doc/info/ru/Trigonometric.texi

   1 @c Language=Russian
   2 @c Encoding=UTF-8
   3 @c File=Trigonometric.texi
   4 @c OriginalRevision=1.20
   5 @c TranslatedBy: (c) 2007-09-22 Alexey V. Beshenov <al@beshenov.ru>
   6
   7 @menu
   8 * Тригонометрия в Maxima::
   9 * Функции и переменные для тригонометрии::
  10 @end menu
  11
  12 @node Тригонометрия в Maxima, Функции и переменные для тригонометрии, Тригонометрия, Тригонометрия
  13 @section Тригонометрия в Maxima
  14
  15 В Maxima определено много тригонометрических функций. Запрограммированны не все
  16 тригонометрические тождества, но пользователь может добавить большинство из
  17 них благодаря возможностям системы по поиску совпадений с шаблонами (подстановки).
  18 В Maxima определены следующие тригонометрические функции @code{acos}, @code{acosh}, @code{acot},
  19 @code{acoth}, @code{acsc}, @code{acsch}, @code{asec}, @code{asech}, @code{asin},
  20 @code{asinh}, @code{atan}, @code{atanh}, @code{cos},
  21 @code{cosh}, @code{cot}, @code{coth}, @code{csc}, @code{csch},
  22 @code{sec}, @code{sech}, @code{sin}, @code{sinh}, @code{tan} и
  23 @code{tanh}. Для работы с тригонометрическими функциями есть ряд особых команд, см.
  24 @code{trigexpand}, @code{trigreduce} и @code{trigsign}. Два встроенных пакета
  25 расширяют правила упрощения Maxima: @code{ntrig} и @code{atrig1}. Для подробностей
  26 запустите @code{describe(@var{command})}.
  27
  28 @opencatbox{Категории:}
  29 @category{Тригонометрические функции}
  30 @closecatbox
  31
  32 @node Функции и переменные для тригонометрии,  , Тригонометрия в Maxima, Тригонометрия
  33 @section Функции и переменные для тригонометрии
  34
  35 @defvr {Управляющая переменная} %piargs
  36 Значение по умолчанию: @code{true}
  37
  38 Если @code{%piargs} равно @code{true}, то тригонометрические функции упрощаются до
  39 алгебраических констант, если аргумент кратен
  40 @iftex
  41 @math{\pi}, @math{\pi/2}, @math{\pi/3}, @math{\pi/4} или @math{\pi/6}.
  42 @end iftex
  43 @ifnottex
  44 @math{%pi}, @math{%pi/2}, @math{%pi/3}, @math{%pi/4} или @math{%pi/6}.
  45 @end ifnottex
  46
  47 @iftex
  48 Maxima использует некоторые тождества, применимые, если @math{\pi} домножается
  49 @end iftex
  50 @ifnottex
  51 Maxima использует некоторые тождества, применимые, если @math{%pi} домножается
  52 @end ifnottex
  53 на целую переменную (символ, определенный как целое число).
  54
  55 Примеры:
  56
  57 @c ===beg===
  58 @c %piargs : false;
  59 @c [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
  60 @c [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
  61 @c %piargs : true;
  62 @c [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
  63 @c [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
  64 @c [cos (%pi/3), cos (10*%pi/3), tan (10*%pi/3), cos (sqrt(2)*%pi/3)];
  65 @c ===end===
  66 @example
  67 (%i1) %piargs : false;
  68 (%o1)                         false
  69 (%i2) [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
  70                                 %pi       %pi
  71 (%o2)            [sin(%pi), sin(---), sin(---)]
  72                                  2         3
  73 (%i3) [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
  74                       %pi       %pi       %pi
  75 (%o3)            [sin(---), sin(---), sin(---)]
  76                        4         5         6
  77 (%i4) %piargs : true;
  78 (%o4)                         true
  79 (%i5) [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
  80                                 sqrt(3)
  81 (%o5)                    [0, 1, -------]
  82                                    2
  83 (%i6) [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
  84                          1         %pi   1
  85 (%o6)                [-------, sin(---), -]
  86                       sqrt(2)       5    2
  87 (%i7) [cos (%pi/3), cos (10*%pi/3), tan (10*%pi/3), cos (sqrt(2)*%pi/3)];
  88                 1    1               sqrt(2) %pi
  89 (%o7)          [-, - -, sqrt(3), cos(-----------)]
  90                 2    2                    3
  91 @end example
  92
  93 Некоторые тождества применяются, если @code{%pi} и @code{%pi/2} домножается
  94 на целую переменную (символ, определенный как целое число):
  95
  96 @c ===beg===
  97 @c declare (n, integer, m, even);
  98 @c [sin (%pi * n), cos (%pi * m), sin (%pi/2 * m), cos (%pi/2 * m)];
  99 @c ===end===
 100 @example
 101 (%i1) declare (n, integer, m, even);
 102 (%o1)                         done
 103 (%i2) [sin (%pi * n), cos (%pi * m), sin (%pi/2 * m), cos (%pi/2 * m)];
 104                                       m/2
 105 (%o2)                  [0, 1, 0, (- 1)   ]
 106 @end example
 107
 108 @opencatbox{Категории:}
 109 @category{Тригонометрические функции}
 110 @category{Флаги и переменные упрощения}
 111 @closecatbox
 112 @end defvr
 113
 114 @defvr {Управляющая переменная} %iargs
 115 Значение по умолчанию: @code{true}
 116
 117 Если @code{%iargs} равно @code{true}, то тригонометрические функции упрощаются
 118 @iftex
 119 до гиперболических, если аргумент явно домножается на мнимую единицу @math{i}.
 120 @end iftex
 121 @ifnottex
 122 до гиперболических, если аргумент явно домножается на мнимую единицу @math{%i}.
 123 @end ifnottex
 124
 125 Упрощение производится, даже если аргумент явно является вещественным;
 126 @iftex
 127 Maxima лишь проверяет, просматривается ли явно в аргументе множитель @math{i}.
 128 @end iftex
 129 @ifnottex
 130 Maxima лишь проверяет, просматривается ли явно в аргументе множитель @math{%i}.
 131 @end ifnottex
 132
 133 Примеры:
 134
 135 @c ===beg===
 136 @c %iargs : false;
 137 @c [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)];
 138 @c %iargs : true;
 139 @c [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)];
 140 @c ===end===
 141 @example
 142 (%i1) %iargs : false;
 143 (%o1)                         false
 144 (%i2) [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)];
 145 (%o2)           [sin(%i x), cos(%i x), tan(%i x)]
 146 (%i3) %iargs : true;
 147 (%o3)                         true
 148 (%i4) [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)];
 149 (%o4)           [%i sinh(x), cosh(x), %i tanh(x)]
 150 @end example
 151
 152 Упрощение проводится, даже если аргумент явно является вещественным:
 153
 154 @c ===beg===
 155 @c declare (x, imaginary);
 156 @c [featurep (x, imaginary), featurep (x, real)];
 157 @c sin (%i * x);
 158 @c ===end===
 159 @example
 160 (%i1) declare (x, imaginary);
 161 (%o1)                         done
 162 (%i2) [featurep (x, imaginary), featurep (x, real)];
 163 (%o2)                     [true, false]
 164 (%i3) sin (%i * x);
 165 (%o3)                      %i sinh(x)
 166 @end example
 167
 168 @opencatbox{Категории:}
 169 @category{Тригонометрические функции}
 170 @category{Гиперболические функции}
 171 @category{Флаги и переменные упрощения}
 172 @closecatbox
 173 @end defvr
 174
 175 @deffn {Функция} acos (@var{x})
 176  - Арккосинус.
 177
 178 @opencatbox{Категории:}
 179 @category{Тригонометрические функции}
 180 @closecatbox
 181 @end deffn
 182
 183 @deffn {Функция} acosh (@var{x})
 184  - Ареакосинус (гиперболический арккосинус).
 185
 186 @opencatbox{Категории:}
 187 @category{Гиперболические функции}
 188 @closecatbox
 189 @end deffn
 190
 191 @deffn {Функция} acot (@var{x})
 192  - Арккотангенс.
 193
 194 @opencatbox{Категории:}
 195 @category{Тригонометрические функции}
 196 @closecatbox
 197 @end deffn
 198
 199 @deffn {Функция} acoth (@var{x})
 200  - Ареакотангенс (гиперболический арккотангенс).
 201
 202 @opencatbox{Категории:}
 203 @category{Гиперболические функции}
 204 @closecatbox
 205 @end deffn
 206
 207 @deffn {Функция} acsc (@var{x})
 208  - Арккосеканс.
 209
 210 @opencatbox{Категории:}
 211 @category{Тригонометрические функции}
 212 @closecatbox
 213 @end deffn
 214
 215 @deffn {Функция} acsch (@var{x})
 216  - Ареакосеканс (гиперболический арккосеканс).
 217
 218 @opencatbox{Категории:}
 219 @category{Гиперболические функции}
 220 @closecatbox
 221 @end deffn
 222
 223 @deffn {Функция} asec (@var{x})
 224  - Арксеканс.
 225
 226 @opencatbox{Категории:}
 227 @category{Тригонометрические функции}
 228 @closecatbox
 229 @end deffn
 230
 231 @deffn {Функция} asech (@var{x})
 232  - Ареасеканс (гиперболический арксеканс).
 233
 234 @opencatbox{Категории:}
 235 @category{Гиперболические функции}
 236 @closecatbox
 237 @end deffn
 238
 239 @deffn {Функция} asin (@var{x})
 240  - Арксинус.
 241
 242 @opencatbox{Категории:}
 243 @category{Тригонометрические функции}
 244 @closecatbox
 245 @end deffn
 246
 247 @deffn {Функция} asinh (@var{x})
 248  - Ареасинус (гиперболический арксинус).
 249
 250 @opencatbox{Категории:}
 251 @category{Гиперболические функции}
 252 @closecatbox
 253 @end deffn
 254
 255 @deffn {Функция} atan (@var{x})
 256  - Арктангенс.
 257
 258 @opencatbox{Категории:}
 259 @category{Тригонометрические функции}
 260 @closecatbox
 261 @end deffn
 262
 263 @deffn {Функция} atan2 (@var{y}, @var{x})
 264  - соответствует значению @code{atan(@var{y}/@var{x})} на интервале
 265 (@code{-%pi}, @code{%pi}).
 266
 267 @opencatbox{Категории:}
 268 @category{Тригонометрические функции}
 269 @closecatbox
 270 @end deffn
 271
 272 @deffn {Функция} atanh (@var{x})
 273  - Ареатангенс (гиперболический арктангенс).
 274
 275 @opencatbox{Категории:}
 276 @category{Гиперболические функции}
 277 @closecatbox
 278 @end deffn
 279
 280 @c IS THIS DESCRIPTION ACCURATE ??
 281 @c LET'S BE EXPLICIT ABOUT EXACTLY WHAT ARE THE RULES IMPLEMENTED BY THIS PACKAGE
 282 @defvr {Пакет} atrig1
 283 Пакет @code{atrig1} содержит несколько дополнительных правил упрощения
 284 для обратных тригонометрических функций. Вместе с уже известными Maxima правилами,
 285 полностью реализована работа с углами @code{0}, @code{%pi/6}, @code{%pi/4},
 286 @code{%pi/3} и @code{%pi/2}, а также соответствующими углами в трех других четвертях.
 287 Для использования пакета выполните @code{load("atrig1");}.
 288
 289 @opencatbox{Категории:}
 290 @category{Тригонометрические функции}
 291 @category{Пакет atrig1}
 292 @closecatbox
 293 @end defvr
 294
 295 @deffn {Функция} cos (@var{x})
 296  - Косинус.
 297
 298 @opencatbox{Категории:}
 299 @category{Тригонометрические функции}
 300 @closecatbox
 301 @end deffn
 302
 303 @deffn {Функция} cosh (@var{x})
 304  - Ареакосинус (гиперболический арккосинус).
 305
 306 @opencatbox{Категории:}
 307 @category{Гиперболические функции}
 308 @closecatbox
 309 @end deffn
 310
 311 @deffn {Функция} cot (@var{x})
 312  - Котангенс.
 313
 314 @opencatbox{Категории:}
 315 @category{Тригонометрические функции}
 316 @closecatbox
 317 @end deffn
 318
 319 @deffn {Функция} coth (@var{x})
 320  - Ареакотангенс (гиперболический арккотангенс).
 321
 322 @opencatbox{Категории:}
 323 @category{Гиперболические функции}
 324 @closecatbox
 325 @end deffn
 326
 327 @deffn {Функция} csc (@var{x})
 328  - Косеканс.
 329
 330 @opencatbox{Категории:}
 331 @category{Тригонометрические функции}
 332 @closecatbox
 333 @end deffn
 334
 335 @deffn {Функция} csch (@var{x})
 336  - Ареакосеканс (гиперболический арккосеканс).
 337
 338 @opencatbox{Категории:}
 339 @category{Гиперболические функции}
 340 @closecatbox
 341 @end deffn
 342
 343 @defvr {Управляющая переменная} halfangles
 344 Значение по умолчанию: @code{false}
 345
 346 Если @code{halfangles} равно @code{true}, то тригонометрические функции
 347 аргументов @code{@var{expr}/2} упрощаются в функции от @var{expr}.
 348
 349 Примеры:
 350
 351 @c ===beg===
 352 @c halfangles : false;
 353 @c sin (x / 2);
 354 @c halfangles : true;
 355 @c sin (x / 2);
 356 @c ===end===
 357 @example
 358 (%i1) halfangles : false;
 359 (%o1)                         false
 360 (%i2) sin (x / 2);
 361                                  x
 362 (%o2)                        sin(-)
 363                                  2
 364 (%i3) halfangles : true;
 365 (%o3)                         true
 366 (%i4) sin (x / 2);
 367                         sqrt(1 - cos(x))
 368 (%o4)                   ----------------
 369                             sqrt(2)
 370 @end example
 371
 372 @opencatbox{Категории:}
 373 @category{Тригонометрические функции}
 374 @category{Флаги и переменные упрощения}
 375 @closecatbox
 376 @end defvr
 377
 378 @c IS THIS DESCRIPTION ACCURATE ??
 379 @c LET'S BE EXPLICIT ABOUT EXACTLY WHAT ARE THE RULES IMPLEMENTED BY THIS PACKAGE
 380 @defvr {Пакет} ntrig
 381 Пакет @code{ntrig} содержит набор правил упрощения для тригонометрических
 382 функций с аргументами вида @code{@var{f}(@var{n} %pi/10)}, где @var{f} - одна из
 383 функций @code{sin}, @code{cos}, @code{tan}, @code{csc}, @code{sec} и @code{cot}.
 384 @c NEED TO LOAD THIS PACKAGE ??
 385
 386 @opencatbox{Категории:}
 387 @category{Тригонометрические функции}
 388 @category{Пакет ntrig}
 389 @closecatbox
 390 @end defvr
 391
 392 @deffn {Функция} sec (@var{x})
 393  - Секанс.
 394
 395 @opencatbox{Категории:}
 396 @category{Тригонометрические функции}
 397 @closecatbox
 398 @end deffn
 399
 400 @deffn {Функция} sech (@var{x})
 401  - Гиперболический секанс.
 402
 403 @opencatbox{Категории:}
 404 @category{Гиперболические функции}
 405 @closecatbox
 406 @end deffn
 407
 408 @deffn {Функция} sin (@var{x})
 409  - Синус.
 410
 411 @opencatbox{Категории:}
 412 @category{Тригонометрические функции}
 413 @closecatbox
 414 @end deffn
 415
 416 @deffn {Функция} sinh (@var{x})
 417  - Гиперболический синус.
 418
 419 @opencatbox{Категории:}
 420 @category{Гиперболические функции}
 421 @closecatbox
 422 @end deffn
 423
 424 @deffn {Функция} tan (@var{x})
 425  - Тангенс.
 426
 427 @opencatbox{Категории:}
 428 @category{Тригонометрические функции}
 429 @closecatbox
 430 @end deffn
 431
 432 @deffn {Функция} tanh (@var{x})
 433  - Гиперболический тангенс.
 434
 435 @opencatbox{Категории:}
 436 @category{Гиперболические функции}
 437 @closecatbox
 438 @end deffn
 439
 440 @c NEEDS CLARIFICATION AND EXAMPLES
 441 @deffn {Функция} trigexpand (@var{expr})
 442 Раскрывает тригонометрические и гиперболические функции суммы или произведения углов в
 443 @var{expr}. Для получения лучших результатов нужно сначала раскрыть @var{expr}. Для
 444 повышения пользовательского контроля за упрощением функция раскрывает только один
 445 уровень сумм/произведений за раз. Для полного раскрытия в синусы и косинусы укажите
 446 @code{trigexpand: true}.
 447
 448 @code{trigexpand} управляется следующими глобальными флагами:
 449
 450 @table @code
 451 @item trigexpand
 452 Раскрывать все получающиеся в последствии выражения с синусами и косинусами.
 453 @item halfangles
 454 Раскрывать функции половинных углов в функции полных углов.
 455 @item trigexpandplus
 456 Раскрывать функции сумм аргументов (например, @code{sin(x + y)}).
 457 @item trigexpandtimes
 458 Раскрывать функции кратных аргументов (например, @code{sin(2 x)}).
 459 @end table
 460
 461 Примеры:
 462
 463 @c ===beg===
 464 @c x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
 465 @c trigexpand(sin(10*x+y));
 466 @c ===end===
 467 @example
 468 (%i1) x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
 469                          2           2
 470 (%o1)               - sin (x) + 3 cos (x) + x
 471 (%i2) trigexpand(sin(10*x+y));
 472 (%o2)          cos(10 x) sin(y) + sin(10 x) cos(y)
 473
 474 @end example
 475
 476 @opencatbox{Категории:}
 477 @category{Тригонометрические функции}
 478 @category{Функции упрощения}
 479 @closecatbox
 480 @end deffn
 481
 482 @defvr {Управляющая переменная} trigexpandplus
 483 Значение по умолчанию: @code{true}
 484
 485 @code{trigexpandplus} управляет раскрытием функций от сумм аргументов в @code{trigexpand}
 486 (если @code{trigexpand} равно @code{true}, либо в функции @code{trigexpand}), например,
 487 @code{sin(x+y)}. Упрощение производится, только если @code{trigexpandplus} равно @code{true}.
 488
 489 @opencatbox{Категории:}
 490 @category{Тригонометрические функции}
 491 @category{Флаги и переменные упрощения}
 492 @closecatbox
 493 @end defvr
 494
 495 @defvr {Управляющая переменная} trigexpandtimes
 496 Значение по умолчанию: @code{true}
 497
 498 @code{trigexpandplus} управляет раскрытием функций от произведений аргументов в
 499 @code{trigexpand} (если @code{trigexpand} равно @code{true}, либо в функции @code{trigexpand}),
 500 например, @code{sin(2*x)}. Упрощение производится, только если @code{trigexpandtimes} равно
 501 @code{true}.
 502
 503 @opencatbox{Категории:}
 504 @category{Тригонометрические функции}
 505 @category{Флаги и переменные упрощения}
 506 @closecatbox
 507 @end defvr
 508
 509 @defvr {Управляющая переменная} triginverses
 510 Значение по умолчанию: @code{all}
 511
 512 @code{triginverses} управляет раскрытием композиций тригонометрических и гиперболических
 513 функций со своими обратными функциями.
 514
 515 Если @code{all}, то и @code{atan(tan(@var{x}))}, и @code{tan(atan(@var{x}))}
 516 упрощается в @var{x}.
 517
 518 Если @code{true}, то упрощение @code{@var{arcfun}(@var{fun}(@var{x}))} не производится.
 519
 520 Если @code{false}, то ни @code{@var{arcfun}(@var{fun}(@var{x}))}, ни
 521 @code{@var{fun}(@var{arcfun}(@var{x}))} не будет упрощено.
 522
 523 @opencatbox{Категории:}
 524 @category{Тригонометрические функции}
 525 @category{Флаги и переменные упрощения}
 526 @closecatbox
 527 @end defvr
 528
 529 @deffn {Функция} trigreduce (@var{expr}, @var{x})
 530 @deffnx {Функция} trigreduce (@var{expr})
 531
 532 Раскрывает произведения и степени @code{sin}, @code{cos}, @code{sinh}, @code{cosh} в
 533 функции кратных аргументов @var{x}. Также производится попытка исключить такие функции из
 534 знаменателей. Если @var{x} не указано, будут использоваться все переменные из @var{expr}.
 535
 536 См. также @code{poissimp}.
 537
 538 @c ===beg===
 539 @c trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
 540 @c ===end===
 541 @example
 542 (%i1) trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
 543                cos(2 x)      cos(2 x)   1        1
 544 (%o1)          -------- + 3 (-------- + -) + x - -
 545                   2             2       2        2
 546
 547 @end example
 548
 549 В некоторых простых случаях команды упрощения используют информацию о переменных,
 550 объявленную следующим образом:
 551
 552 @c ===beg===
 553 @c declare(j, integer, e, even, o, odd)$
 554 @c sin(x + (e + 1/2)*%pi);
 555 @c sin(x + (o + 1/2)*%pi);
 556 @c ===end===
 557 @example
 558 (%i1) declare(j, integer, e, even, o, odd)$
 559 (%i2) sin(x + (e + 1/2)*%pi);
 560 (%o2)                        cos(x)
 561 (%i3) sin(x + (o + 1/2)*%pi);
 562 (%o3)                       - cos(x)
 563
 564 @end example
 565
 566 @opencatbox{Категории:}
 567 @category{Тригонометрические функции}
 568 @category{Функции упрощения}
 569 @closecatbox
 570 @end deffn
 571
 572 @defvr {Управляющая переменная} trigsign
 573 Значение по умолчанию: @code{true}
 574
 575 Если @code{trigsign} равно @code{true}, допускается упрощение отрицательных аргументов
 576 тригонометрических функций. Например, @code{sin(-x)} раскроется в @code{-sin(x)}.
 577
 578 @opencatbox{Категории:}
 579 @category{Тригонометрические функции}
 580 @category{Флаги и переменные упрощения}
 581 @closecatbox
 582 @end defvr
 583
 584 @deffn {Функция} trigsimp (@var{expr})
 585 Применяет тождества @math{sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1} и @math{cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1}
 586 для упрощения выражений с @code{tan}, @code{sec}, и так далее, до выражений с @code{sin},
 587 @code{cos}, @code{sinh}, @code{cosh}.
 588
 589 Результат может упрощаться далее с @code{trigreduce}, @code{ratsimp}, и @code{radcan}.
 590
 591 @code{demo ("trgsmp.dem")} показывает несколько примеров для @code{trigsimp}.
 592 @c MERGE EXAMPLES INTO THIS ITEM
 593
 594 @opencatbox{Категории:}
 595 @category{Тригонометрические функции}
 596 @category{Функции упрощения}
 597 @closecatbox
 598 @end deffn
 599
 600 @c NEEDS CLARIFICATION
 601 @deffn {Функция} trigrat (@var{expr})
 602 Возвращает канонический упрощенный квазилинейный вид тригонометрического выражения;
 603 @var{expr} - рациональная дробь с функциями @code{sin}, @code{cos} или @code{tan},
 604 аргументы которых - линейные формы некоторых переменных и @code{%pi/@var{n}}
 605 (@var{n} - целое) с целыми коэффициентами. Результат - упрощенная дробь с линейным
 606 числителем и знаменателем с @code{sin} и @code{cos}. Таким образом, @code{trigrat}
 607 переходит к линейному виду, только если это возможно.
 608
 609 @c ===beg===
 610 @c trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
 611 @c ===end===
 612 @example
 613 (%i1) trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
 614 (%o1)            sqrt(3) sin(2 a) + cos(2 a) - 1
 615
 616 @end example
 617
 618 Следующий пример взят из раздела 1.5.5, "Теорема Морлея", книги Davenport, Siret,
 619 Tournier, @i{Calcul Formel}, изд-во Masson (английский перевод - Addison-Wesley).
 620
 621 @c ===beg===
 622 @c c: %pi/3 - a - b;
 623 @c bc: sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
 624 @c ba: bc, c=a, a=c$
 625 @c ac2: ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
 626 @c trigrat (ac2);
 627 @c ===end===
 628 @example
 629 (%i1) c: %pi/3 - a - b;
 630                                     %pi
 631 (%o1)                     - b - a + ---
 632                                      3
 633 (%i2) bc: sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
 634                       sin(a) sin(3 b + 3 a)
 635 (%o2)                 ---------------------
 636                            sin(b + a)
 637 (%i3) ba: bc, c=a, a=c$
 638 (%i4) ac2: ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
 639          2       2
 640       sin (a) sin (3 b + 3 a)
 641 (%o4) -----------------------
 642                2
 643             sin (b + a)
 644
 645                                         %pi
 646    2 sin(a) sin(3 a) cos(b) sin(b + a - ---) sin(3 b + 3 a)
 647                                          3
 648  - --------------------------------------------------------
 649                            %pi
 650                    sin(a - ---) sin(b + a)
 651                             3
 652
 653       2         2         %pi
 654    sin (3 a) sin (b + a - ---)
 655                            3
 656  + ---------------------------
 657              2     %pi
 658           sin (a - ---)
 659                     3
 660 (%i5) trigrat (ac2);
 661 (%o5) - (sqrt(3) sin(4 b + 4 a) - cos(4 b + 4 a)
 662
 663  - 2 sqrt(3) sin(4 b + 2 a) + 2 cos(4 b + 2 a)
 664
 665  - 2 sqrt(3) sin(2 b + 4 a) + 2 cos(2 b + 4 a)
 666
 667  + 4 sqrt(3) sin(2 b + 2 a) - 8 cos(2 b + 2 a) - 4 cos(2 b - 2 a)
 668
 669  + sqrt(3) sin(4 b) - cos(4 b) - 2 sqrt(3) sin(2 b) + 10 cos(2 b)
 670
 671  + sqrt(3) sin(4 a) - cos(4 a) - 2 sqrt(3) sin(2 a) + 10 cos(2 a)
 672
 673  - 9)/4
 674
 675 @end example
 676
 677 @opencatbox{Категории:}
 678 @category{Тригонометрические функции}
 679 @category{Функции упрощения}
 680 @closecatbox
 681 @end deffn
 682