notes/ewald-calculations-apr1.lyx

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  30 \pdf_title "Sähköpajan päiväkirja"
  31 \pdf_author "Marek Nečada"
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  97 \end_inset
  98
  99
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 101 \newcommand{\usht}[2]{\mathbb{S}_{#1}#2}
 102 \end_inset
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 107 \end_inset
 108
 109
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 112 \end_inset
 113
 114
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 121 \newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
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 131 \newcommand{\dc}[1]{Ш_{#1}}
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 136 \newcommand{\rec}[1]{#1^{-1}}
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 139
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 141 \newcommand{\recb}[1]{#1^{\widehat{-1}}}
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 146 \newcommand{\ints}{\mathbb{Z}}
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 148
 149
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 151 \newcommand{\nats}{\mathbb{N}}
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 153
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 156 \newcommand{\reals}{\mathbb{R}}
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 158
 159
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 161 \newcommand{\ush}[2]{Y_{#1,#2}}
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 163
 164
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 166 \newcommand{\hgfr}{\mathbf{F}}
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 168
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 171 \newcommand{\ph}{\mathrm{ph}}
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 174
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 176 \newcommand{\kor}[1]{\underline{#1}}
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 179
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 181 \newcommand{\koru}[1]{\overline{#1}}
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 184
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 186 \newcommand{\hgf}{F}
 187 \end_inset
 188
 189 Let
 190 \end_layout
 191
 192 \begin_layout Paragraph
 193
 194 \lang english
 195 Large k
 196 \end_layout
 197
 198 \begin_layout Standard
 199
 200 \lang english
 201 \begin_inset Formula
 202 \begin{eqnarray*}
 203 \mbox{OK}\pht n{s_{q,k_{0}}^{\textup{L}\kappa,c}}\left(k\right) & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k^{n}\text{Γ}\left(2-q+n\right)}{2^{n}k_{0}^{q}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2-q+n}}\hgfr\left(\frac{2-q+n}{2},\frac{3-q+n}{2};1+n;\frac{-k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)\\
 204 \mbox{OK(D15.8.2)} & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k^{n}\text{Γ}\left(2-q+n\right)}{2^{n}k_{0}^{q}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2-q+n}}(\\
 205  &  & \pi\frac{\left(\frac{k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)^{-\frac{2-q+n}{2}}}{Γ\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(1+n-\frac{2-q+n}{2}\right)}\hgfr\left(\begin{array}{c}
 206 \frac{2-q+n}{2},\frac{2-q+n}{2}-\left(1+n\right)+1\\
 207 1/2
 208 \end{array};-\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}{k^{2}}\right)\\
 209  & - & \pi\frac{\left(\frac{k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)^{-\frac{3-q+n}{2}}}{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(1+n-\frac{3-q+n}{2}\right)}\hgfr\left(\begin{array}{c}
 210 \frac{3-q+n}{2},\frac{3-q+n}{2}-\left(1+n\right)+1\\
 211 3/2
 212 \end{array};-\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}{k^{2}}\right))\\
 213 \mbox{OK20} & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k^{n}\text{Γ}\left(2-q+n\right)}{2^{n}k_{0}^{q}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2-q+n}}\pi(\\
 214  &  & \frac{\left(\frac{k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)^{-\frac{2-q+n}{2}}}{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)}\hgfr\left(\begin{array}{c}
 215 \frac{2-q+n}{2},\frac{2-q-n}{2}\\
 216 1/2
 217 \end{array};-\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}{k^{2}}\right)\\
 218  & - & \frac{\left(\frac{k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)^{-\frac{3-q+n}{2}}}{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)}\hgfr\left(\begin{array}{c}
 219 \frac{3-q+n}{2},\frac{3-q-n}{2}\\
 220 3/2
 221 \end{array};-\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}{k^{2}}\right))\\
 222 \mbox{(D15.2.2)OK3a,b} & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k^{n}\text{Γ}\left(2-q+n\right)}{2^{n}k_{0}^{q}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2-q+n}}\pi\sum_{s=0}^{\infty}(\\
 223  &  & \frac{\left(\frac{k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)^{-\frac{2-q+n}{2}}}{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)}\frac{\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}\left(-\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}{k^{2}}\right)^{s}\\
 224  & - & \frac{\left(\frac{k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)^{-\frac{3-q+n}{2}}}{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)}\frac{\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\left(-\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}{k^{2}}\right)^{s})\\
 225 \mbox{OK4a} & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{\kor{k^{n}}\text{Γ}\left(2-q+n\right)}{2^{n}k_{0}^{q}\kor{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2-q+n}}}\pi\sum_{s=0}^{\infty}\left(-1\right)^{s}(\\
 226  &  & \frac{\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}k^{-2+q\kor{-n}-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{\kor{2-q+n}+2s}\\
 227  & - & \frac{\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}k^{-3+q\kor{-n}-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{\kor{3-q+n}+2s})\\
 228 \mbox{OK4b} & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{\text{Γ}\left(2-q+n\right)}{2^{n}k_{0}^{q}}\pi\sum_{s=0}^{\infty}\left(-1\right)^{s}(\\
 229  &  & \frac{\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}\kor{k^{-2+q-2s}}\kor{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}}\\
 230  & - & \frac{\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\kor{k^{-3+q-2s}}\kor{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{1+2s}})\\
 231 \mbox{OK4c} & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{\text{Γ}\left(2-q+n\right)}{2^{n}k_{0}^{q}}\pi\sum_{s=\kor 0}^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2+q-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\\
 232  &  & \times\left(\frac{\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}-\frac{\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)\\
 233 \mbox{OK4d} & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{\text{Γ}\left(2-q+n\right)}{2^{n}k_{0}^{q}}\pi\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2+q-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(\frac{\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}-\frac{\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)
 234 \end{eqnarray*}
 235
 236 \end_inset
 237
 238 the fact that the partial sum
 239 \begin_inset Formula $\sum_{s=0}^{\left\lceil \kappa/2\right\rceil -1}\ldots$
 240 \end_inset
 241
 242  is zero is shown in the old messy notes (or TODO later here)
 243 \end_layout
 244
 245 \begin_layout Standard
 246
 247 \lang english
 248 Using DLMF 5.5.5, which says
 249 \begin_inset Formula $Γ(2z)=\pi^{-1/2}2^{2z-1}\text{Γ}(z)\text{Γ}(z+\frac{1}{2})$
 250 \end_inset
 251
 252  we have
 253 \begin_inset Formula
 254 \[
 255 \text{Γ}\left(2-q+n\right)=\frac{2^{1-q+n}}{\sqrt{\pi}}\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right),
 256 \]
 257
 258 \end_inset
 259
 260 so
 261 \begin_inset Formula
 262 \begin{eqnarray*}
 263 \pht n{s_{q,k_{0}}^{\textup{L}\kappa,c}}\left(k\right) & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{\kor{\text{Γ}\left(2-q+n\right)}}{\kor{2^{n}}k_{0}^{q}}\kor{\pi}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2+q-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(\frac{\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\kor{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)}\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}-\frac{\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\kor{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)}\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)\\
 264  & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{\koru{2^{1-q}}}{k_{0}^{q}}\koru{\sqrt{\pi}}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2+q-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(\frac{\kor{\koru{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}-\frac{\kor{\koru{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)\\
 265  & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{1-q}}{k_{0}^{q}}\sqrt{\pi}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2+q-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(\frac{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}-\frac{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)
 266 \end{eqnarray*}
 267
 268 \end_inset
 269
 270 Assuming that
 271 \begin_inset Formula $\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil $
 272 \end_inset
 273
 274  is large enough so that all the divergent terms are cancelled, either the
 275  left or the right part will become finite sums due to the
 276 \begin_inset Quotes sld
 277 \end_inset
 278
 279 extra
 280 \begin_inset Quotes srd
 281 \end_inset
 282
 283  Pochhammer
 284 \begin_inset Formula $\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}$
 285 \end_inset
 286
 287  or
 288 \begin_inset Formula $\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}$
 289 \end_inset
 290
 291 .
 292 \end_layout
 293
 294 \begin_layout Standard
 295
 296 \lang english
 297 According to Mathematica, the right sum with
 298 \begin_inset Formula $s$
 299 \end_inset
 300
 301  going from 0
 302 \begin_inset Formula
 303 \begin{equation}
 304 \frac{2^{1-q}}{k_{0}^{q}}\sqrt{\pi}\sum_{s=0}^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2+q-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(-\frac{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)\label{eq:right sum}
 305 \end{equation}
 306
 307 \end_inset
 308
 309 can be written as (mathematica output)
 310 \begin_inset Note Note
 311 status collapsed
 312
 313 \begin_layout Plain Layout
 314
 315 \lang english
 316 (2^(2 - q)*k^(-3 + q)*((-I)*k0 + c*sig)*Gamma[(3 + n - q)/2]*Hypergeometric2F1[3
 317 /2 - n/2 - q/2, 3/2 + n/2 - q/2, 3/2, (k0 + I*c*sig)^2/k^2])/(k0^q*Gamma[(-1
 318  + n + q)/2])
 319 \end_layout
 320
 321 \end_inset
 322
 323
 324 \begin_inset Formula
 325 \[
 326 \frac{2^{2-q}k^{-3+q}\left(-ik_{0}+c\sigma\right)\text{Γ}\left(\frac{3+n-q}{2}\right)\hgf\left(\begin{array}{c}
 327 \frac{3-n-q}{2},\frac{3+n-q}{2}\\
 328 3/2
 329 \end{array};-\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}{k^{2}}\right)}{k_{0}^{q;}\Gamma\left(\frac{-1+n+q}{2}\right)}
 330 \]
 331
 332 \end_inset
 333
 334
 335 \end_layout
 336
 337 \begin_layout Standard
 338
 339 \lang english
 340 Similarly, the left sum
 341 \begin_inset Formula
 342 \begin{equation}
 343 \frac{2^{1-q}}{k_{0}^{q}}\sqrt{\pi}\sum_{s=0}^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2+q-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(\frac{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}\right)\label{eq:left sum}
 344 \end{equation}
 345
 346 \end_inset
 347
 348 gives (mathematica output)
 349 \begin_inset Note Note
 350 status collapsed
 351
 352 \begin_layout Plain Layout
 353
 354 \lang english
 355 (2^(1 - q)*k^(-2 + q)*Gamma[(2 + n - q)/2]*Hypergeometric2F1[1 - n/2 - q/2,
 356  1 + n/2 - q/2, 1/2, (k0 + I*c*sig)^2/k^2])/(k0^q*Gamma[(n + q)/2])
 357 \end_layout
 358
 359 \end_inset
 360
 361  and is equal to
 362 \begin_inset Formula
 363 \[
 364 \frac{2^{1-q}k^{-2+q}\Gamma\left(\frac{2+n-q}{2}\right)\hgf\left(\begin{array}{c}
 365 \frac{2-n-q}{2},\frac{2+n-q}{2}\\
 366 1/2
 367 \end{array};-\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}{k^{2}}\right)}{k_{0}^{q;}\Gamma\left(\frac{n+q}{2}\right)}
 368 \]
 369
 370 \end_inset
 371
 372 .
 373 \end_layout
 374
 375 \begin_layout Subparagraph
 376
 377 \lang english
 378 Special case
 379 \begin_inset Formula $q=2,n=0$
 380 \end_inset
 381
 382
 383 \end_layout
 384
 385 \begin_layout Standard
 386
 387 \lang english
 388 If
 389 \begin_inset Formula $\kappa\ge2$
 390 \end_inset
 391
 392 , the left part will drop and
 393 \begin_inset Formula
 394 \begin{eqnarray*}
 395 \mbox{OKSq2n0b}\pht n{s_{q,k_{0}}^{\textup{L}\kappa,c}}\left(k\right) & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{-1}}{k_{0}^{2}}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(-\frac{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)}{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}\right)\kor{\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)}s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)\\
 396  & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{-1}}{k_{0}^{2}}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(-\frac{\kor{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)}\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)}{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}\right)\koru{\kor{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)}\left(\frac{1}{2}+s\right)}s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)\\
 397  & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{-1}}{k_{0}^{2}}\sum_{s=\kor{\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }}^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(-\frac{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)}{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)\\
 398 \mbox{(explain!)} & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{-1}}{k_{0}^{2}}\sum_{s=\koru 0}^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(-\frac{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)}{\kor{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}\right)}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)\\
 399  & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{-1}}{k_{0}^{2}\sqrt{\pi}}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\kor{\sum_{s=0}^{\infty}\left(-1\right)^{s}\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)^{2s}\frac{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)}{\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}}\\
 400  & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{-1}}{k_{0}^{2}\sqrt{\pi}}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\frac{2\sqrt{\pi}\sinh^{-1}\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)}{\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}}\\
 401 \mbox{OKSq2n0f} & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{1}{k_{0}^{2}}\sinh^{-1}\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)
 402 \end{eqnarray*}
 403
 404 \end_inset
 405
 406 where we used (TODO ref)
 407 \begin_inset Formula
 408 \[
 409 \sum_{s=0}^{\infty}\frac{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)}{\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}\left(-x\right)^{s}=\frac{2\sqrt{\pi}\sinh^{-1}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}
 410 \]
 411
 412 \end_inset
 413
 414 The final result has asymptotic behaviour of ...
 415  for
 416 \begin_inset Formula $k\to\infty$
 417 \end_inset
 418
 419 .
 420 \end_layout
 421
 422 \begin_layout Subparagraph
 423 Special case
 424 \begin_inset Formula $q=3,n=1$
 425 \end_inset
 426
 427
 428 \end_layout
 429
 430 \begin_layout Standard
 431 \begin_inset Formula
 432 \begin{eqnarray*}
 433 \pht n{s_{q,k_{0}}^{\textup{L}\kappa,c}}\left(k\right) & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{1-q}}{k_{0}^{q}}\sqrt{\pi}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2+q-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(\frac{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}-\frac{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)\\
 434  & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{-2}}{k_{0}^{3}}\sqrt{\pi}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{1-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\left(\frac{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{2-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)s!}-\frac{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\right)
 435 \end{eqnarray*}
 436
 437 \end_inset
 438
 439 Let's hope that the left term (sum) in the big round brackets is zero for
 440
 441 \begin_inset Formula $\kappa\ge3$
 442 \end_inset
 443
 444  (verified numerically, see file xxx; and BTW numerics show that it is zero
 445  also when
 446 \begin_inset Formula $k<k_{0}$
 447 \end_inset
 448
 449  and
 450 \begin_inset Formula $\kappa\ge3$
 451 \end_inset
 452
 453 ), and therefore
 454 \begin_inset Formula
 455 \begin{eqnarray*}
 456 \pht n{s_{q,k_{0}}^{\textup{L}\kappa,c}}\left(k\right) & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{1-q}}{k_{0}^{q}}\sqrt{\pi}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2+q-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\frac{\kor{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\\
 457  & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{1-q}}{k_{0}^{q}}\sqrt{\pi}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}k^{-2+q-2s}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\frac{\koru{\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}+s\right)}\left(\frac{3-q-n}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{q+n-1}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\\
 458 \pht 1{s_{3,k_{0}}^{\textup{L}\kappa>3,c}}\left(k\right) & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{-2}}{k_{0}^{3}}\sqrt{\pi}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}\kor{k^{1-2s}}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2s}\frac{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)\left(-\frac{1}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{3}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}\\
 459  & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{2^{-2}\koru k}{k_{0}^{3}}\sqrt{\pi}\sum_{s=\left\lceil \frac{\kappa}{2}\right\rceil }^{\infty}\left(-1\right)^{s}\koru{\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)^{2s}}\frac{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)\left(-\frac{1}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{3}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}\frac{\left(\sigma c-ik_{0}\right)}{k}
 460 \end{eqnarray*}
 461
 462 \end_inset
 463
 464 and Mathematica tells us that
 465 \begin_inset Formula
 466 \begin{eqnarray*}
 467 \sum_{s=0}^{\infty}\frac{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)\left(-\frac{1}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{3}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}x^{s} & = & 2\frac{\sqrt{x\left(1-x\right)}\sin^{-1}\sqrt{x}}{\sqrt{\pi}\sqrt{x}}\\
 468 \sum_{s=0}^{\infty}\frac{\text{Γ}\left(\frac{1}{2}+s\right)\left(-\frac{1}{2}\right)_{s}}{\text{Γ}\left(\frac{3}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3}{2}+s\right)s!}(-1)^{s}y^{2s} & = & 2\frac{y\sqrt{1+y^{2}}+\sinh^{-1}y}{\sqrt{\pi}y}
 469 \end{eqnarray*}
 470
 471 \end_inset
 472
 473 so
 474 \begin_inset Formula
 475 \begin{eqnarray*}
 476 \pht 1{s_{3,k_{0}}^{\textup{L}\kappa>3,c}}\left(k\right) & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{\kor{2^{-2}}k}{k_{0}^{3}}\kor{\sqrt{\pi}\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)}\kor 2\frac{\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)\sqrt{1+\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)^{2}}+\sinh^{-1}\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)}{\kor{\sqrt{\pi}\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)}}\\
 477 (Hq3n1) & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k}{2k_{0}^{3}}\left(\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)\sqrt{1+\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)^{2}}+\sinh^{-1}\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)\right)
 478 \end{eqnarray*}
 479
 480 \end_inset
 481
 482
 483 \series bold
 484 což je prej blbě (zjisti proč – blbě opsáno nebo nesprávná větev logaritmu?);
 485 \series default
 486  správný výsledek je (mathematica kód:
 487 \begin_inset Note Note
 488 status collapsed
 489
 490 \begin_layout Plain Layout
 491 - Sum[(-1)^sig Binomial[kap, sig] (((-I)*k0 + c*sig)*(k0*Sqrt[1 - (k0 +
 492  I*c*sig)^2/k^2] + I*c*sig*Sqrt[1 - (k0 + I*c*sig)^2/k^2] + k*ArcSin[(k0
 493  + I*c*sig)/k]))/(2*k0^3*(k0 + I*c*sig)) , {sig, 0, kap}]
 494 \end_layout
 495
 496 \end_inset
 497
 498  nebo FullSimplify
 499 \begin_inset Note Note
 500 status collapsed
 501
 502 \begin_layout Plain Layout
 503 (((-I)*k0 + c*sig)*Sqrt[(k^2 - (k0 + I*c*sig)^2)/k^2] - I*k*ArcSin[(k0 +
 504  I*c*sig)/k])/(2*k0^3)
 505 \end_layout
 506
 507 \end_inset
 508
 509 ; snad jsem to tentokrát neopsal blbě)
 510 \begin_inset Formula
 511 \begin{eqnarray*}
 512 \pht 1{s_{3,k_{0}}^{\textup{L}\kappa>3,c}}\left(k\right) & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{\left(-ik_{0}+c\sigma\right)\left(k_{0}\sqrt{1+\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)^{2}}+ic\sigma\sqrt{1+\left(\frac{\sigma c-ik_{0}}{k}\right)^{2}}+k\sin^{-1}\left(\frac{k_{0}+ic\sigma}{k}\right)\right)}{2k_{0}^{3}\left(k_{0}+ic\sigma\right)}\\
 513 \mbox{(f.simpl.)} & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{\left(-ik_{0}+c\sigma\right)\sqrt{1-\left(\frac{k_{0}+ic\sigma}{k}\right)^{2}}-ik\sin^{-1}\left(\frac{k_{0}+ic\sigma}{k}\right)}{2k_{0}^{3}}
 514 \end{eqnarray*}
 515
 516 \end_inset
 517
 518
 519 \end_layout
 520
 521 \begin_layout Subparagraph
 522 Special case
 523 \begin_inset Formula $q=3,n=0$
 524 \end_inset
 525
 526
 527 \end_layout
 528
 529 \begin_layout Standard
 530 Mathematica řiká po fullsimplify zhruba toto
 531 \begin_inset Note Note
 532 status open
 533
 534 \begin_layout Plain Layout
 535 Sum[((-1)^(1 + sig)*(k*Sqrt[(k^2 - (k0 + I*c*sig)^2)/k^2] + (k0 + I*c*sig)*ArcSi
 536 n[(k0 + I*c*sig)/k])*Binomial[kap, sig])/k0^3, {sig, 0, kap}]
 537 \end_layout
 538
 539 \end_inset
 540
 541
 542 \begin_inset Formula
 543 \begin{eqnarray*}
 544 \pht 0{s_{3,k_{0}}^{\textup{L}\kappa>3,c}}\left(k\right) & = & -\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k\sqrt{1-\left(\frac{k_{0}+ic\sigma}{k}\right)^{2}}+\left(k_{0}+ic\sigma\right)\sin^{-1}\left(\frac{k_{0}+ic\sigma}{k}\right)}{k_{0}^{3}}
 545 \end{eqnarray*}
 546
 547 \end_inset
 548
 549
 550 \begin_inset Formula $\kappa\ge2$
 551 \end_inset
 552
 553
 554 \end_layout
 555
 556 \begin_layout Paragraph
 557 Small k
 558 \end_layout
 559
 560 \begin_layout Standard
 561
 562 \lang english
 563 \begin_inset Formula
 564 \begin{eqnarray*}
 565 \pht n{s_{q,k_{0}}^{\textup{L}\kappa,c}}\left(k\right) & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k^{n}\text{Γ}\left(2-q+n\right)}{2^{n}k_{0}^{q}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2-q+n}}\hgfr\left(\frac{2-q+n}{2},\frac{3-q+n}{2};1+n;\frac{-k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)\\
 566 \mbox{(D15.2.2)} & = & \sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k^{n}\kor{Γ\left(2-q+n\right)}}{2^{n}k_{0}^{q}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2-q+n}}\sum_{s=0}^{\infty}\frac{\kor{\left(\frac{2-q+n}{2}\right)_{s}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)_{s}}}{Γ(1+n+s)s!}\left(\frac{-k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)^{s},\quad\left|\frac{-k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right|<1
 567 \end{eqnarray*}
 568
 569 \end_inset
 570
 571 Again we use
 572 \begin_inset Formula
 573 \[
 574 \text{Γ}\left(2-q+n\right)=\frac{2^{1-q+n}}{\sqrt{\pi}}\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right),
 575 \]
 576
 577 \end_inset
 578
 579  so
 580 \begin_inset Formula
 581 \begin{eqnarray*}
 582 \pht n{s_{q,k_{0}}^{\textup{L}\kappa,c}}\left(k\right) & = & \koru{\frac{2^{1-q\kor{+n}}}{\sqrt{\pi}}}\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k^{n}}{\kor{2^{n}}k_{0}^{q}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2-q+n}}\sum_{s=0}^{\infty}\frac{\koru{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}+s\right)\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}+s\right)}}{\text{Γ}(1+n+s)s!}\left(\frac{-k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)^{s}\\
 583 \mbox{OKShort} & = & \frac{2^{1-q}}{\sqrt{\pi}}\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k^{n}}{k_{0}^{q}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2-q+n}}\kor{\sum_{s=0}^{\infty}\frac{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}+s\right)\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}+s\right)}{\text{Γ}(1+n+s)s!}\left(\frac{-k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)^{s}}\\
 584 \mbox{(D15.2.1)} & = & \frac{2^{1-q}}{\sqrt{\pi}}\sum_{\sigma=0}^{\kappa}\left(-1\right)^{\sigma}\binom{\kappa}{\sigma}\frac{k^{n}}{k_{0}^{q}\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2-q+n}}\koru{\frac{\text{Γ}\left(1+n\right)}{\text{Γ}\left(\frac{2-q+n}{2}\right)\text{Γ}\left(\frac{3-q+n}{2}\right)}\kor{\hgf\left(\begin{array}{c}
 585 \frac{2-q+n}{2},\frac{3-q+n}{2}\\
 586 1+n
 587 \end{array};\frac{-k^{2}}{\left(\sigma c-ik_{0}\right)^{2}}\right)}}
 588 \end{eqnarray*}
 589
 590 \end_inset
 591
 592
 593 \end_layout
 594
 595 \end_body
 596 \end_document