| blob | 7ee838a1a75e00986d4fe0134a9bba912c62eab2 |
1 @c English version 2011-07-15
2 @menu
3 * Introducción a lapack::
4 * Funciones y variables para lapack::
5 @end menu
7 @node Introducción a lapack, Funciones y variables para lapack, lapack, lapack
8 @section Introducción a lapack
10 @code{lapack} es una traducción automática a Common Lisp (con el programa @code{f2c})
11 de la librería LAPACK escrita en Fortran.
14 @node Funciones y variables para lapack, , Introducción a lapack, lapack
15 @section Funciones y variables para lapack
17 @deffn {Función} dgeev (@var{A})
18 @deffnx {Función} dgeev (@var{A}, @var{right_p}, @var{left_p})
20 Calcula los autovalores y, opcionalmente, también los autovectores de la matriz @var{A}.
21 Todos los elementos de @var{A} deben ser enteros o números decimales en coma flotante.
22 Además, @var{A} debe ser cuadrada (igual número de filas que de columnas) y puede
23 ser o no simétrica.
25 @code{dgeev(@var{A})} calcula sólo los autovalores de @var{A}.
26 @code{dgeev(@var{A}, @var{right_p}, @var{left_p})} calcula los autovalores de @var{A}
27 y los autovectores por la derecha cuando @math{@var{right_p} = @code{true}}, y
28 los autovectores por la izquierda cuando @math{@var{left_p} = @code{true}}.
30 La función devuelve una lista de tres elementos.
31 El primer elemento es una lista con los autovalores.
32 El segundo elemento es @code{false} o la matriz de autovectores por la derecha.
33 El tercer elemento es @code{false} o la matriz de autovectores por la izquierda.
35 El autovector por la derecha @math{v(j)} (la @math{j}-ésima columna de la matriz de
36 autovectores por la derecha) satisface
38 @math{A . v(j) = lambda(j) . v(j)}
40 donde @math{lambda(j)} es su autovalor asociado.
42 El autovector por la izquierda @math{u(j)} (la @math{j}-ésima columna de la matriz de
43 autovectores por la izquierda) satisface
45 @math{u(j)**H . A = lambda(j) . u(j)**H}
47 donde @math{u(j)**H} denota la transpuesta conjugada de @math{u(j)}.
49 La función de Maxima @code{ctranspose} calcula la transpuesta conjugada.
51 Los autovectores calculados están normalizados para que su norma
52 euclídea valga 1 y su componente mayor tenga su parte
53 imaginaria igual a cero.
55 Ejemplo:
57 @c ===beg===
58 @c load ("lapack")$
59 @c fpprintprec : 6;
60 @c M : matrix ([9.5, 1.75], [3.25, 10.45]);
61 @c dgeev (M);
62 @c [L, v, u] : dgeev (M, true, true);
63 @c D : apply (diag_matrix, L);
64 @c M . v - v . D;
65 @c transpose (u) . M - D . transpose (u);
66 @c ===end===
67 @example
68 (%i1) load ("lapack")$
69 (%i2) fpprintprec : 6;
70 (%o2) 6
71 (%i3) M : matrix ([9.5, 1.75], [3.25, 10.45]);
72 [ 9.5 1.75 ]
73 (%o3) [ ]
74 [ 3.25 10.45 ]
75 (%i4) dgeev (M);
76 (%o4) [[7.54331, 12.4067], false, false]
77 (%i5) [L, v, u] : dgeev (M, true, true);
78 [ - .666642 - .515792 ]
79 (%o5) [[7.54331, 12.4067], [ ],
80 [ .745378 - .856714 ]
81 [ - .856714 - .745378 ]
82 [ ]]
83 [ .515792 - .666642 ]
84 (%i6) D : apply (diag_matrix, L);
85 [ 7.54331 0 ]
86 (%o6) [ ]
87 [ 0 12.4067 ]
88 (%i7) M . v - v . D;
89 [ 0.0 - 8.88178E-16 ]
90 (%o7) [ ]
91 [ - 8.88178E-16 0.0 ]
92 (%i8) transpose (u) . M - D . transpose (u);
93 [ 0.0 - 4.44089E-16 ]
94 (%o8) [ ]
95 [ 0.0 0.0 ]
96 @end example
97 @end deffn
101 @deffn {Función} dgeqrf (@var{A})
103 Calcula la descomposición QR de la matriz @var{A}.
104 Todos los elementos de @var{A} deben ser enteros o números
105 reales. No es necesario que @var{A} tenga
106 el mismo número de filas que de columnas.
108 La función devuelve una lista con dos elementos; el primero es
109 la matriz cuadrada ortonormal @var{Q}, con el mismo número de
110 filas que @var{A}, y el segundo es la matriz triangular superior @var{R},
111 de iguales dimensiones que @var{A}. El producto @code{@var{Q} . @var{R}},
112 siendo "." el operador de la multiplicación matricial, es igual a
113 @var{A}, ignorando errores de redondeo.
115 @c ===beg===
116 @c load ("lapack")$
117 @c fpprintprec : 6;
118 @c M : matrix ([1, -3.2, 8], [-11, 2.7, 5.9]);
119 @c [q, r] : dgeqrf (M);
120 @c q . r - M;
121 @c mat_norm (%);
122 @c ===end===
123 @example
124 (%i1) load ("lapack") $
125 (%i2) fpprintprec : 6 $
126 (%i3) M : matrix ([1, -3.2, 8], [-11, 2.7, 5.9]) $
127 (%i4) [q, r] : dgeqrf (M);
128 [ - .0905357 .995893 ]
129 (%o4) [[ ],
130 [ .995893 .0905357 ]
131 [ - 11.0454 2.97863 5.15148 ]
132 [ ]]
133 [ 0 - 2.94241 8.50131 ]
134 (%i5) q . r - M;
135 [ - 7.77156E-16 1.77636E-15 - 8.88178E-16 ]
136 (%o5) [ ]
137 [ 0.0 - 1.33227E-15 8.88178E-16 ]
138 (%i6) mat_norm (%, 1);
139 (%o6) 3.10862E-15
140 @end example
142 @end deffn
147 @deffn {Función} dgesv (@var{A}, @var{b})
149 Calcula la solución @var{x} de la ecuación @math{@var{A} @var{x} = @var{b}},
150 siendo @var{A} una matriz cuadrada y @var{b} otra matriz con el mismo
151 número de filas que @var{A} y un número arbitrario de columnas. Las
152 dimensiones de la solución @var{x} son las mismas de @var{b}.
154 Los elementos de @var{A} y @var{b} deben ser reducibles a números decimales
155 si se les aplica la función @code{float}, por lo que tales elementos
156 pueden en principio ser de cualquier tipo numérico, constantes numéricas
157 simbólicas o cualesquiera expresiones reducibles a un número decimal.
158 Los elementos de @var{x} son siempre números decimales. Todas las
159 operaciones aritméticas se realizan en coma flotante.
161 @code{dgesv} calcula la solución mediante la descomposición LU de @var{A}.
163 Ejemplos:
165 @code{dgesv} calcula la solución @var{x} de la ecuación
166 @math{@var{A} @var{x} = @var{b}}.
168 @c ===beg===
169 @c A : matrix ([1, -2.5], [0.375, 5]);
170 @c b : matrix ([1.75], [-0.625]);
171 @c x : dgesv (A, b);
172 @c dlange (inf_norm, b - A . x);
173 @c ===end===
174 @example
175 (%i1) A : matrix ([1, -2.5], [0.375, 5]);
176 [ 1 - 2.5 ]
177 (%o1) [ ]
178 [ 0.375 5 ]
179 (%i2) b : matrix ([1.75], [-0.625]);
180 [ 1.75 ]
181 (%o2) [ ]
182 [ - 0.625 ]
183 (%i3) x : dgesv (A, b);
184 [ 1.210526315789474 ]
185 (%o3) [ ]
186 [ - 0.215789473684211 ]
187 (%i4) dlange (inf_norm, b - A.x);
188 (%o4) 0.0
189 @end example
191 @var{b} una matriz con el mismo número de filas que @var{A}
192 y un número arbitrario de columnas. Las dimensiones de
193 @var{x} son las mismas de @var{b}.
195 @c ===beg===
196 @c A : matrix ([1, -0.15], [1.82, 2]);
197 @c b : matrix ([3.7, 1, 8], [-2.3, 5, -3.9]);
198 @c x : dgesv (A, b);
199 @c dlange (inf_norm, b - A . x);
200 @c ===end===
201 @example
202 (%o0) done
203 (%i1) A : matrix ([1, -0.15], [1.82, 2]);
204 [ 1 - 0.15 ]
205 (%o1) [ ]
206 [ 1.82 2 ]
207 (%i2) b : matrix ([3.7, 1, 8], [-2.3, 5, -3.9]);
208 [ 3.7 1 8 ]
209 (%o2) [ ]
210 [ - 2.3 5 - 3.9 ]
211 (%i3) x : dgesv (A, b);
212 [ 3.103827540695117 1.20985481742191 6.781786185657722 ]
213 (%o3) [ ]
214 [ - 3.974483062032557 1.399032116146062 - 8.121425428948527 ]
215 (%i4) dlange (inf_norm, b - A . x);
216 (%o4) 1.1102230246251565E-15
217 @end example
219 Los elementos de @var{A} y @var{b} deben ser reducibles a números decimales.
221 @c ===beg===
222 @c A : matrix ([5, -%pi], [1b0, 11/17]);
223 @c b : matrix ([%e], [sin(1)]);
224 @c x : dgesv (A, b);
225 @c dlange (inf_norm, b - A . x);
226 @c ===end===
227 @example
228 (%i1) A : matrix ([5, -%pi], [1b0, 11/17]);
229 [ 5 - %pi ]
230 [ ]
231 (%o1) [ 11 ]
232 [ 1.0b0 -- ]
233 [ 17 ]
234 (%i2) b : matrix ([%e], [sin(1)]);
235 [ %e ]
236 (%o2) [ ]
237 [ sin(1) ]
238 (%i3) x : dgesv (A, b);
239 [ 0.690375643155986 ]
240 (%o3) [ ]
241 [ 0.233510982552952 ]
242 (%i4) dlange (inf_norm, b - A . x);
243 (%o4) 2.220446049250313E-16
244 @end example
246 @end deffn
251 @deffn {Función} dgesvd (@var{A})
252 @deffnx {Función} dgesvd (@var{A}, @var{left_p}, @var{right_p})
254 Calcula la descomposición singular (SVD, en inglés) de la matriz @var{A},
255 que contiene los valores singulares y, opcionalmente, los vectores singulares por
256 la derecha o por la izquierda. Todos los elementos de @var{A} deben ser enteros o
257 números decimales en coma flotante. La matriz @var{A} puede ser cuadrada o no
258 (igual número de filas que de columnas).
260 Sea @math{m} el número de filas y @math{n} el de columnas de @var{A}.
261 La descomposición singular de @var{A} consiste en calcular tres matrices:
262 @var{U}, @var{Sigma} y @var{V^T}, tales que
264 @c @math{@var{A} = @var{U} . @var{Sigma} . @var{V^T}}
265 @math{@var{A} = @var{U} . @var{Sigma} . @var{V}^T}
267 donde @var{U} es una matriz unitaria @math{m}-por-@math{m},
268 @var{Sigma} es una matriz diagonal @math{m}-por-@math{n} y
269 @var{V^T} es una matriz unitaria @math{n}-por-@math{n}.
271 Sea @math{sigma[i]} un elemento diagonal de @math{Sigma}, esto es,
272 @math{@var{Sigma}[i, i] = @var{sigma}[i]}. Los elementos @math{sigma[i]}
273 se llaman valores singulares de @var{A}, los cuales son reales y no negativos,
274 siendo devueltos por la función @code{dgesvd} en orden descendente.
276 Las primeras @math{min(m, n)} columnas de @var{U} y @var{V} son los vectores
277 singulares izquierdo y derecho de @var{A}. Nótese que @code{dgesvd}
278 devuelve la transpuesta de @var{V}, no la propia matriz @var{V}.
280 @code{dgesvd(@var{A})} calcula únicamente los valores singulares de @var{A}.
281 @code{dgesvd(@var{A}, @var{left_p}, @var{right_p})} calcula los valores singulares
282 de @var{A} y los vectores sigulares por la izquierda cuando @math{@var{left_p} = @code{true}},
283 y los vectores sigulares por la derecha cuando @math{@var{right_p} = @code{true}}.
285 La función devuelve una lista de tres elementos.
286 El primer elemento es una lista con los valores singulares.
287 El segundo elemento es @code{false} o la matriz de vectores singulares por la izquierda.
288 El tercer elemento es @code{false} o la matriz de vectores singulares por la derecha.
290 Ejemplo:
292 @c ===beg===
293 @c load ("lapack")$
294 @c fpprintprec : 6;
295 @c M: matrix([1, 2, 3], [3.5, 0.5, 8], [-1, 2, -3], [4, 9, 7]);
296 @c dgesvd (M);
297 @c [sigma, U, VT] : dgesvd (M, true, true);
298 @c m : length (U);
299 @c n : length (VT);
300 @c Sigma:
301 @c genmatrix(lambda ([i, j], if i=j then sigma[i] else 0),
302 @c m, n);
303 @c U . Sigma . VT - M;
304 @c transpose (U) . U;
305 @c VT . transpose (VT);
306 @c ===end===
307 @example
308 (%i1) load ("lapack")$
309 (%i2) fpprintprec : 6;
310 (%o2) 6
311 (%i3) M: matrix([1, 2, 3], [3.5, 0.5, 8], [-1, 2, -3], [4, 9, 7]);
312 [ 1 2 3 ]
313 [ ]
314 [ 3.5 0.5 8 ]
315 (%o3) [ ]
316 [ - 1 2 - 3 ]
317 [ ]
318 [ 4 9 7 ]
319 (%i4) dgesvd (M);
320 (%o4) [[14.4744, 6.38637, .452547], false, false]
321 (%i5) [sigma, U, VT] : dgesvd (M, true, true);
322 (%o5) [[14.4744, 6.38637, .452547],
323 [ - .256731 .00816168 .959029 - .119523 ]
324 [ ]
325 [ - .526456 .672116 - .206236 - .478091 ]
326 [ ],
327 [ .107997 - .532278 - .0708315 - 0.83666 ]
328 [ ]
329 [ - .803287 - .514659 - .180867 .239046 ]
330 [ - .374486 - .538209 - .755044 ]
331 [ ]
332 [ .130623 - .836799 0.5317 ]]
333 [ ]
334 [ - .917986 .100488 .383672 ]
335 (%i6) m : length (U);
336 (%o6) 4
337 (%i7) n : length (VT);
338 (%o7) 3
339 (%i8) Sigma:
340 genmatrix(lambda ([i, j], if i=j then sigma[i] else 0),
341 m, n);
342 [ 14.4744 0 0 ]
343 [ ]
344 [ 0 6.38637 0 ]
345 (%o8) [ ]
346 [ 0 0 .452547 ]
347 [ ]
348 [ 0 0 0 ]
349 (%i9) U . Sigma . VT - M;
350 [ 1.11022E-15 0.0 1.77636E-15 ]
351 [ ]
352 [ 1.33227E-15 1.66533E-15 0.0 ]
353 (%o9) [ ]
354 [ - 4.44089E-16 - 8.88178E-16 4.44089E-16 ]
355 [ ]
356 [ 8.88178E-16 1.77636E-15 8.88178E-16 ]
357 (%i10) transpose (U) . U;
358 [ 1.0 5.55112E-17 2.498E-16 2.77556E-17 ]
359 [ ]
360 [ 5.55112E-17 1.0 5.55112E-17 4.16334E-17 ]
361 (%o10) [ ]
362 [ 2.498E-16 5.55112E-17 1.0 - 2.08167E-16 ]
363 [ ]
364 [ 2.77556E-17 4.16334E-17 - 2.08167E-16 1.0 ]
365 (%i11) VT . transpose (VT);
366 [ 1.0 0.0 - 5.55112E-17 ]
367 [ ]
368 (%o11) [ 0.0 1.0 5.55112E-17 ]
369 [ ]
370 [ - 5.55112E-17 5.55112E-17 1.0 ]
371 @end example
374 @end deffn
376 @deffn {Función} dlange (@var{norm}, @var{A})
377 @deffnx {Función} zlange (@var{norm}, @var{A})
379 Calcula una norma o seudonorma de la matriz @var{A}.
381 @table @code
382 @item max
383 Calcula @math{max(abs(A(i, j)))}, siendo @math{i} y @math{j} números de filas
384 y columnas, respectivamente, de @var{A}.
385 Nótese que esta función no es una norma matricial.
386 @item one_norm
387 Calcula la norma @math{L[1]} de @var{A},
388 esto es, el máximo de la suma de los valores absolutos de los elementos de cada columna.
389 @item inf_norm
390 Calcula la norma @math{L[inf]} de @var{A},
391 esto es, el máximo de la suma de los valores absolutos de los elementos de cada fila.
392 @item frobenius
393 Calcula la norma de Frobenius de @var{A},
394 esto es, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los elementos de
395 la matriz.
396 @end table
397 @end deffn
400 @deffn {Función} dgemm (@var{A}, @var{B})
401 @deffnx {Función} dgemm (@var{A}, @var{B}, @var{options})
402 Calcula el producto de dos matrices y, opcionalmente, suma este producto
403 con una tercera matriz.
405 En su forma más simple, @code{dgemm(@var{A}, @var{B})} calcula el
406 producto de las matrices reales @var{A} y @var{B}.
408 En la segunda forma, @code{dgemm} calcula @math{@var{alpha} *
409 @var{A} * @var{B} + @var{beta} * @var{C}}, donde @var{A}, @var{B} y
410 @var{C} son matrices reales de dimensiones apropiadas, siendo @var{alpha}
411 y @var{beta} números reales. De forma opcional, tanto @var{A} como @var{B}
412 pueden transponerse antes de calcular su producto. Los parámetros adicionales
413 se pueden especificar en cualquier orden, siendo su sintaxis de la forma
414 @code{clave=valor}. Las claves reconocidas son:
416 @table @code
417 @item C
418 La matriz @var{C} que debe ser sumada. El valor por defecto es @code{false},
419 lo que significa que no se sumará ninguna matriz.
420 @item alpha
421 El producto de @var{A} por @var{B} se multiplicará por este vaalor. El valor
422 por defecto es 1.
423 @item beta
424 Si se da la matriz @var{C}, se multiplicará por este valor antes de ser sumada.
425 El valor por defecto es 0, lo que significa que @var{C} no se suma, incluso estando
426 presente. Por lo tanto, téngase cuidado en especificar un valor no nulo para @var{beta}.
427 @item transpose_a
428 Si toma el valor @code{true}, se utilizará la transpuesta de @var{A}, en lugar de la
429 propia matriz @var{A}, en el producto. El valor por defecto es @code{false}.
430 @item transpose_b
431 Si toma el valor @code{true}, se utilizará la transpuesta de @var{B}, en lugar de la
432 propia matriz @var{B}, en el producto. El valor por defecto es @code{false}.
433 @end table
435 @c ===beg===
436 @c load ("lapack")$
437 @c A : matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]);
438 @c B : matrix([-1,-2,-3],[-4,-5,-6],[-7,-8,-9]);
439 @c C : matrix([3,2,1],[6,5,4],[9,8,7]);
440 @c dgemm(A,B);
441 @c A . B;
442 @c dgemm(A,B,transpose_a=true);
443 @c transpose(A) . B;
444 @c dgemm(A,B,c=C,beta=1);
445 @c A . B + C;
446 @c dgemm(A,B,c=C,beta=1, alpha=-1);
447 @c -A . B + C
448 @example
449 (%i1) load ("lapack")$
450 (%i2) A : matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]);
451 [ 1 2 3 ]
452 [ ]
453 (%o2) [ 4 5 6 ]
454 [ ]
455 [ 7 8 9 ]
456 (%i3) B : matrix([-1,-2,-3],[-4,-5,-6],[-7,-8,-9]);
457 [ - 1 - 2 - 3 ]
458 [ ]
459 (%o3) [ - 4 - 5 - 6 ]
460 [ ]
461 [ - 7 - 8 - 9 ]
462 (%i4) C : matrix([3,2,1],[6,5,4],[9,8,7]);
463 [ 3 2 1 ]
464 [ ]
465 (%o4) [ 6 5 4 ]
466 [ ]
467 [ 9 8 7 ]
468 (%i5) dgemm(A,B);
469 [ - 30.0 - 36.0 - 42.0 ]
470 [ ]
471 (%o5) [ - 66.0 - 81.0 - 96.0 ]
472 [ ]
473 [ - 102.0 - 126.0 - 150.0 ]
474 (%i6) A . B;
475 [ - 30 - 36 - 42 ]
476 [ ]
477 (%o6) [ - 66 - 81 - 96 ]
478 [ ]
479 [ - 102 - 126 - 150 ]
480 (%i7) dgemm(A,B,transpose_a=true);
481 [ - 66.0 - 78.0 - 90.0 ]
482 [ ]
483 (%o7) [ - 78.0 - 93.0 - 108.0 ]
484 [ ]
485 [ - 90.0 - 108.0 - 126.0 ]
486 (%i8) transpose(A) . B;
487 [ - 66 - 78 - 90 ]
488 [ ]
489 (%o8) [ - 78 - 93 - 108 ]
490 [ ]
491 [ - 90 - 108 - 126 ]
492 (%i9) dgemm(A,B,c=C,beta=1);
493 [ - 27.0 - 34.0 - 41.0 ]
494 [ ]
495 (%o9) [ - 60.0 - 76.0 - 92.0 ]
496 [ ]
497 [ - 93.0 - 118.0 - 143.0 ]
498 (%i10) A . B + C;
499 [ - 27 - 34 - 41 ]
500 [ ]
501 (%o10) [ - 60 - 76 - 92 ]
502 [ ]
503 [ - 93 - 118 - 143 ]
504 (%i11) dgemm(A,B,c=C,beta=1, alpha=-1);
505 [ 33.0 38.0 43.0 ]
506 [ ]
507 (%o11) [ 72.0 86.0 100.0 ]
508 [ ]
509 [ 111.0 134.0 157.0 ]
510 (%i12) -A . B + C;
511 [ 33 38 43 ]
512 [ ]
513 (%o12) [ 72 86 100 ]
514 [ ]
515 [ 111 134 157 ]
517 @end example
518 @end deffn