分します。
1337 もし@var{b}が三角関数の引数の中にあるなら、
1338 @var{b}の中の非周期的項は落とされます。
1340 @opencatbox
1341 @category{Poisson series}
1342 @closecatbox
1343 @end deffn
1345 @c -----------------------------------------------------------------------------
1346 @anchor{poislim}
1347 @defvr {オプション変数} poislim
1348 デフォルト値: 5
1350 @code{poislim}は、三角関数の引数の中の係数の領域を決定します。
1351 初期値5は
1352 区間[-2^(5-1)+1,2^(5-1)]、すなわち[-15,16]に対応しますが、
1353 [-2^(n-1)+1, 2^(n-1)]に設定することができます。
1355 @opencatbox
1356 @category{Poisson series}
1357 @closecatbox
1358 @end defvr
1360 @c UMM, WHAT IS THIS ABOUT EXACTLY ?? EXAMPLES NEEDED
1362 @c -----------------------------------------------------------------------------
1363 @anchor{poismap}
1364 @deffn {関数} poismap (@var{series}, @var{sinfn}, @var{cosfn})
1366 関数@var{sinfn}を与えられたPoisson級数のサイン項に、
1367 @var{cosfn}をコサイン項に
1368 マップします。
1369 @var{sinfn}と @var{cosfn}は、２引数関数です。
1370 引数それぞれは、級数の中の項の係数と三角関数部です。
1372 @opencatbox
1373 @category{Poisson series}
1374 @closecatbox
1375 @end deffn
1377 @c REPHRASE WITHOUT USING THE TERM "FUNCTIONALLY IDENTICAL"
1379 @c -----------------------------------------------------------------------------
1380 @anchor{poisplus}
1381 @deffn {関数} poisplus (@var{a}, @var{b})
1383 関数的に@code{intopois (a + b)}と同一です。
1385 @opencatbox
1386 @category{Poisson series}
1387 @closecatbox
1388 @end deffn
1390 @c -----------------------------------------------------------------------------
1391 @anchor{poissimp}
1392 @deffn {関数} poissimp (@var{a})
1394 @var{a}を、一般表現の@var{a}に関するPoisson級数に変換します。
1396 @opencatbox
1397 @category{Poisson series}
1398 @closecatbox
1399 @end deffn
1401 @c MORE INFO NEEDED HERE
1403 @c -----------------------------------------------------------------------------
1404 @anchor{poisson}
1405 @defvr {特殊シンボル} poisson
1407 シンボル@code{/P/}は、Poisson級数式の行ラベルに続きます。
1409 @opencatbox
1410 @category{Poisson series}
1411 @closecatbox
1412 @end defvr
1414 @c -----------------------------------------------------------------------------
1415 @anchor{poissubst}
1416 @deffn {関数} poissubst (@var{a}, @var{b}, @var{c})
1418 @var{a}を@var{c}の中の@var{b}に代入します。
1419 @var{c}はPoisson級数です。
1421 (1) @var{b}が変数@var{u}, @var{v}, @var{w}, @var{x}, @var{y}, @var{z}のいずれかの場合、
1422 @var{a}はそれらの変数に関して線形の式(例えば、@code{6*u + 4*v})でなければいけません。
1424 (2) @var{b}はそれらの変数以外の場合、
1425 @var{a}もまたそれらの変数を含んではいけなく、さらに、サインもコサインも含んではいけません。
1427 @code{poissubst (@var{a}, @var{b}, @var{c}, @var{d}, @var{n})}は、
1428 上のタイプ(1)のように@var{a}と@var{b}に関して演算しますが、
1429 @var{d}がPoisson級数の場合、
1430 @var{c}の中で@var{b}に@code{@var{a} + @var{d}}を代入した結果を供給するために、
1431 @code{cos(@var{d})}と@code{sin(@var{d})}を次数@var{n}に展開する
1432 特殊なタイプの代入です。
1433 アイデアは、
1434 @var{d}が小さなパラメータの項に関する展開だということです。
1435 例えば、
1436 @code{poissubst (u, v, cos(v), %e, 3)}は@code{cos(u)*(1 - %e^2/2) - sin(u)*(%e - %e^3/6)}をもたらします。
1438 @opencatbox
1439 @category{Poisson series}
1440 @closecatbox
1441 @end deffn
1443 @c REPHRASE WITHOUT USING THE TERM "FUNCTIONALLY IDENTICAL"
1445 @c -----------------------------------------------------------------------------
1446 @anchor{poistimes}
1447 @deffn {関数} poistimes (@var{a}, @var{b})
1449 @code{intopois (@var{a}*@var{b})}と同じ機能です。
1451 @opencatbox
1452 @category{Poisson series}
1453 @closecatbox
1454 @end deffn
1456 @c HOW DOES THIS WORK ?? NEED MORE INFO AND EXAMPLES
1458 @c -----------------------------------------------------------------------------
1459 @anchor{poistrim}
1460 @deffn {関数} poistrim ()
1462 (もしユーザーがそれを定義したら)
1463 Poisson乗算の間、適用する予約関数です。
1464 項の中の@var{u}, @var{v}, ..., @var{z}の係数を引数とする６引数の述語論理関数です。
1465 (この項の係数に関して)@code{poistrim}が@code{true}の項は、
1466 乗算の間に消去されます。
1468 @opencatbox
1469 @category{Poisson series}
1470 @closecatbox
1471 @end deffn
1473 @c -----------------------------------------------------------------------------
1474 @anchor{printpois}
1475 @deffn {関数} printpois (@var{a})
1477 可読フォーマットでPoisson級数を印字します。
1478 @code{outofpois}と共通で、
1479 もし必要なら、@var{a}を最初にPoisson符号に変換します。
1481 @opencatbox
1482 @category{Poisson series} @category{Display functions}
1483 @closecatbox
1484 @end deffn