notes/GF_vs_SWF.lyx

   1 #LyX 2.4 created this file. For more info see https://www.lyx.org/
   2 \lyxformat 584
   3 \begin_document
   4 \begin_header
   5 \save_transient_properties true
   6 \origin unavailable
   7 \textclass article
   8 \use_default_options true
   9 \maintain_unincluded_children false
  10 \language finnish
  11 \language_package default
  12 \inputencoding utf8
  13 \fontencoding auto
  14 \font_roman "default" "default"
  15 \font_sans "default" "default"
  16 \font_typewriter "default" "default"
  17 \font_math "auto" "auto"
  18 \font_default_family default
  19 \use_non_tex_fonts false
  20 \font_sc false
  21 \font_roman_osf false
  22 \font_sans_osf false
  23 \font_typewriter_osf false
  24 \font_sf_scale 100 100
  25 \font_tt_scale 100 100
  26 \use_microtype false
  27 \use_dash_ligatures true
  28 \graphics default
  29 \default_output_format default
  30 \output_sync 0
  31 \bibtex_command default
  32 \index_command default
  33 \paperfontsize default
  34 \use_hyperref false
  35 \papersize default
  36 \use_geometry false
  37 \use_package amsmath 1
  38 \use_package amssymb 1
  39 \use_package cancel 1
  40 \use_package esint 1
  41 \use_package mathdots 1
  42 \use_package mathtools 1
  43 \use_package mhchem 1
  44 \use_package stackrel 1
  45 \use_package stmaryrd 1
  46 \use_package undertilde 1
  47 \cite_engine basic
  48 \cite_engine_type default
  49 \use_bibtopic false
  50 \use_indices false
  51 \paperorientation portrait
  52 \suppress_date false
  53 \justification true
  54 \use_refstyle 1
  55 \use_minted 0
  56 \use_lineno 0
  57 \index Index
  58 \shortcut idx
  59 \color #008000
  60 \end_index
  61 \secnumdepth 3
  62 \tocdepth 3
  63 \paragraph_separation indent
  64 \paragraph_indentation default
  65 \is_math_indent 0
  66 \math_numbering_side default
  67 \quotes_style english
  68 \dynamic_quotes 0
  69 \papercolumns 1
  70 \papersides 1
  71 \paperpagestyle default
  72 \tablestyle default
  73 \tracking_changes false
  74 \output_changes false
  75 \html_math_output 0
  76 \html_css_as_file 0
  77 \html_be_strict false
  78 \end_header
  79
  80 \begin_body
  81
  82 \begin_layout Title
  83 Periodic Green's functions vs.
  84  VSWF lattice sums
  85 \end_layout
  86
  87 \begin_layout Standard
  88 \begin_inset FormulaMacro
  89 \newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
  90 \end_inset
  91
  92
  93 \begin_inset FormulaMacro
  94 \newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
  95 \end_inset
  96
  97
  98 \begin_inset FormulaMacro
  99 \newcommand{\vect}[1]{\mathbf{#1}}
 100 \end_inset
 101
 102
 103 \begin_inset FormulaMacro
 104 \newcommand{\uvec}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}
 105 \end_inset
 106
 107
 108 \lang english
 109
 110 \begin_inset FormulaMacro
 111 \newcommand{\ush}[2]{Y_{#1}^{#2}}
 112 \end_inset
 113
 114
 115 \begin_inset FormulaMacro
 116 \newcommand{\ushD}[2]{Y'_{#1}^{#2}}
 117 \end_inset
 118
 119
 120 \end_layout
 121
 122 \begin_layout Standard
 123 \begin_inset FormulaMacro
 124 \newcommand{\vsh}{\vect A}
 125 \end_inset
 126
 127
 128 \begin_inset FormulaMacro
 129 \newcommand{\vshD}{\vect{A'}}
 130 \end_inset
 131
 132
 133 \begin_inset FormulaMacro
 134 \newcommand{\wfkc}{\vect y}
 135 \end_inset
 136
 137
 138 \begin_inset FormulaMacro
 139 \newcommand{\wfkcout}{\vect u}
 140 \end_inset
 141
 142
 143 \begin_inset FormulaMacro
 144 \newcommand{\wfkcreg}{\vect v}
 145 \end_inset
 146
 147
 148 \begin_inset FormulaMacro
 149 \newcommand{\wckcreg}{a}
 150 \end_inset
 151
 152
 153 \begin_inset FormulaMacro
 154 \newcommand{\wckcout}{f}
 155 \end_inset
 156
 157
 158 \end_layout
 159
 160 \begin_layout Section
 161 Some definitions and useful relations
 162 \end_layout
 163
 164 \begin_layout Standard
 165 \begin_inset Formula
 166 \[
 167 \mathcal{H}_{l}^{m}\left(\vect d\right)\equiv h_{l}^{+}\left(\left|\vect d\right|\right)\ush lm\left(\uvec d\right)
 168 \]
 169
 170 \end_inset
 171
 172
 173 \begin_inset Formula
 174 \[
 175 \mathcal{J}_{l}^{m}\left(\vect d\right)\equiv j_{l}\left(\left|\vect d\right|\right)\ush lm\left(\uvec d\right)
 176 \]
 177
 178 \end_inset
 179
 180
 181 \end_layout
 182
 183 \begin_layout Standard
 184 Dual spherical harmonics and waves
 185 \end_layout
 186
 187 \begin_layout Standard
 188 \begin_inset Formula
 189 \[
 190 \int\ush lm\ushD{l'}{m'}\,\ud\Omega=\delta_{l,l'}\delta_{m,m'}
 191 \]
 192
 193 \end_inset
 194
 195
 196 \begin_inset Formula
 197 \[
 198 \mathcal{J}'_{l}^{m}\left(\vect d\right)\equiv j_{l}\left(\left|\vect d\right|\right)\ushD lm\left(\uvec d\right)
 199 \]
 200
 201 \end_inset
 202
 203
 204 \end_layout
 205
 206 \begin_layout Standard
 207 Expansion of plane wave (CHECKME whether this is really convention-independent,
 208  but it seems so)
 209 \end_layout
 210
 211 \begin_layout Standard
 212 \begin_inset Formula
 213 \[
 214 e^{i\kappa\vect r\cdot\uvec r'}=4\pi\sum_{l,m}i^{n}\mathcal{J}'_{l}^{m}\left(\kappa\vect r\right)\ush lm\left(\uvec r'\right)=4\pi\sum_{l,m}i^{n}\mathcal{J}{}_{l}^{m}\left(\kappa\vect r\right)\ushD lm\left(\uvec r'\right)
 215 \]
 216
 217 \end_inset
 218
 219 This one should also be convention independent (similarly for
 220 \begin_inset Formula $\mathcal{H}_{l}^{m}$
 221 \end_inset
 222
 223 ):
 224 \begin_inset Formula
 225 \[
 226 \mathcal{J}_{l}^{m}\left(-\vect r\right)=\left(-1\right)^{l}\mathcal{J}_{l}^{m}\left(\vect r\right).
 227 \]
 228
 229 \end_inset
 230
 231
 232 \end_layout
 233
 234 \begin_layout Section
 235 Helmholtz equation and Green's functions (in 3D)
 236 \end_layout
 237
 238 \begin_layout Standard
 239 Note that the notation does not follow Linton's (where the wavenumbers are
 240  often implicit)
 241 \end_layout
 242
 243 \begin_layout Standard
 244 \begin_inset Formula
 245 \[
 246 \left(\nabla^{2}+\kappa^{2}\right)G^{(\kappa)}\left(\vect x,\vect x_{0}\right)=\delta\left(\vect x-\vect x_{0}\right)
 247 \]
 248
 249 \end_inset
 250
 251
 252 \begin_inset Formula
 253 \begin{align*}
 254 G_{0}^{(\kappa)}\left(\vect x,\vect x_{0}\right) & =G_{0}^{(\kappa)}\left(\vect x-\vect x_{0}\right)=-\frac{\cos\left(\kappa\left|\vect x-\vect x_{0}\right|\right)}{4\pi\left|\vect x-\vect x_{0}\right|}\\
 255 G_{\pm}^{(\kappa)}\left(\vect x,\vect x_{0}\right) & =G_{\pm}^{(\kappa)}\left(\vect x-\vect x_{0}\right)=-\frac{e^{\pm i\kappa\left|\vect x-\vect x_{0}\right|}}{4\pi\left|\vect x-\vect x_{0}\right|}=-\frac{i\kappa}{4\pi}h_{0}^{\pm}\left(\kappa\left|\vect x-\vect x_{0}\right|\right)=-\frac{i\kappa}{\sqrt{4\pi}}\mathcal{H}_{0}^{0}\left(\kappa\left|\vect x-\vect x_{0}\right|\right)
 256 \end{align*}
 257
 258 \end_inset
 259
 260
 261 \begin_inset Marginal
 262 status open
 263
 264 \begin_layout Plain Layout
 265 \begin_inset Formula $G_{\pm}^{(\kappa)}\left(\vect x,\vect x_{0}\right)=-\frac{i\kappa}{\ush 00}\mathcal{H}_{0}^{0}\left(\kappa\left|\vect x-\vect x_{0}\right|\right)$
 266 \end_inset
 267
 268  in case wacky conventions.
 269 \end_layout
 270
 271 \end_inset
 272
 273 Lattice GF [Linton (2.3)]:
 274 \begin_inset Formula
 275 \begin{equation}
 276 G_{\Lambda}^{(\kappa)}\left(\vect s,\vect k\right)\equiv\sum_{\vect R\in\Lambda}G_{+}^{\kappa}\left(\vect s-\vect R\right)e^{i\vect k\cdot\vect R}\label{eq:Lattice GF}
 277 \end{equation}
 278
 279 \end_inset
 280
 281
 282 \end_layout
 283
 284 \begin_layout Section
 285 GF expansion and lattice sum definition
 286 \end_layout
 287
 288 \begin_layout Standard
 289 Let's define
 290 \begin_inset Formula
 291 \[
 292 \sigma_{l}^{m}\left(\vect s,\vect k\right)=\sum_{\vect R\in\Lambda}\mathcal{H}_{l}^{m}\left(\kappa\left(\vect s+\vect R\right)\right)e^{i\vect k\cdot\vect R},
 293 \]
 294
 295 \end_inset
 296
 297 and also its dual version
 298 \begin_inset Formula
 299 \[
 300 \sigma'_{l}^{m}\left(\vect s,\vect k\right)=\sum_{\vect R\in\Lambda}\mathcal{H}'_{l}^{m}\left(\kappa\left(\vect s+\vect R\right)\right)e^{i\vect k\cdot\vect R}.
 301 \]
 302
 303 \end_inset
 304
 305
 306 \end_layout
 307
 308 \begin_layout Standard
 309 Inspired by [Linton (4.1)]; assuming that
 310 \begin_inset Formula $\vect s\notin\Lambda$
 311 \end_inset
 312
 313 , let's expand the lattice Green's function around
 314 \begin_inset Formula $\vect s$
 315 \end_inset
 316
 317 :
 318 \end_layout
 319
 320 \begin_layout Standard
 321 \begin_inset Formula
 322 \[
 323 G_{\Lambda}^{(\kappa)}\left(\vect s+\vect r,\vect k\right)=-i\kappa\sum_{l,m}\tau_{l}^{m}\left(\vect s,\vect k\right)\mathcal{J}_{l}^{m}\left(\kappa\vect r\right)
 324 \]
 325
 326 \end_inset
 327
 328 and multiply with a dual SH + integrate
 329 \begin_inset Formula
 330 \begin{align}
 331 \int\ud\Omega_{\vect r}\,G_{\Lambda}^{(\kappa)}\left(\vect s+\vect r,\vect k\right)\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right) & =-i\kappa\sum_{l,m}\tau_{l}^{m}\left(\vect s,\vect k\right)j_{l}\left(\kappa\left|\vect r\right|\right)\delta_{ll'}\delta_{mm'}\nonumber \\
 332  & =-i\kappa\tau_{l'}^{m'}\left(\vect s,\vect k\right)j_{l'}\left(\kappa\left|\vect r\right|\right)\label{eq:tau extraction}
 333 \end{align}
 334
 335 \end_inset
 336
 337 The expansion coefficients
 338 \begin_inset Formula $\tau_{l}^{m}\left(\vect s,\vect k\right)$
 339 \end_inset
 340
 341  is then typically extracted by taking the limit
 342 \begin_inset Formula $\left|\vect r\right|\to0$
 343 \end_inset
 344
 345 .
 346 \end_layout
 347
 348 \begin_layout Standard
 349 The relation between
 350 \begin_inset Formula $\sigma_{l}^{m}\left(\vect s,\vect k\right)$
 351 \end_inset
 352
 353  and
 354 \begin_inset Formula $\tau_{l}^{m}\left(\vect s,\vect k\right)$
 355 \end_inset
 356
 357  can be obtained e.g.
 358  from the addition theorem for scalar spherical wavefunctions [Linton (C.3)],
 359
 360 \begin_inset Formula
 361 \[
 362 \mathcal{H}_{l}^{m}\left(\vect a+\vect b\right)=\sum_{l'm'}S_{ll'}^{mm'}\left(\vect b\right)\mathcal{J}_{l'}^{m'}\left(\vect a\right),\quad\left|\vect a\right|<\left|\vect b\right|
 363 \]
 364
 365 \end_inset
 366
 367 where for the zeroth degree and order one has [Linton (C.3)]
 368 \begin_inset Formula
 369 \[
 370 S_{0l'}^{0m'}\left(\vect b\right)=\sqrt{4\pi}\mathcal{H}'_{l'}^{m'}\left(-\vect b\right)
 371 \]
 372
 373 \end_inset
 374
 375
 376 \begin_inset Marginal
 377 status open
 378
 379 \begin_layout Plain Layout
 380 In a totally convention-independent version probably looks like
 381 \begin_inset Formula $S_{0l'}^{0m'}\left(\vect b\right)=\ush 00\mathcal{H}'_{l'}^{m'}\left(-\vect b\right)$
 382 \end_inset
 383
 384 , but the
 385 \begin_inset Formula $Y_{0}^{0}$
 386 \end_inset
 387
 388  will cancel with the expression for GF anyways, so no harm to the final
 389  result.
 390 \end_layout
 391
 392 \end_inset
 393
 394 From the lattice GF definition
 395 \begin_inset CommandInset ref
 396 LatexCommand eqref
 397 reference "eq:Lattice GF"
 398 plural "false"
 399 caps "false"
 400 noprefix "false"
 401
 402 \end_inset
 403
 404
 405 \begin_inset Formula
 406 \begin{align*}
 407 G_{\Lambda}^{(\kappa)}\left(\vect s+\vect r,\vect k\right) & \equiv\frac{-i\kappa}{\sqrt{4\pi}}\sum_{\vect R\in\Lambda}\mathcal{H}_{0}^{0}\left(\kappa\left(\vect s+\vect r-\vect R\right)\right)e^{i\vect k\cdot\vect R}\\
 408  & =\frac{-i\kappa}{\sqrt{4\pi}}\sum_{\vect R\in\Lambda}\mathcal{H}_{0}^{0}\left(\kappa\left(\vect s+\vect r-\vect R\right)\right)e^{i\vect k\cdot\vect R}\\
 409  & =\frac{-i\kappa}{\sqrt{4\pi}}\sum_{\vect R\in\Lambda}\sum_{l'm'}S_{0l'}^{0m'}\left(\kappa\left(\vect s-\vect R\right)\right)\mathcal{J}_{l'}^{m'}\left(\kappa\vect r\right)e^{i\vect k\cdot\vect R}\\
 410  & =-i\kappa\sum_{\vect R\in\Lambda}\sum_{lm}\mathcal{H}'_{l}^{m}\left(-\kappa\left(\vect s-\vect R\right)\right)\mathcal{J}_{l}^{m}\left(\kappa\vect r\right)e^{i\vect k\cdot\vect R}
 411 \end{align*}
 412
 413 \end_inset
 414
 415 and mutliplying with dual SH and integrating
 416 \begin_inset Formula
 417 \begin{align*}
 418 \int\ud\Omega_{\vect r}\,G_{\Lambda}^{(\kappa)}\left(\vect s+\vect r,\vect k\right)\ushD{l'}{m'}\left(\uvec r\right) & =-i\kappa\sum_{\vect R\in\Lambda}\sum_{lm}\mathcal{H}'_{l}^{m}\left(-\kappa\left(\vect s-\vect R\right)\right)j_{l}\left(\kappa\left|\vect r\right|\right)\delta_{ll'}\delta_{mm'}e^{i\vect k\cdot\vect R}\\
 419  & =-i\kappa\sum_{\vect R\in\Lambda}\mathcal{H}'_{l'}^{m'}\left(\kappa\left(-\vect s+\vect R\right)\right)j_{l'}\left(\kappa\left|\vect r\right|\right)e^{i\vect k\cdot\vect R}\\
 420  & =-i\kappa\sigma'_{l'}^{m'}\left(-\vect s,\vect k\right)j_{l'}\left(\kappa\left|\vect r\right|\right)
 421 \end{align*}
 422
 423 \end_inset
 424
 425 and comparing with
 426 \begin_inset CommandInset ref
 427 LatexCommand eqref
 428 reference "eq:tau extraction"
 429 plural "false"
 430 caps "false"
 431 noprefix "false"
 432
 433 \end_inset
 434
 435  we have
 436 \begin_inset Formula
 437 \[
 438 \tau_{l}^{m}\left(\vect s,\vect k\right)=\sigma'_{l}^{m}\left(-\vect s,\vect k\right).
 439 \]
 440
 441 \end_inset
 442
 443
 444 \begin_inset Note Note
 445 status open
 446
 447 \begin_layout Plain Layout
 448 TODO maybe also define some
 449 \begin_inset Formula $\tau'_{l}^{m}$
 450 \end_inset
 451
 452  as expansion coefficients of GF into dual regular SSWFs.
 453 \end_layout
 454
 455 \end_inset
 456
 457
 458 \end_layout
 459
 460 \end_body
 461 \end_document